北航研究生一年级随机信号考试

现实世界一切物理现象（自然的或人为的）都伴随着物理量的变化，这种变化着的物理量就是信号，如工业生产过程中的温度、压力、流量等。物理信号的数学描述就是数学函数。因此，信号既指携带一定信息的数学函数，其自变量可以是时间、频率、空间位置等；也指一个连续或离散的数学函数。信号处理就是对信号进行适当的运算操作，以便于分析、识别、提取信息和使用。

对于任何信息系统，有二个最基本的环节：1）获取信号的传感器，2）提取信息的信号处理。 若信号x(t)的自变量t是连续变量、幅度取值范围连续，也就是x(t)的定义域、值域都是连续的，则其称为连续信号或模拟信号；若x(t)的自变量t仅在时间轴的离散点上取值、幅度取值范围连续，也就是x(t)的定义域离散、值域连续，则称其为离散信号；离散信号经过幅度量化成为数字信号，此时其定义域和值域都是离散的。

图1.2 数字信号到模拟信号的转换

信号处理分为模拟处理和数字处理二种。信号的模拟处理就是利用模拟电路完成对模拟信号的运算，如放大、滤波、微分、积分、限幅等。模拟处理有其局限性和弱点，主要包括：

（a）受模拟电路的元件容差、放大器的非线性等因素的影响，处理精度低；（b）受温度、湿度、振动、冲击等环境条件变化影响，重复性较差；（c）易受电路噪声的影响；（d）难以实现非线性、时变等复杂的运算操作；（e）灵活性差；（f）模拟信号的存储、恢复 精度低、费用高。 数字信号处理（Digital signal processing — DSP）就是用计算机或特殊的数字电路完成对数字信号的数值运算。对于模拟信号，首先需要通过模拟—数字转换器将模拟信号转换为数字信号，然后再进行数字信号处理。

数字信号处理的优点：（a）精度高。从理论上讲，可以通过选择适当的运算处理字长，如单精度、双精度，甚至四倍精度，达到要求的处理精度。（b）存储、传输方便、灵活、费用低；（c）处理噪声低（由比特误差Bit error 产生），重复性好；（

d）便于进行非线性、时变处理；（e）可以进行编码加密。

缺点：（a）采样将造成信息损失，如频域混叠。尽管通过适当的采样，可以将这种损失减到最小，但不可避免。（b）高速、高精度的A/D、D/A芯片费用高，且有不可避免的噪声（量化误差），波形失真（采样频率的均匀性、芯片的非线性）；（c）DSP软件开发费用逐渐增加；（d）处理速度、实时性。

在各类系统中，应用基本的数字信号处理的基本模式有以下三种： 方式a，分析、提取用于的信号特征，估计参数；基于计算机技术的测量系统，虚拟仪器等；如滤波、频谱估计（间接测量）、相位估计、功率因数估计。

方式b，通过数字方法，生成信号：我们可以通过构造数学函数来制造需要的信号，用物理装置来产生相应的物理信号；如各类物理信号发生器。1）任意波形发生器；2）在随机振动台控制中，可以通过数字方法生成离散随机信号，然后通过功放电路，驱动振动台。信号合成，文本阅读系统，将用编码表示的文本字符转换成语音信号。

随机信号定义：以时间（空间坐标等）为参变量的随机变量族。 随机过程X(t)是一族以时间t为参量的随机变量，t属于离散化

随机信号某一固定的实数集T。即是说，对于任意的t∈T，X(t)的取值是随机的，沿时间坐标轴看，X(t)是取值随时间变化的过程。

观测

X(t)信号也称为随机函数。

对随机过程X(t)进行一次观察，得到的是一个确定的普

X(t)X(n)随机序列

观测

通意义下的函数x(t)，它称为相应随机过程X(t)的一个“实现”

离散化 样本函数 样本序列

或“样本函数”，记为x(t)。对随机序列X(n)的一次观测，得到的是一个确定的普通意义下的时间序列，它称为相应随机序列X(n)的一个“实现”或“样本序列”，记为x(n)。

平稳过程的各态遍历性：单一样本的时间平均等于样本函数空间的总集平均；单一样本的时间自相关等于样本函数空间的总集自相关。

222

t2t1，x(t)EX(t)，Dx(t)EX2(t)Rx(0)，x(t)E[X(t)x(t)]2，Dx(t)x(t)x(t)

x(t)时间函数 x(n)时间序列

Cx(t1,t2)E[X(t1)x(t1)][X(t2)x(t2)]，Rx(t1,t2)Cx(t1,t2)x(t1)x(t2)

2Rx(t1,t2)EX(t1)X(t2)；Rx()E{X(t)X(t)}，Cx()Rx()x

Rxy()EX(t)Y(t)，CxyE(xx)(yy)，Cxy()Rxy()xy

白噪声：一个各态遍历的平稳随机信号X(t)，如果其均值为零，自相关函数是冲激函数，即

2xEX(t)0，Rx()EX(t)X(t)x()，则称其为白噪声。

白噪声是一种理想化的随机信号，它均匀地包含了一切频率成分，实际上是不存在的。工程上，只要信号的带宽远大于系统带宽，而且在系统带宽范围内的功率谱幅度基本恒定，不同时刻的取值基本互不相关，便可以近似为白噪声。

x,y

。1）0|xy|1；2）|xy|1x与y相似；3）rxy0或xy0x与y不相似； xy

x2y2

4）0|xy|1x与y部分相似。

x(t)与y(t)不相关的充分必要条件是：对所有的时移量R，x(t)与y(t)的相似系数恒为零，即

Rxy()[Px][Py]rxy()0或xy()0，R。xy()



