第1讲--数的开方与二次根式的性质

第1讲 数的开方与二次根式的性质

◆【知识考点梳理】

1、平方根与算术平方根的意义：

数的平方根的运算叫做开平方；

（2）一个正数有两个平方根，它们 ；零有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根；

（3）算术平方根：一个正数的正的平方根叫做它的算术平方根；0的算术平方根是0； 2、算术平方根的性质：

①、(a ) 2=a (a ≥0) ②、ab =③、

a ⋅(a ≥0, b ≥0)

⎧a (a ≥0) a a 2

④、 a =a =⎨=(a ≥0, b >0)

b ⎩-a (a ≤0)

3、算术平方根的非负性：a 具有双重非负性：①、a ≥0；②、a ≥0

； 4

、无理数的判定---无限不循环小数

注意：

带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定带根号。判断数看结果。 5、实数的混合运算：

（1

a ≥0，b

≥0）； （2

=（3）合并同类二次根式：

=(a +b ，x

≥0； （4

）在实数范围内，加法运算律、乘法运算律、乘法公式依然成立。

例如：（

a ≥0，b >0

）； =2-2=

x -y

◆【考点聚焦、方法导航】

【考点题型1】----平方根与算术平方根的意义

【例1】1有意义的x 的取值范围是；是 ；

2、（易错题）的算术平方根是（ ）

A 、9 B、3 C、±3 D、±9

3、一个正数m 的两个平方根分别是a +1和a -3，则a = ，m = ； 4、若a =1. 3，则a = ；若x 2=6，则x =； ◆目标训练1：

x +1

有意义的x 的取值范围x

1、

169-6

的算术平方根是 ；(-3) 2的平方根是；10的算术平方根196

是 ；

2

2、的平方根是 ；(-4) 的算术平方根的倒数是

3、一个正数m 的两个平方根分别是a +1和a -3，则a = ，m = ； 4、解方程(x -1) 2=81，则x =（ ）

A 、10 B、4 C、10或-8 D、4或-2 ◆ 点拨：弄清符号特征与意义是关键 【考点2】---无理数的概念 【例2】在数0.1427，

22

，-π，0.1010010001 （两个1之间依次多一个0）

，7

3

中，无理数有 ；分数有 ； 3

◆点拨：判断数看结果。无理数是无限不循环小数。

◆◆◆【考点题型3】---算术平方根的性质

【例3】1

、计算：(-2=_________；若

1

(x -3) 2=9，则x 的值为 2

=

________； =________；2、

化简：=

_______=

_______2

3、若ab

A 、a B 、a -b C 、-a D 、-a -b

【例4】已知：x +

111

=7，求值：①、x 2+2 ②、x -

x x x

◆◆【考点题型4】

【例5】1、

x 的取值范围是（ ）

A 、x ≠3 B 、x ＞3 C 、x ≥3且x ≠7 D 、x ≠2

12

2、已知x -y +22y +z +z -z +=0，求x +y +z 的值；

4

3、若a

满足a =5，求a b 的值；

◆点拨：一个方程含有多个未知数，常考虑配方法构造非负数的和为0. ◆目标训练2：

1、计算或化简：①、②、±+±289= ；

-1

91625

；； ⨯164964

④、

1

=______；=______；-48=________； 5

2、如果x -y +2与x +y -1互为相反数，则3x -2y 的值为 ； 3、如果x -

11

=, 则x 2+2的值为 x x

◆◆【考点题型5】---实数的混合运算

【例6】1、（广东茂名）对于实数a 、b ，给出以下三个判断：

22①、若a =b ，则a =；②、若a

其中正确的判断的个数是（ ）

A 、3 B 、2 C 、1 D 、0

5

2、能使代数式x +2-有意义的x 的范围是（ ）

3-x

A 、x ≥-2且x ≠3 B 、x ≤3 C 、-2≤x

3、（河南）如图, 数轴上表示1

A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（ ）

A

1 B 、1

C 、2

D

2

4、当0≤x ≤1时，化简x +x -1=__________； 【例7】计算下列各题：

（1）9-7+48 （2）(4-23) 2-(3+1)(1-3) （3）()

2

12

-2

-23⨯0. 125+(2004-π) 0-- （4

◆◆ 【创新思维与能力拓展】

【例8】1、已知a , b , c 在数轴上的位置如图所示：

2

2

3

化简：a -a +b +(c -a +b ) +b +c +b =____________；

2、已知a ⋅b ⋅c 为∆ABC 三边的长，化简|a -b +

c ________；

【例9】已知：x =

【例10】1、已知x 2-6x +9=x -3，化简3-x -x -1=___________；

2、已知ab =

5，则

3-2，求x 4+4x 3+2x 2+4x +4的值；

+=__________；

【例11】已知有理数a 、b 、x 、y

满足y =1-a 2x -3=y -1-b 2，试求：

2x +y +2a +b 的值。

作业

第一部分：

1、下列说法中正确的是（ ）

A 、任何数的平方根有两个； B、只有正数才有平方根； C 、一个正数的平方根的平方仍是这个数； D、a 的平方根是a ； 2、若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，下列各式中有意义的是（ ） A 、a B、-a 2 C、-a D、a 3

3、

（怀化）若a -2+(c -4)=0，则a -b +c =；的算术平方根是 ；

4、若a 2=4, b 2=9，且ab

2

2

A 、-2 B 、±5 C 、5 D 、-5

5、若m +

11

=，则m -的平方根是（ ）

m m

A 、±2 B 、±1 C 、1 D 、2

6

a 的取值范围是 ；

第二部分：

7、a , b , c , d 为实数，

a

c

b d

那么当=ad -bc ，

42

=18时，

(1-x ) 5

x =_______；

8

、若10=x +y ，且x 为整数，0

、(-1)

2011

11

--7π) 0+() -1 2

、(π-1) 0+() -1+5-

52