15.3分式方程教案
15.3分式方程
教材来源:初中八年级《数学(上册)》教科书/人民教育出版社 内容来源:初中八年级《数学(上册)》第十五章 主 题:分式方程 课 时:3课时
授课对象:八年级学生 设 计 者:
目标确定的依据
1.课程标准相关要求 (1)会判定分式方程 (2)会解分式方程
(3)能利用分式方程解决实际问题 2.学情分析
学生第一次接触分式方程,在对整式方程的认识还不够深入的情况下,就遇到了解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境,学生对此内容的接受会有很大困难,特别是产生增根的原因,学生没有认知准备。 3.教材分析
分式方程是分母中含有未知数的方程,它是整式方程的延伸和发展,是人们对方程认识的一次提升。解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想),基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母),而正是这一步有可能使方程产生增根,让学生在学习中讨论从而理解、掌握。
目标
(1 ) 会判定分式方程 (2 ) 会解分式方程
(3)能利用分式方程解决实际问题
评价任务
1.通过讲解、分析、讨论,学生会判定分式方程。
3.通过讲解、演板、练习,学生会解分式方程,并且能利用分式方程解决实际问题。
教学过程
课时一 分式方程(1)
第一步:引入新课
1.回忆:一元一次方程的解法,并且解方程2.提出本章引言的问题:
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
分析:设江水的流速为v千米/时,根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系,得到方程
10060.
20v20v
x22x3
2 46
第二步:归纳定义
1提问:方程100
60和方程
20v20v
x22x3
2有何不同? 46
(学生思考、讨论后在全班交流)
2归纳: 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
注意:分母是否含有末知数是区别分式方程与整式方程的关键。
13
43(2)x(x1)x2x(1) (2) (3(4)) ( 471(1)x2xxyx23
3巩固练习:下列方程中,哪些是分式方程?哪些整式方程?
3xx2x11x1
(63x1(x2(6)210((3)5)(57))(8) x2xx5
第三步:探究分析
1提问:如何来解分式方程
10060
呢?
20v20v
(让学生观察方程的特点,引导学生将分式方程转化为整式方程) 2归纳:解分式方程的基本思想和解法
分式方程------整式方程------解整式方程-----检验
323练习
(1)
( x=9 ) xx3 (巩固知识 )
1 10(2)2
增根 x=5)
x5x25
(师生共同解决去分母所得整式方程的解不是原分式方程的解的原因,并让学生懂得解分式
方程验根的必要性及验根的方法)
3x
(3)1
(增根 x=1) (x1)(x2)x1
(强化提高,提出注意事项)
第四步:学习小结
1解分式方程的基本思想:
把分式方程“转化”为整式方程,再利用整式方程的解法求解
2解分式方程的方法:
在方程的两边同乘最简公分母,就可约去分母,化成整式方程 3解分式方程的解的两种情况:
① 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根
4原方程的增根:在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根 5产生增根的原因:在把分式方程转化为整式方程时,分式的两边同时乘以了零 6验根的方法:把求得的根代入最简公分母,看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根,..............不为零的根是原方程的根
7解分式方程的一般步骤:
(1).在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;――化整 (2).解这个整式方程;――解整
(3). 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增,
必须舍去。——验根
第五步:随堂练习
(1)(2)1( x=1)2xx3x13x3 24(3)251 ( 无解( x=3/2) (4)220x1x1
12x2x
第六步:补充练习
1
x3m2解关于x的方程产生增根,则常数m=( -2 )
xa33若关于x的方程1无解,则a=( 1 )
5x44若求A和 B的值 (A=3 B=2) x3x10
1如果,那么增根为x=( 2 ) 35解方程 (x =7)
1xxxx
第七步:谈今天的收获 第八步:布置作业
课时二 分式方程(2)
一.复习引入 解方程:
x51
4xx4x51
解: 1 方程两边同乘以x4x4
(1)1
得 . ∴ 检验:把x=5代入 x-5,得x-5≠0 所以,x=5是原方程的解. (2)
,
x216x2
2 x2x4x2
,得
, ∴
2
2
解:方程两边同乘以
.
检验:把x=2代入 x—4,得x—4=0。 所以,原方程无解。.
思考:上面两个分式方程中,为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是(1)的解,而(2)去分母后所得整式的解却不是(2)的解呢? 学生活动:小组讨论后总结 二.总结
(1)为什么要检验根?
在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产
生不适合原分式方程的解(或根)。对于原分式方程的解来说,必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零,但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根,使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零,也就是说使变形时所乘的整式(各分式的最简公分母)的值为零,它就不适合原方程,则不是原方程的解。
(2)验根的方法
一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验: 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解。 三.应用 例1 解方程
23
x-3x
解:方程两边同乘x(x-3),得 2x=3x-9 解得 x=9
检验:x=9时 x(x-3)≠0,9是原分式方程的解。 例2 解方程
x3
-1
x-1(x1)(x2)
解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 化简,得
x+2=3 解得
x=1 检验:x=1时(x-1)(x+2)=0,1不是原分式方程的解,原分式方程无解。 四.随堂练习 五.课时小结
解分式方程的一般步骤如下:
课时三 分式方程(3)
(一)复习提问
1.解分式方程的步骤
(1)能化简的先化简;(2)方程两边同乘以最简公分母,化分式方程为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.
2.列方程应用题的步骤是什么?
(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.
3.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型?每种类型题的基本公式是什么? 在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有五种: (1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题. (2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法. (3)工程问题
基本公式:工作量=工时×工效. (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水. (二)新课
例3.两个工程队共同参加一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成。哪个队的施工速度快?
11
,设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的,那么甲队半个3x
1111
月完成总工程的,乙队半个月完成总工程的,两队半个月完成总工程的+。
62x62x
分析:甲队一个月完成总工程的
等量关系为:甲、乙两个工程总量=总工程量 则有
111++=1 362x
(教师板书解答、检验过程) 例4:
从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时。用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度是多少?
分析:这里的字母v,s表示已知数据,设提速前的平均速度为x千米/时,则
提速前列车行驶s千米所用的时间为
s
小时,提速后列车的平均速度为(x+v)千米/时,提速后列x
车行驶(s+50)千米所用 的时间为
s+50
小时。 x+v
等量关系:提速前行驶50千米所用的时间=提速后行驶(s+50)千米所用的时间 列方程得:
ss+50= xx+v
(教师板书解答、检验过程)
(三)课堂练习 课本P37 1.2 补充练习: 1.、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行.甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地,立即返回,取过东西后又立即从A向B行进,这样二人恰好在AB中点处相遇,又知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人速度.
根据题意,得
解得 x=4.5.
经检验,x=4.5是这方程的解.
答:甲速度为5千米/小时,乙速度为4.5千米/小时. (四)小结
对于列方程解应用题,一定要善于把生活语言转化为数学语言,从中找出等量关系.对于我们常见的几种类型题我们要熟悉它们的基本关系式.
(五)、作业 板书设计