Rxy()Rx(0)Ry(0)

，x()

Rx()Rx()

，rxyCxy 

PxRx(0)xy

x(t)与y(t)相关并不排除在τ的个别点上x(t)与y(t)的完全不相似。换句话说，若存在0R，使

rxy(0)0，则x(t)与y(t)相关；反之若存在0R，使rxy(0)0，则得不到x(t)与y(t)不相关的结论。

相关系数性质2：对随机变量x和y，有以下等价关系：1）x和y不相关；2）Cxy0；3）

2222

ExyExEy；4）xyxy（xyExyxy



2

2

x2y2Cxy）

1．自相关、自协方差函数性质1）对称性：Rx()Rx()，Cx()Cx()； 2）不等式：Rx(0)Rx()，Cx(0)Cx()，R；

Rxy()xy()

Rx(0)Ry(0)

2

xy()的性

质，

xy()

Rxy()[Px][Py]



相关分析的应用1 信号检测

1）原理 若测量信号y(t)可以表示为二个互不相关信号x(t)与(t)之和，即y(t)x(t)(t),

Rxy()E{x(t)(t)}0(或者，x(t)与(t)相互独立，且x(t)或(t)的均值为零)，则有 a）Rxy()Rx() b）Ry()Rx()R()

证明：a）Rxy()Ex(t)y(t)Ex(t)(x(t)(t))Ex(t)x(t)Ex(t)(t)Rx()

b）Ry()Ey(t)y(t)E(x(t)(t))(x(t)(t))

(t)x(t)E(t)(t)Rx()R() Ex(t)x(t)Ex(t)(t)E

2）应用a）噪声中已知信号的检测

确定观测信号y(t)中是否包含有已知信号x(t)。通过估计互相关函数Rxy()可得到被检测信号x(t)的自相关函数的估计值，从而可以可判断观测信号y(t)中是否存在被检测信号x(t)，以及其功率大小(PxRx(0)Rxy(0))。

b）噪声中周期信号的检测

通过估计观测信号y(t)的自相关函数Ry()，可以获得周期信号自相关函数的估计，从而判断观测信号y(t)中是否存在周期。若y(t)中存在周期信号，还可以估计其功率大小，以及信号周期。其理由是，通常噪声是宽带信号，其自相关函数R()将随着延时τ的增大而迅速衰减；而周期信号的自相关函数也是周期的。因此，适当选择较大的τ，将使Ry()Rx()R()Rx() τ充分大）

c)信号源的信噪比测量 信噪比是各类信号发生器、信号源的重要指标，其定义为信号功率与噪声功率之比，即SNRPx10lgPx(dB)通过估计Rxy(0)和Ry(0)，可以获得Rx(0)和R(0)的估计，而PxRx(0)，

P

P

PR(0)。

3.6.2 信号延时估计

1）原理：如果信号y(t)是信号x(t)经过延时产生的，即y(t)x(t0)，那麽利用自相关函数在零点取得最大值的性质，可以估计延时时间τ0。因为Rxy()Ex(t)y(t)Ex(t)x(t0)Rx(0) 当τ＝τ0时，Rxy()达最大值Rxy(0)。

应用：应用上述延时估计方法，并利用时间、距离和速度三者之间的关系，可实现无接触测距或测速。 速度测量

信号源：光、激光、超声波等。二信号源发出的信号相同，接收器性能相同，二信号源及接收器安装距离已知。物体上的特征结构影响接收器受到的信号，在二接收信号相关函数中出现明显的峰值。

方式1）信号穿透式，波可以穿过被测物质，信号接收器与信号源分别安装；2）信号反射式，信号

接收器与信号源在一侧安装。

理想情况下：y(t)x(tT) Rxy()Rx(T) vd

实际上，x(t)u(t)n1(t) y(t)u(tT)n2(t)

Rxy()Ru(T)Run2()Rn1u(T)Rn1n2()

需解决的主要问题 测量噪声、干扰； 由于速度是变的，实时性、递推估计；

b）距离测量 信号发送器、接受器一体，被测物质不吸收或基本不吸收波，波物质反射回来接受器接受。如超声波测位、激光测距、雷达测距等。

接收信号

y(t)x(t)n(t) x(t)au(t20) Ruy()Eu(t)(au(t20)n(t))

aRu(20)Run()

正是音乐厅所需要的）。 随机信号的谱Sx(j)lim

T

1

E|XT(j)|2，Sx(j)反应了功率信号x(t)的平均能量在频域的分布，2T



称为x(t)的平均功率谱密度（简称：功率谱、自功率谱）。相应地，功率信号的互功率谱定义为，其中YT(j)表示截断函数yT(t)Sxy(j)lim

T

1

EXT(j)Y(j) 2T



功率信号x(t)的相关函数与功率谱的关系：

FFF

Sxy(j)Ryx()Rxy()Syx(j)Sxy(j) ａ）Rx()Sx(j)Rxy()

