陕西省单招考试数学真题试卷
2017年西安医学高等专科学校高职单招考试模拟试题三 数学
第一部分 选择题
一、 选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)在每小题给出的四个
选项,只有一项是符合题目的要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. 1.下列各组中表示同一函数的是 ( ) A. lg(x +2) 2和2lg(x +2) B. C. D.
(x -1)(x +3)
和x +3
x -1
x +3
2. 设f (x ) =a x (a >0,则f (n ) (0)= ( ) a ≠1)A .ln n a B. a x ln n a
1a x C. n D. n
ln a ln a
3.设f (x ) 在x 0点满足f '(x 0) =f ''(x 0) =0,则f (x ) 在x 0点 ( ) A. 有极大值 B. 有极小值
C. 无极值 D. 有无极值不确定 4.
x 2(2+x ) dx = ( ) ⎰
11x
2+3x 3+C A. ln 2∙2x +x 3+C B.
3ln 2
11
∙2x +x 3+C D. ln 2∙2x +3x 3+C C. ln 23
5. 函数z =f (x , y ) 在(x 0, y 0)处可微与可导的关系是 ( ) A. 可导一定可微 B. 可微一定可导 C. 可导不一定可微 D. 可微一定不可导 第二部分 非选择题
二、填空题:本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在题中横线上.
(2n +1) 5(3n -5) 4
6.极限lim =__________.
x →∞(2n -3) 9
7.设f () = 8.
1x x -1
,则函数f -1(x ) =________.
x
9.若
⎰
a
cos 2x
= -1,则a =________.
cos x +sin x
10.曲线y = (x -1) 3-1的拐点是_________. 11.设f (x , y
) =
f x '(1,1)=________.
x
12.直线l 和x 轴平行且于曲线y =x -e 相切,则切点坐标是________. 13.若
⎰f (x ) dx =F (x ) +C ,则⎰f (3x -5) dx =_______.
+∞2
14. 广义积分⎰
1
dx =_________. 2
x +x -2
67
,P (A +B ) =,则P (B ) =_______. 1010
三、解答题:本大题共13个小题,共90分。解答应写出推理,演算步骤。
15. 设A 、B 是相互独立事件,已知P (A ) =
16. 设f (x ) = x ,g (x ) =b ,x <0, 如果F (x ) =f (x ) +g (x ) 在(-∞, +∞)上连续,求
参数a 与b 的值. (6分)
17. 求lim(
x →∞
x -1x
) . (6分) x +3
18. 设y
=e
dy . (6分)
x y
19.设y =y (x ) 是曲线方程e -e =sin(xy ) 所确定的隐函数,求y '(0). (6分)
20.
计算
⎰
π
.(6分)
21. 设f (x , y ) =(1+xy ) y ,求f x '(1,1),f y '(1,1). (6分)
22. 设z =ln tg
23. 计算
∂z ∂z x
,求,. (6分)
∂x ∂y y
⎰
+∞
-∞
1
dx . (6分) 2
x +2x +2
x (1-x 2)
dx . (6分) 24. ⎰1+x 4
25. 盒中有k 号球k 个,其中k =1,2,3,… ,n ,从中任取一个,求所取号码的数学期望. (6分)
26. 设z =(2x +y ) 2x +y 求全微分dz . (10分)
27. y =
讨论函数
y =
8x +f (x
(+∞
(=-
)
0+∞-x -
3
2
,
)
X
)
2
)
f 0
m
-3-
8⎡
9x →∞⎢⎣x +4⎤
, -t =x -uf ''2⎥x ⎦
x (1
-x ⎰u 2g u du x -l xu +u du d 2x -u i
022
的性质. (10分)
112
28. 设g (x ) 在(-∞, +∞)上连续,⎰g (x ) dx =2,令f (x ) =⎰g (x -t ) ∙t dt . 求f '(1).
020
1
(10分)
高等数学(二)标准预测试卷(二)参考答案
一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.B
13πarcsin 3x +C 9. 10. (1,-1)
43
111111. 12. (0,-1) 13. F (3x -5) +C 14. ln 4 15.
2343
4
二、6. () 7. 1-x 8.
32
三、16. 解F (x ) =f (x ) +g (x ) = x +b , x <0 2x +2, 0≤x <1 x +2+a ,1≤x
F (x ) =lim F (x ) ,即4=3+a ,a =1, 如果F (x ) 在x =0连续,有lim -+
x →1
x →1
所以a =1,b =2为所求. 17. lim(
x →∞
x -1x 4x +3-3
) =lim(1-)
x →∞x +3x +3
-4
3
⎡⎤4-x +4-3-4
) 4⎥∙(1-) =e =lim ⎢(1-
x →∞x +3x +3⎣⎦
18. 解:dy
=(e
=e
'
dx =e
'dx
·'dx
19.解:方程两边关于x 求导,得
e x -e y ·y '=cos(xy )(y +xy ')
所以
e x -y cos(xy )
y '=y |x =0=1
e +x cos(xy ) y =0
20.
