中考二次函数面积综合题
中考二次函数综合复习
1、 已知二次函数y = (a +c ) x +2bx –(c –a ) ,其中a 、b 、c 是△ABC 的三边,且a ≥b ,a ≥c ,a +c =2b 。
(1)若这个二次函数的图像经过原点,试证:△ABC 是等边三角形;
(2)若△ABC 是直角三角形,试证:这个二次函数的图像除顶点以外都在x 轴上方。
2、已知二次函数y =x 2+bx +c +1的图象过点P (2,1) (1)求证:c =-2b -4 (2)求bc 的最大值
(3)若二次函数的图象与x 轴交于点A (x 1,0) ,B (x 2,0) ,∆ABP 的面积是
1 2
3、如图,抛物线y =x +bx -2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,且A (-1,0) .
2(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;) (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论; (3)点M (m ,0) 是x 轴上的一个动点,当MC +MD 的值最小时,求m 的值.
2
3
,求b 4
4、如图,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .
(1)求抛物线和直线AB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ;
(3)设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P ,使S △PAB =S △CAB , 若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由 (4)设点Q 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是
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否存在一点Q ,使S △QAB =S △CAB ,若存在,求出Q 点的坐标;
8
若不存在,请说明理由.
B
y O
A
x
5、已知:如图,抛物线y =ax 2-2ax +c (a ≠0) 与y 轴交于点C (0,4),与x 轴交于点A 、B ,点A 的坐标为(4,0)。 (1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q 是线段AB 上的动点,过点Q 作QE ∥AC ,交BC 于点E ,连接CQ 。当△CQE 的面积最大时,求点Q 的坐标; (3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ,与直线AC 交于点F ,点D 的坐标为(2,0)。问:是否存在这样的直线l ,使得△ODF 是等腰三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
6、如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得△PAC 标;
(3)若点D 是线段OC 上的一个动点
(不与点O 、C 重合).过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E .设CD 的长为
1
m ,问当m 取何值时,S △PDE =S 四边形ABMC .9
7、如图①, 已知抛物线y =ax +bx -3(a ≠0)与x 轴交于点A(1,0) 和点B (-3,0) ,
2
与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;
(2) 如图②,若点E 为第三象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.
2
y
2
y
-5
B
N
-2
A
x
5
B
-2
A
10
x
5151
C
-4
-4
C
图① 图②
8、已知:抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的对称轴为x =-1,与x 轴交于A ,B 两点,与y
2
轴交于点C ,其中A (-3, -2).0)、C (0,
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得△PBC 的周长最小.请求出点P 的坐标.
(3)若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合). 过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E .连接PD 、PE .设CD 的长为△PDE 的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.试说明S 大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
2
9、如图,已知抛物线y=ax+bx+c经过A (﹣3,0),B (1,0),C (0,3)三点,其顶点为D ,对称轴是直线l ,l 与x 轴交于点H . (1)求该抛物线的解析式; (2) 如图(2),若E 是线段AD 上的一个动点( E与A 、D 不重合),过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ,交x 轴于点G ,设点E 的横坐标为m ,△ADF 的面积为S . ①求S 与m 的函数关系式;
②S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E 的坐标; 若不存在,请说明理由.
10、如图,已知抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,连接BC 。 (1)求A 、B 、C 三点的坐标;
(2)若点P 为线段BC 上的一点(不与B 、C 重合),PM ∥y 轴,且PM 交抛物线于点M ,交x 轴于点N ,当△BCM 的面积最大时,求△BPN 的周长;
(3)在(2)的条件下,当BCM 的面积最大时,在抛物线的对称轴上存在点Q ,使得△CNQ 为直角三角形,求点Q 的坐标。
11、如图,对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴相交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为(﹣3,0). (1)求点B 的坐标;
(2)已知a=1,C 为抛物线与y 轴的交点.
①若点P 在抛物线上,且S △POC =4S△BOC .求点P 的坐标;
12、将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3,0) . (1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P 是线段BC 上一动点,过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ,连接AP ,当 △APE 的面积最大时,求点P 的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ,使△AGC 的面积与(2)中△APE 的面积最 大面积相等? 若存在,请求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)在第一象限内的该抛物线上是否存在点M ,使△AMC 的面积最大? 若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
13、如图,在平面直角坐标系中,点A 、
C 的坐标分别为(-10) 点B 在x 轴上.已(0,
知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点,且它的对称轴为直线x 点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点(点P 与B 、C 重合),过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F .
(1)求该二次函数的解析式; (2)若设点P 的横坐标为m 用含m 的代数式表示线段PF 的长.,(3)求△PBC 面积的最大值,并求此时点P 的坐标.