随机信号的特征量就是能描述随机信号某方面性能的统计量，如均值、均方、方差、相关函数、功

率谱等。随机信号特征量的估计就是，通过对信号进行观测、获得数据，并通过这些数据来对所研究的特征量进行推断。

对随机信号进行一次观测所获得的观测数据是一完全确定的序列，但它只是随机信号的一次“实现”，或一个样本，其本身是随机序列。因此，尽管随机信号特征量是未知的确定量，但利用观测数据，通过计算所获得的估计量却是随机变量，它必然会包含不确定性。这就需要研究比较各种推断方法的优劣，对估计质量进行评价。估计质量评价的内容主要有估计的无偏性、估计的有效性、估计的一致性。

估计质量的评价定义： 1）估计的无偏性

如果，也就是0，则称ˆ为的无偏估计；否则，称ˆ为有偏估计；

ˆ

ˆ

如果随样本序列长度N的增加，~趋于0，即limˆ0则称ˆ为渐近无偏估计。

N

无偏性只说明作多次估计后，各次估计值ˆ的平均值接近于待估计量的真值0，并不能保证每次估计都接近于真值0，落点可能很分散。

2）估计的有效性

ˆ估计的方差2ˆ的大小可以表明各次估计值在它们的平均值ˆ附近的分散程度。方差小的估计说明各次估计值都很接近于ˆ并且很集中，但不能说明它们与真值很接近。只有偏差与方差都很小，才能保证每次估计的落点都集中于真值附近。若估计偏差的均方差Dˆ(又称为均方误差)很小，则有估计的偏差与估计的方差都很小。

3）估计的一致性 如果随样本序列长度N的增加，即lDˆ趋于0，imDˆ0则称ˆ为一致估计。

N

显然，ˆ为一致估计的充要条件是，随样本序列长度N的增加，估计偏差和估计方差都趋于0，即

2

0，并且ˆlimˆ0 limN

N

1．均值的估计

设x(0),x(1),.x(N1)是通过观测随机信号X(n)所得到的样本序列（子样序列），则其均值的估计

1ˆx值为(样本均值、子样均值)

N

x(n)

n0

N1

ˆx具有以下性质 定理1（均值估计质量评价）：若实随机信号X(n)是平稳的，则估计量ˆx是无偏的，即：Eˆxx 1）估计

2

x

N1n0

2）均值估计量的方差为：

2ˆx



N

[12

NnCx(n)

] NCx(0)

N

N

2

ˆxx]20 ˆxx，lim3）当各样本点互不相关时，估计是一致的，即EˆxlimE[



证明：由平稳性，对所有的x(n),n0,1,2,,N1，有Ex(n)x

22 Cx(m)E[x(n)x][x(nm)x] Cx(m)Cx(m)、Cx(0)xDxx

N1N1n0m0N1n1

N1N1n0m0

即可得E(x(n)x)(x(m)x)Cx(mn)

NCx(0)2(Nn)Cx(n) N[12

2

x

n1N1

NnCx(n)

] (5-19) NCx(0)

因此

1

1）由平稳性E

N1x(n)n0N

N1

1

Ex(n)Nn0

N1



n0

N1

x

ˆxx；性质1得证。 ，即可得E

ˆxx]22）因为E[



1

E[

N

2N112

E(x(n))x(n)] xx2

Nn0n0

N1

1N1N11

2E(x(n)x)(x(m)x)2

Nn0m0N

将(5-19)式代入上式，即可得

2

ˆx

E(x(n)

n0m0

N1N1

x

)(x(m)x)

N1n1

ˆxx] E[



2



2

x

N

[12

NnCx(n)

]性质2得证。 NCx(0)

2

ˆx

3）当各样本点互不相关时，有Cx(n)0，n1,2,,N1上式代入(5-17)即得



2

x

N

N0

并且(5-16)成立，因此估计是一致的，性质3得证。

注：对平稳随机信号进行多次采样获得多个样本序列，然后对多个样本序列取平均是改进观测分散程度最常用的方法。若多次观测的数据在时间上是互不相关的，作M次采样平均后，数据的方差将减小M倍。然而，实际信号的多个样本序列之间或多或少地存在一定的时间相关性，这种相关性将大大地影响平均技术的效果。

2．方差估计

1ˆ根据随机信号X(n)的样本序列x(0),x(1),.x(N1)计算的统计量

N

2x

ˆ[x(n)

n0

N1

x

]2

(5-19)称为样本序列的方差（样本方差）。

2

ˆx定理2（方差估计质量评价），若实随机信号X(n)是平稳的，则估计量具有以下性质：

ˆ是有偏的，其均值为Eˆ1当各样本点相关时，

2

x



2x

2x



2ˆx

N1

1NnCx(n)

{1[12]}

NNCx(0)n1

2

x

222ˆxˆx(5-20)2若各样本点不相关，估计是渐近无偏的，即limEˆxx2(5-21)3若各样本点不相关，估计22222

ˆxˆxx0，limE[x]0 (5-22)证明：1）由于 是一致的，即limE

N

N





N

1

ˆEE

N

2x1ˆ[x(n)]x

n0N

2

2x

N1

ˆ]E[x(n)

2x

n0

N1

1

N

E(x(n)

N1n0

x

ˆxx) )(

2



1



N

Ex(n)

N1n0

ˆxx)(ˆxx)2 2(x(n)x)(



1

N

1

(5-23)式中第一项为

N

Ex(n)

N1n0

2x2x

1N

ˆE

N1n0

2x

x

x

2



2N

E{(x(n)

n0

N1

x

ˆxx)} (5-23) )(

Ex(n)

