勾股定理逆定理
17.2 勾股定理的逆定理
要点感知1 若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则△ABC是__________三角形,__________=90°,这个定理叫做___________________. 要点感知2 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.
要点感知3 一个命题成立,那么它的逆命题__________成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为__________.
预习练习3-1 “两直线平行,内错角相等”的逆定理是______________________________.
知识点1 互逆命题
3.(2014·广州)已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题:______________________________,该逆命题是__________命题(填“真”或“假”).
知识点2 勾股定理的逆定理
1.三角形的边长之比为:①1.5∶2∶2.5;②4∶7.5∶8.5;③1
2;④3.5∶
4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.四个三角形边长分别是:①
c=6;②a∶b∶c=1
③
b=3,
④3k,4k,5k(k≠0),其中直角三角形的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,那么这个三角形为(
)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
4.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,三边分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形,并指出哪一个角是直角.
(2)a=5,b=7,c=9;
5.AD为△ABC的中线,且AB=13,BC=10,AD=12,则AC等于( )
A.10 B.11 C.12 D.13
6.如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积
.
方法归纳 利用勾股定理解决折叠问题
1 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5 cm,BC=10 cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( )
A.25152515 cm B. cm C. cm D.
cm 2244
2.(2014·青岛)如图,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上,若AB=6,BC=9,则BF的长为( )
A.4
B.3 C.4.5
D.5
3.如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图,长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC上的F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,则FC等于( )
A.1 B.2 C.3
D.4
5.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为
A′,且B′C=3,则AM的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.25
D.2.5
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为
__________.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是__________.
二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题
1. 如图,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
__________cm.
2.如图,一圆柱体的底面周长为24 cm,高AB为5 cm,BC是直径,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )
A.6 cm B.12 cm C.13 cm
D.16 cm
3.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm,底面是边长为4 cm的正方形,从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短?最短长度是多少?