机器人学蔡自兴课后习题答案
其余的比较简单,大家可以自己考虑。
3. 坐标系{B}的位置变化如下:初始时,坐标系{A}与{B}重合,让坐标系{B}绕
A
ZB轴旋转角;然后再绕XB旋转角。给出把对矢量BP的描述变为对P描述
的旋转矩阵。
解:坐标系{B}相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次,为相对变换,齐次变
换顺序为依次右乘。
AB
对P描述有 APABTP ;
其中 ABTRot(z,)Rot(x,) 。
9. 图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。
(1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列,每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
(2)作图说明每个从右至左的变换序列。 (3)作图说明每个从左至右的变换序列。
解:(1)方法1:如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2},与2个楔块相固联。
图1:楔块坐标系建立(方法1)
对楔块1进行的变换矩阵为:T1Rot(y,90)Rot(z,90) ;
对楔块2进行的变换矩阵为:
oo
T2Trans(3,0,4)Rot(z,90o)02TRot(x,90)Rot(z,180) ;
10其中 02T0001
所以 :T1
00
01000010
00101000
05 ; 01
0001
1000 ;T2
0100
1000
2
0 41
对楔块2的变换步骤:
① 绕自身坐标系X轴旋转90; ② 绕新形成的坐标系的Z轴旋转180; ③ 绕定系的Z轴旋转90; ④ 沿定系的各轴平移(3,0,4)。
方法2:如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}与参考坐标系重合,两坐标系与2个楔块相固联。
图1:楔块坐标系建立(方法2)
对楔块1进行的变换矩阵为:T1Rot(y,90)Rot(z,90) ; 对楔块2进行的变换矩阵为:
T2Trans(2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90o)Rot(x,180o)Rot(z,90o) ;
01
所以 :T1
00
00101000
0001
1000 ;T2
0100
10002
0 。 91
备注:当建立的相对坐标系位置不同时,到达理想位置的变换矩阵不同。 (2)、(3)略。
2. 图3-11 给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方程式。
解:方法1建模:
如图3建立各连杆的坐标系。
图3:机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表1。
表1:机械手的连杆参数
该3自由度机械手的变换矩阵: 0T3A1A2A3 ;
c1sA11
00c3sA33
00
0s10c11000
L1c1c2
sL1s1 ; A2200
10
s2
c200
0L2c20L2s2 ; 10
01
s300
c300 ; 010
001
c1c2c3c1s2s3
sccsss
1230
T3123
s2c3c2s3
0方法二进行建模:
c1c2s3c1s2c3
s1c2s3s1s2c3
s2s3c2c3
0s
1c100
L1c1L2c1c2L1s1L2s1c2
L2s2
1
坐标系的建立如图4所示。
图4:机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表2。
表2:机械手的连杆参数
0L110 ; 00
01
0010
0c2
00 ; A2s20
10
s2
0c20
c1s1sc1
A11
00
00c3
sA33
00
s3c300
0L200; 10
01
c1c2c3c1s2s3sccsss
1230
T3123
s2c3c2s3
0
c1c2s3c1s2c3
s1c2s3s1s2c3
s2s3c2c3
0s1c100
L1c1L2c1c2L1s1L2s1c2
L2s2
1
3. 图3-12 所示3 自由度机械手,其关节1与关节2相交,而关节2与关节3平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机械手各连杆的坐标系,然后求各变换矩阵0T1,1T2和2T3。
解:对于末端执行器而言,因为单独指定了末端执行器的坐标系,则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。 方法1建模:
按照方法1进行各连杆的坐标系建立,建立方法见图5。
图5:机械手的坐标系建立
连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的D-H参数值见表3。
表3:机械手的连杆参数
注:关节变量 12340 。
将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为:
100
T1
001
0010;1T2010L1L2
001000L41
01003; T末
0010
0010
000
00L3
100; 010
001000100 010
001
102
T3
00
方法2建模:
按照方法2进行各连杆的坐标系建立,建立方法见图6。
图6:机械手的坐标系建立
3自由度机械手的D-H参数值见表4。
表4:机械手的连杆参数
注:关节变量 12340 。
将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为:
100
T1
001
0100; 1T2001L1L2
0010
000
0
010; 100
001
00
102
T3
00
0100
0L31
0003; T末
010
010
1
000
01000100
0L400 10
01
43;对于基座标系的微分01
00
1. 已知坐标系{C}对基座标系的变换为:C
10
平移分量分别为沿X轴移动0.5,沿Y轴移动0,沿Z轴移动1;微分旋转分量分别为0.1,0.2和0。
(1) 求相应的微分变换;
(2) 求对应于坐标系{C}的等效微分平移与旋转。 解:(1)对基座标系的微分平移:d[0.5,0,1]T;
对基座标系的微分旋转: [0.1,0.2,0]T;
00.20.50
000.10;
0.20.1010000
000.50.20.1000 相应的微分变换:dcc00.20.10.50000 (2)由相对变换C可知n、o、a、p,
c
dxn((p)d)0.5;cdyo((p)d)0.5;cdza((p)d)0
c
xn0;cyo0.1;cza0.2
对应于坐标系{C}的等效微分平移:cd[0.5;0.5;0];微分旋转:c[0;0.1;0.2]。 2. 试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵,所用坐标系位于夹手末端上,其姿态与第三关节的姿态一样。 解:设第3个连杆长度为L3。
1)使用方法1建模,末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合,使用微分变换法。
图7:机械手的坐标系建立
表5:D-H参数表
0000; 3T3E;
1001
c(23)s(23)s()c()
3231
T32
00
00由上式求得雅可比矩阵:
0L2c2c3
s0L2s22;T33010
010
L2s3
Lc230T
J
000
00
0000
; 0000
11
s3c3
00
2)使用方法2建模,使用微分变换法。
图8:机械手的坐标系建立
表6:D-H参数表
0L200;10
01
c(23)s(23)0L1L2c2c3s3s001021;T33c3T3
0s(23)c(23)00L2s2
000010
3
T3E;
由上式求得雅可比矩阵:
0
0
L1L2c2
T
J
s(23)c(23)
0
L2s3L2c30001
0
00;001