N1n01

N



n0

N1

2

(5-24) x

1

根据(5-17)式，(5-23)式中第二项为

N

N1

N1

ˆxxE

n0

N1



2



1

N



n0

N1

2ˆx



2

ˆx



2

x

N

[12

n1

N1

NnCx(n)

] NCx(0)

1

ˆxx)E(x(n)x)((5-25)而E(x(n)x)(

Nn0n0

1

N

N1



x(m))x m0

m0m0

N1

N1

1E(x(n))(x(m)N)xxn0m0N

由(5-26)和(5-19)式知，(5-23)中第三项为

E(x(n)

N1n1

N1N1

x

)(x(m)x) (5-26)

2 

N

ˆxx)}2E{(x(n)x)(

n0

N1

2

x

N

[12

NnCx(n)2

]2ˆx (5-27) NCx(0)

将(5-24)、(5-25)和(5-27)代入(5-23)，即可得(5-20)式。性质1得证。

2）当各样本点互不相关时，有Cx(n)0，n1,2,,N1上式代入(5-20)即得

1

]N0 (5-28)性质2得证。 N

注：对于有限值N，式(5-19)的估计是有偏的。若欲估计无偏，可用如下估计算式：

22

ˆxx[1E



1N1

ˆˆx]2 (5-29) [x(n)N－1n0

2x

2ˆx3）当各样本点互不相关时，由性质2知估计量是无偏（或渐近无偏）的，因此只需证明随序列2

ˆx长度N的增加统计量的方差趋于零（可以证明[３：pp.８]）。

3. 自相关函数的估计

N1

1

x(n)x(nm) 各态遍历的平稳随机序列X(n)的自相关函数为Rx(m)limN2N1nN

其中x(n)为样本序列。考虑物理信号的因果性以及实际观测数据长度的有限性，根据样本序列

xN(n),n0,1,,N1估计随机序列X(n)的自相关函数的计算公式改写为

N1

1ˆ(m)R xN(n)xN(nm)，m[N1,N1] (5-30)其中xN(n)的下标N表示序列长度。N,x

Nn0

ˆ(m)的性质：Rˆ(m)是偶对称性的，即Rˆ(m) ˆ(m)R RN,xN,xN,xN,x

证明：由于当n0时，xN(n)0；因此当m0时，有

ˆ(m)1RN,x

N1N

Nm1

1

x(n)x(nm)NN

Nn0

Nm1n0

N1

nm

x

N1

N

(n)xN(nm)

1

x(lm)x(l)NN

Nt0

x

N

ˆ(m)证毕。 (n)xN(nm)RN,x

5．自功率谱估计的经典方法

1jjj2ˆ(e)P(e)X(e) 1）周期图法（直接法）Sx,PERN,xN

N

ˆ2M(ej)2）自相关法(间接法)Sx,BT

mM

ˆR

M

N,x

(m)ejm，MN1

3）直接法(PER)与间接法(BT)的关系

当MN1时，有 ˆ2N(k)Sˆ2N(k)，k0,1,,2N1 2）SˆN(k)SˆN(k)，k0,1,,N1 1）Sx,BTx,PERx,BTx,PER

4）

改进 以减少估计量的方差为主要目标。

1）分段平均 基本思路：若K个随机变量X1,X2,,XK相互独立并具有相同的均值和方差2，则它们的平均X

1

[X1X2XK]的均值仍然是，但方差是2/K，减小了K倍。 K

2）加数据窗平滑 由于数据截断，即加数据窗，不可避免。因此，希望寻找到好的数据窗，它

具有： 3dB带宽B小；2）最大边瓣峰值A小；3）边瓣谱峰渐近衰减速度D大。

窗函数的主要性质：窗函数具有低通，有平滑作用。 3）分段平均与窗函数结合 6．互功率谱估计的经典方法

ˆ(ej)1X(ej)Y(ej) 与自功率谱估计相似Sxy2N2N

N

一个平稳过程的主要统计特性可用它的协方差函数或等价的谱函数来刻画。但是协方差函数和谱函数都是用无限个数值，即一条曲线来描述，使用不方便，尤其是在预测、滤波、控制等应用场合。

1

根据随机信号理论知，若平稳随机信号yn满足表示定理条件，它可以被看作是某一线性定常系统H(z)

对白噪声输入的响应，因此，可以用系统传递函数H(z1)的有限个参数来刻画该过程的主要统计特性。 经典的随机信号谱估计方法是确定信号谱估计方法的推广，所获得的谱估计量是非一致的。各种改进算法，如平滑、加窗、分段平均等，但是它们也都在曲线平滑程度与峰值分辨率之间存在矛盾。用模型估计方法的基本思路是，先估计过程模型参数，再由参数估计谱，以便得到更好的估计量。 6.2.9 格网滤波器

根据Ｌ－Ｄ算法，前向线性预测滤波器参数随阶次增加的递推关系为

A(p)0

A(p1)(p1)A (p)inv0又根据前、后向线性预测滤波器关系，可得后向线性预测滤波器参数随阶次增加的递推关系：

(p)0inv(p1)(p1) (107) 

inv(p)0

ˆ(p,z1)分别满足以下递推关系：ˆ(p,z1)和后向线性预测误差滤波器A因此，前向线性预测误差滤波器A

inv

(p1)Aˆ(p,z1)(p1)z1Aˆ(p,z1) (108) ˆ(p1,z1)[1,z1,,zp1]Ainv

(p1)z1Aˆ(p,z1)(p1)Aˆ(p,z1) (109) ˆ(p1,z1)[1,z1,,zp1]Ainvinvinv

ˆn,f(p)和后向线性预测误差eˆn,b(p)的递推关系： 由此，可得前向线性预测误差e

ˆ(p,z1)(p1)z1Aˆ(p,z1)]yeˆ(p1,z1)y[Aˆn,f(p)(p1)eˆn1,b(p) ˆn,f(p1)Aeinvnnˆ(p,z1)ˆ(p,z1)A上述递推关系可以用下图所示的格网表示：Ainv