解:
⎰
π
=⎰
π
sin x ∙cos xdx -πsin x ∙cos xdx
2
32
π
=
⎰⎰
20
π
32
π
=
20
sin xd sin x -πsin xd sin x
2
32
π
32
⎡25
=⎢sin 2
⎣55
⎤π⎡22x ⎥|0-⎢sin 2⎦⎣5⎤
x ⎥|ππ ⎦2
=
4 5
21. 解:因为z =(1+xy ) y ,所以
ln z =ln(1+xy ) y =y ln(1+xy ) ,两边关于x 求导,得
11y 2∙z 'y ∙∙(1+xy ) 'x = x = z 1+xy 1+xy
y 2因此f x '(x , y ) =z =y 2(1+xy ) y -1
1+xy
两边关于y 求导,得
11∙z '(1+xy ) 'y ln(1+xy ) +y =·y z 1+xy
=ln(1+xy ) +
xy
1+xy
因为f y '(x , y ) =z ⎢ln(1+xy ) +
⎡⎣xy ⎤
1+xy ⎥⎦
xy ⎤
⎥1+xy ⎦
=(1+xy ) y ∙⎢ln(1+xy ) +
⎡⎣
所以f x '(1,1)=1,f y '(1,1)=2ln 2+1
x
∂z 1x x y 2x sec () 'x 22. 解:=·(tan) '=··x
x ∂x tan y y y sin y y
cos
x
11y
=··
x y sin cos 2y y
cos
=
22x y sin
y
x
x x x ∂z y 2x =·(tan) 'y =·sec ·() 'y
y y y ∂y tan y sin y
cos
=-
2x 2x y sin
y
2
23. 解:
⎰
+∞
-∞
0d (x +1) b d (x +1) 1
dx =lim ⎰+lim ⎰
a →-∞a 1+(x +1) 2b →+∞01+(x +1) 2x 2+2x +2
b
=lim arctan(x +1) |a +lim arctan(x +1) |0
a →-∞
b →+∞
=
ππππ-(-) +-
2244
=π
x x (1-x 2) x 3dx +⎰dx =⎰dx 24. 解:⎰444
1+x 1+x 1+x
1dx 21d (1+x 4)
=⎰+
21+x 44⎰1+x 4
=
11
arctan x 2+ln(1+x 4) +C 24
n (n +1)
个球,所以 2
25. 设x 表示任取一球的号码数,袋中共有1+2+3+…+n = P (X =K ) =
2k k
=,k =1,2,… ,n
n (n +1) n (n +1) 2
因此X 的数学期望为
n
2k 2
E (X ) =∑k =k 2 ∑n (n +1) n (n +1) k =1k =1
n
=
n (n +1)(2n +1) 2n +12
·=
63n (n +1)
26. 解:
-p (x )dx ⎡dy ⎰p (x )dx dx +C ⎤故 y =e ⎰Q x e ()⎢⎥dx ⎣⎰⎦
(lnz ) 'x =[(2x +y )ln(2x +y ) ]'x
1
∙z 'x =2ln(2x +y ) +2 z
2x +y
所以z '[ln(2x +y ) +1]∙(2dx +dy ) x =2(2x +y )
同样方法可以求出
2x +y z '∙[1+ln(2x +y ) ] y =2(2x +y )
'所以dz =z 'x dx +z y dy
=(2x +y ) 2x +y [ln(2x +y ) +1]∙(2dx +dy ) 27.解:y '=
-4(x +2) 8(x +3)
''y =, 34
x x
因此在定义域(-∞,0) ∪(0,+∞) 内,可能的极值点及可能对应的拐点为x =-3,x =-2,列表讨论有
又f (-3) =-2,f (-2) =-3,因此(-3, -2)为拐点,f (-2) =-3为极小值又因为
99
⎡4(x +1) ⎤
lim ⎢-2⎥=-2 2x →∞x ⎣⎦
⎡4(x +1) ⎤而lim ⎢-2⎥=∞,所以y =-2点水平渐近线,而x =0为垂直渐近线 2x →∞
⎣x ⎦
28. 解:令x -t =u ,则t =x -u ,则
102
g (u ) ∙(x -u ) d (x -u ) ⎰x 21x 22
=⎰g (u )(x -2xu +u ) du
20
x 12x 1x 2
x g (u ) du =-x ⎰ug (u ) du +⎰u g (u ) du ⎰00220
x x 12122
所以f '(x ) =x ⎰g (u ) du +x g (x ) -⎰ug (u ) du -x g (x ) +x g (x )
0022
f (x ) =
=x
x
⎰
1
x
g (u ) du -⎰ug (u ) du
x 0
x
f ''(x ) =⎰g (u ) du +xg (u ) -xg (u ) =⎰g (u ) du
) ⎰g (u ) du =2 故 f ''(1=