格网滤波器的优点： １）一个ｐ阶格网滤波器同时包含了ｐ阶以下所有各阶的预测滤波器，便于滤波器阶次的选择；２）格网滤波器是稳定的，最小相位的。

ˆ(p,z1)(p1)Aˆ(p,z1)]yeˆ(p1,z1)y [z1Aˆn1,b(p)(p1)eˆn,f(p) ˆn,b(p1)Aeinvninvn

1) )

6.4 自回归滑动平均(ARMA)模型参数与谱估计

ARMA(p,q)过程的差分方程表示为ynai(p)ynibi(p)wni

i1

i0

p

q

2

式中，的白噪声，ｐ是ARMA模型自回归部分的阶次，ｑ是ARMAyn是过程输出,wni是零均值方差为w

模型滑动平均部分的阶次。

1q1

bbzbzB(q,z)01q

ARMA(p,q)过程模型表示为ynH(z1)wn其中H(z1) 

A(p,z1)1a1z1apzp

6.4.1基于高阶AR模型逼近的ARMA模型估计

ARMA(p,q)过程的模型估计就是根据过程观测值{y1,y2,,yN}估计过程模型H(z1)的参数。由于模型输入wn是未知的，该估计是一非线性问题。如果能够先确定模型输入wn，则ARMA(p,q)过程参数估计问题化为已知系统输入和输出的系统辨识问题，此问题是一个线性问题。 估计ARMA模型的四个步骤：

1） 选择适当的算法，根据观测数据y0,y1,,yN1估计自相关函数Ry(0)，Ry(1)，，Ry(M)；

(p)； 2） 由(6-136)式估计AR部分的参数3） 由(6-137)式估计MA部分的信号输出xn；

4） 运用MA模型估计方法，利用估计的信号序列xn估计滑动部分参数(q)。

8.1 时变谱估计

考虑统计特性是时间的函数的这样一类非平稳随机过程的建模与谱估计问题。例如，语音信号的频谱就是随时间变化的，语音处理中采用不同时间段谱分析的不同结果来反应语音随时间的变化情况。相应地，过程的功率谱也是时间的函数，即Sy(ej,n)，并称之为时变谱。

具有时变谱的非平稳过程可以用时变线性模型来描述，即y(n)H(z1,n)w(n) 其中w(n)仍然是白噪声。相应地，过程的功率谱可表示为Sy(ej,n)H(ej,n)Sw(ej,n) 时变谱估计的方法分为时域分段法（固定数据窗口法）和渐消记忆法。

时域分段法就是将时间轴分割为互不重叠的区间，认为在每区间段上随机信号是平稳且各态遍历的，也就是说在每区间段上过程的谱是不变的，得到的是随时间区间段而变的时变谱，通常是与经典谱估计方法结合。

2

t

滑动窗口法是将时间轴分割为有部分重叠的区间，每个区间为一个数据窗口，数据窗口随时间

的增长向前滑动。若对每个都进行谱估计，得到的是随时间而变的时变谱。滑动窗口既包括了前一时刻窗口的部分数据，又包括了部分新数据，窗口的宽度一定，是一种限定记忆的自适应谱估计方法，它通常与现代谱估计方法结合，并运用参数自适应估计技术来实现模型参数的更新。最常用的滑动数据窗口是，每添加一个新数据，删除一个老数据，保持数据长度不变。

各种自适应参数估计方法，如渐消记忆法、限定记忆法，也可以用到随机过程模型的自适应估计，进而实现信号谱的自适应估计。通常是与现代谱估计方法结合，即利用自适应的模型参数估计方法实现过程模型参数的估计值跟随被估计过程的变化，自适应的模型参数估计方法主要有：滑动数据窗口法，遗忘因子法；得到的时变谱是随采用时间变化的时变谱。 然而，时变谱在概念上仍存在问题，这是因为：

频谱概念源于傅里叶变换，而傅里叶变换是定义在全时间轴上的，积分范围是t。在时间和频率这两个物理量的测量上有一个必然的约束因素，这就是有名的“测不准原理”，其含义是，一个过程在频率上测得愈细致，在时间上就愈不能观察（例如，只有当正弦波无始无终时才有单一的谱线）；反之，在时间上观察得愈细致，在频率上就必定了解得愈不细致。 般步骤如下：

滤波就是从噪声中提取有用的信号。当信号与噪声的频谱互不重叠时，设计一个仅允许有用信号通过的滤波器时完全可行的，这就是传统的滤波器设计问题。然而，当信号与噪声的频谱有重叠时，滤波问题就难以用传统的滤波器设计方法来解决。

所谓广义滤波问题就是从某信号s(n)关联的可观测数据y(n)中提取信息，使滤波器的输出g(n)为

s(nd)的估计。

图9-1 广义滤波问题

根据d的取值，又分为以下三种情况：

1) 如果d0，g(n)为s(nd)的预测估计；2）如果d0，g(n)为s(nd)的滤波估计；

2) 如果d0，g(n)为s(nd)的平滑估计。

对于确定系统，可以根据系统当前的输入，利用系统模型来准确地预测系统未来地输出。但是，准确地预测随机系统地未来输出是不可能地。随机系统预测的目标是，使预测误差的方差最小，即

E[g(n)s(n)]2=min (9-1)

如果对y(n)和s(n)可以建立状态空间随机模型（或状态空间随机模型已经存在），此时的滤波问题（包括预测、滤波和平滑）可以用卡尔曼滤波来解决；相应的y(n)为过程的输出，s(n)为过程的状态。

利用随机ARMAX模型也可以实现对过程输出y(n)的d步最优预测，此时的待预测量s(n)就是y(n)。 在上述两种情况下，滤波器和预测器的结构与参数完全取决于过程模型的结构与参数。当过程模型未知时，将过程模型辨识技术与滤波器设计方法结合便形成了自适应滤波与预测。

一种不依赖于过程模型的滤波和预测方法时有限复杂性滤波器（RCF- Restricted Complexity Filters）和(RCP- Restricted Complexity Predictors)。可观测过程y(n)与待估计量s(nd)之间的关联可以是任意的（包括非线性、时变、甚至完全无关）。滤波器和预测器的结构预先确定，在使某性能指标最优的意义下选取滤波器和预测器的参数。

1TˆEh(n)hT(n)Eh(n)s(nd)Rˆ， ˆ最优滤波器参数为(nd)h(n)y，s

1

ˆˆ(nd)的总功率Esˆ(nd)EhT(n)估计s



2



2





T1

Eh(n)Ry

2



T1T1T1T1T1

Ry ERh(n)h(n)RREh(n)h(n)Ryyyy

22

ˆEs(nd)-sˆ(nd)Es(nd)2Es(nd)sˆ(nd)Esˆ2(nd) J





ˆEs(nd)hT(n)R1Es(nd)hT(n)R1TR1 ˆ(nd)Es(nd)hT(n)Es(nd)syyy

221ˆEs(nd)sˆ(nd)Es(nd)TRy 得：J

ˆ(nd)sˆ(nd)0 推论：1）Es(nd)s

ˆ(nd)Es



2

maxJˆEs(nd)sˆ(nd)min

2

1) 自适应噪声消除预测器与滤波器的应用

所谓自适应噪声消除就是，利用自适应滤波原理从可观测信号中消除不希望有的噪声。自适应噪声消除器的信号模型如图2所示，其中s(n)为信号源、y(n)是观测信号、u(n)是包含了干扰信号z(n)信息的参考信号。

y(n)中所包含的未知

ˆ(nd)，消除干扰信号z(n)的影响。自适应滤干扰信号z(n)近似。从而得到信号s(nd)的最佳估计值s

波器H(q1)的参数调节准则是

1

ˆ(nd)EJEy(nd)zy(nd)H(q)u(n)



2



2

 (9-41)



当s(n)、z(n)和w1(n)互不相关时，有

JE

y(nd)zˆ(nd)Es(nd)w1(nd)z(nd)zˆ(nd)

2

2

ˆ(nd) (9-42) Es2(nd)Ew12(nd)Ez(nd)z

2



显然，(9-35)式中的前二项与滤波器H(q1)的参数无关，自适应噪音消除器ANC的输出能量最小将

ˆ(nd)导致指标JEz(nd)z



2



Ez(nd) (9-43)

2



最小，也即z(nd)的估计误差z(nd)的方差最小。此时，自适应噪音消除器ANC输出

ˆ(nd)y(nd)zˆ(nd)s(nd)z(nd)w1(nd) (9-41)式可以用9.2所述方法求解。 s

2) 自适应反卷积(Adaptive Deconvolution)

希望通过对系统输出y(n)的滤波，获得未知信号s(n)的估计。由于y(n)可观察，但s(n)未知或不可

1

观测，我们无法求解以下最小问题JEs(nd)H(q)y(n)



2

min

为了确定滤波器H(q1)的参数，可以给系统g(n)施加一个训练序列T(n) (Training sequence)。通过在训练序列T(n)和系统对训练序列T(n)的相应y(n)之间建立滤波关系H(q1)，即求解

1

JET(nd)H(q)y(n)



2

min (9-46)

自适应反卷积的原理如图9-3所示。通过调节滤波器参数，使滤波器的输出逼近已知的训练序列，

也就是使逼近的均方误差最小。

如果系统具有时变特性，需要周期性的训练，使滤波器的特性跟随系统特性的变化。自适应反卷积又称为“逆建模”，因为当d0时，最佳滤波器H(q1)是系统传递函数的倒数。

3

设s(n)是有用信号，w(n)为干扰信号，s(n)的观测信号y(n)受到w(n)的污染。希望设计一个滤波器，对观测信号

滤波后，获得有用信号的估计，以减小、消除的影响。

图9-4 ALE模型

ˆ(n) 显然，滤波器的设计指标应当是使有用信号的估计误差e1(n)s(n)s

ˆ(n)的方差J1Es(n)s



2

Es(n)H(q

2

1

)y(nd)2 (9-48)



最小。然而，如果我们无法获得s(n)，也就无法解决该问题。由于

ˆ(n)y(n)H(q1)y(nd)s(n)w(n)H(q1)y(nd) (9-49) e(n)y(n)s

1

JEe(n)Ey(n)H(q)y(nd) (9-50)

2



假设s(n)使周期窄带信号，w(n)为宽带信号。由于s(n)经过延时后与其自身仍是强相关的，而w(n)经过足够长的时延后与原噪声信号不相关。因此，s(n)与s(nd)之间可以用一种模型关系表示，且不受噪

1

声w(n)的影响。于是有JEs(n)w(n)H(q)s(nd)w(nd)

2

Es(n)H(q



1



ˆ(n)Ew(n)JEw(n) )y(nd)Ew(n)Es(n)s

2

2

2

2

2

1

上式中的最后一项与滤波器H(q1)无关。因此，ALE滤波器的设计准则(9-48)式与(9-50)式等价。通过使

ˆ(n)。 (9-50)式最小，即可得滤波器H(q1)，进而获得估计s

4）ANC-ALE型自适应噪声消除

ˆ(nd)中包含估计误差z(nd)和从（9-44）式可以看出，在自适应噪声消除器(ANC)的输出信号s

测量噪声w(nd)，一种削弱z(nd)及w1(nd)影响的方法就是，将ANC和ALE结合起来。

具体设计方法约。

5）自适应信号检测 (ASD)

根据自适应噪声消除原理，可以构造一个自适应信号检测器（ASD）如图9-6所示，其中z(n)是检测参考信号，w(n)是测量噪声，s(n)f(n)v(n)是被检信号。

ˆ(n)JEe2(n)Ey(nd)s

2

1

Ey(nd)H(q)z(n)

2

min (9-52)

ˆ(n)假设f(n)、v(n)和w(n)两两不相关，f(n)与检测参考信号z(n)强相关,则自适应滤波器的输出f是被检测信号f(n)的最小方差估计：

 若s(n)与z(n)不相关，即s(n)所包含的f(n)分量为零,则估计也为零；

ˆ(n)是被检信号s(n)中所包含的与检测残酷信号z(n)线性相关部分 一般情况下，ASD的输出f

的最小方差估计值。

分布函数与分布密度函数F(t1

,x1

)P(X(t

1

)x1)

，t1

T

F(t1,t2,x1,x2)P(X(t1)x1,X(t2)x2)，t1,t2T

F(t1,t2,,tn,x1,x2,,xn)P(X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn)xn)

f(tF(t1,x1)

f(t

F(t1,t2,x1,x2)，t1,t2T

1,x1)

x1,t2,x1,x2)1

x1x2f(t,,tF(t1,t2,,tn,x1,x2,,xn)

1,t2n,x1,x2,,xn)

x1x2xn

一个随机过程的有限维分布族具有如下两个性质。1）对称性2）相容性 特例：



f(t,x)dxF(t,)1

3 随机变量的存在性定理：若F(x)是左连续的单调不减函数，且F()0,F()1，则存在概率空间(,F,P)及其之上的，其分布为F(x)。

随机过程的存在性定理（柯尔莫哥洛夫）设分布函数族F(t1,t2,,tn,x1,x2,,xn)，t1,t2,,tnT，n1满足上述对称性和相容性，则必存在一个随机过程X(t)，其分布函数族恰好是该有限维分布族。

4随机信号的均值函数x(t)EX(t)



xf(t,x)dx

随机信号的均方函数D2



2

x(t)EX(t)x

f(t,x)dx

一维分布的数字特征量之间的关系

D(t)2)2

xx(tx(t)

证明：因为2x(t)

[xx(t)]2f(t,x)dx



x2f(t,x)dx2)2

x(txf(t,x)dxx(t)





f(t,x)dx

Cx(t1,t2)E[X(t1)x(t1)][X(t2)x(t2)]





[x1x(t1)][x2x(t2)]f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2 自相关函数Rx(t1,t2)EX(t1)X(t2)







x1x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2

Rx(t1,t2)Cx(t1,t2)x(t1)x(t2) 证明：若X(t1)和X(t2

)的联合分布密度函数

f(t1,t2,x1,x2)，则X(t1)和X(t2)的边际分布密度函数分别为f(t1,x1)

f(t1,t2,x1,x2)dx2,

f(t

2,x2)

f(t1,t2,x1,x2)dx1

且









f(t1,t2,x1,x2)dx1dx21

因此Cx(t1,t2)





x1x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2











x(t1)x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2











x(t2)x1f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2







x(t1)x(t2)f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2









x1x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2x(t1)







x2f(t2,x2)dx2

)

x(t2

x1f(t1,x1)dx1x(t1)x(t2)

Rx(t1,t2)x(t1)x(t2)

5二阶矩过程：一个随机信号X(t),对于所有t∈τ,其均值和均方都存在，则称其为二阶矩过程。 性质：自协方差函数对所有t都存在。

6一个平稳随机过程，如果满足：它的单一样本的时间平均与总集平均（某一时刻的统计平均）相等；它的单一样本的时间自相关与总集自相关相等；则称其为各态遍历的随机过程。

推论1：各态遍历的平稳随机信号X(t)的在总集意义下的瞬时功率EX2(t)与单一样本函数x(t)的

平均功率相等，即Plim1T

x2

(t)dtEX2

x

(t)Rx(0)

T

2TT

推论2：各态遍历的平稳随机信号的自协方差函数与单一样本函数的自协方差函数相等。 互协方差函数Cxy(t1,t2)E[X(t1)x(t1)][Y(t2)y(t2)] 



[xx(t1)][yy(t2)]f(t1,t2,x,y)dxdy

互相关函数Rxy(t1,t2)EX(t1)Y(t2)









xyf(t1,t2,x,y)dxdy

其中f(t1,t2,x,y)是X(t1)和Y(t2)的联合分布密度

函数。互协方差函数与互相关函数存在关系

Rxy(t1,t2)Cxy(t1,t2)x(t1)y(t2)证明

2）联合平稳 如果随机过程X(t)和Y(t)是平稳

的，它们的互相关函数Rxy(t1,t2)与时间的起点，而

仅依赖于时间差t2t1，(t2t1)，即Rxy

(t1

,t2

)

EX(t1)Y(t2)EX(t1)Y(t1)EX(t)Y(t)Rxy() 3）联合平稳随机过程的互协方差函数 联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为

Cxy(t1,t2)Rxy(t1,t2)x(t1)y(t2)Rxy()xyCxy()证明 4对于联合平稳的随机信号 ）联合平稳随机过程的各态遍历 X(t)和Y(t)，如果各自的样本函数x(t)和y(t)的时间互相关与样本总集互相关相等，即

Rxy()EX(t)Y(t)lim

1)dt 则

T

2T



T

T

x(t)y(t称它们是各态遍历的联合平稳随机过程。Cxy()Rxy()xy证明

7高斯随机信号（正态随机信号）如果随机信号

X(t)的n维分布密度函数服从高斯分布，即

f(t1,t2,,tn,x1,x2,,xn)

1(2)

nL2(l2)称为内积空间并且具有完备性可分性是

|C|

1

1exp(Mx)TC1(Mx)

2

Hilbert空间。

（1）线性相关1x12x2kxk0 （2）正交xi,xj0，ij记xixj,ij。 （3）正交分解y(t)1x12x2kxk,iy,xi/xi,xi

信号距离d(x,y)xybx(t)y(t)2dt，

2a

1/2

高斯随机信号的特征完全由其均值向量Mx和自协方差矩阵C所决定。 8 随机序列xEX(n)

lim2N1x(n)

N

nN

1

N



t[a,b]或d(x,y)xy

2

R(m)EX(n)X(nm)lim

N

1

x(n)x(nm)  n  ,N ] [M

N2

x(n)y(n)nM

1/2

，

xN

2N1nN

雷达站在t0时刻发出一个信号u(t),遇到障

碍物后又反射回来。理想情况下，在t时雷达站开始收到反射信号x(t)au(t)，其中a反

映信号经反射后的能量损失，反映雷达站与障碍物之间的距离d，具体为dc其中c是光

速。由于各种随机干扰的存在，雷达站实际收到的是y(t)x(t)n(t)，其中n(t)反映各种随机干扰的效应，称为噪声，它是随机过程。

２）预测与控制3）噪声抑制、消除4）信息压缩 1范数x(t)max{x(t)t}（x(n)max{x(n)n}）

x(t)

1x(t)（x(n)

1



n

x(n)

）

1

x(t)

2

（

）

2

x(t)dt

x(n)

2

x(n)2

n

信号范数具有如下性质（其中，p=1,2,∞）：

1）xp0；x0，当且仅当x恒为零； p

2）xp

x

p

，为实数； 3）xy

p

x

p

y

p

最大幅度有界信号空间记为L{x:x



} 绝对可积（或绝对可和）信号空间L1{x:x1} 平方可积（或平方可和）信号空间L2{x:x2} 在赋范线性空间L2（或l2）中，定义二信号的内积x(t),y(t)

x(t)y(t)dt（L2空间或

2x(n),y(n)x(n)y(n)l空间） n

通过简单验证，可知内积x,y满足： 1）x,yx,y2）xy,zx,zy,z3）x,yy,x4）x,x0，并且x,x0的充要条件是

x。 当xy时，有x,xx22 2）==-

距离性质：2）d(x,y)d(y,x)3）

d(x,y)d(x,z)z(z,x)

0d(x,y)，仅当x

y几乎处处成立时，

d(x,y)0

范数、距离、内积的关系：

x222y

2x,y

x2222y2x,y 2

（1）d2(x,y)

xy,xyx2

2

2y22x,y

2定义：对于L2（或l2）中两非零信号x与y，（1）若它们线性相关，则意味着存在0使xy，此时称信号x与y相似；（2）若二者正交，即xy，或x,y0，则称x与y（完全）不相似。

3定理1：对于L2（或l2）中任意的非零信号x和给定的信号y，x可以分解为与y相似和与y完全不相似的二非零信号之和, 即：xx1x2，x1，x2

且x1和x2满足条件：x1,y0，x1,x20

此时，称x与y部分相似。 证明： （构造方式证明）若取 

x,yy

2

x1xy，x2y则有

x 1, y  x    y, y  x ,y   y,y0 x1定理 , x 2 x1,yx1,y0且x1x2x

于两信号能量之和。若 2 （能量分解）

：两部相似信号之和的能量等

xy，zxy，则

EzExEy。 证明： E22

zz2xy2xy,xy欧式空间

的

x,x2x,yy,y

x2

2

2y2ExEy。勾股定理

相似信号分量检测（思路）如何判断在x中一定

存在与y相似的信号分量以及如何将该分量从x中分离出来。作信号z=x-α.y，则其能量为