成分数据组合预测模型及其应用

山西大学

２０１２届硕士学位论文

成分数据组合预测模型及其应用

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指导教师

学科专业

研究方向

培养单位

学习年限原静张晓琴概率论与数理统计应用统计数学科学学院２００９年９月一２０１２年６月二Ｏ一二年六月

ＴｈｅｓｉｓｆｏｒＭａｓｔｅｒ’ＳＤｅｇｒｅｅ，ＳｈａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１２ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｉｎＣｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌＤａｔａＳｔｕｄｅｎｔＮａｍｅＹｕａｎＪｉｎｇＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒＺｈａｎｇＸｉａｏｑｉｎＭａｊｏｒＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＴｈｅｏｒｙａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓＦｉｅｌｄｏｆＲｅｓｅａｒｃｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＳｔａｔｉｓｔｉｃｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔＳｃｈｏｏＩｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａＩＳｃｉｅｎｃｅｓＲｅｓｅａｒｃｈＤｕｒａｔｉｏｎ２００９．０９—２０１２．０６Ｊｕｎｅ，２０１２Ｔｈｅ

目录

中文摘要……………………………………………………………………．ｉ英文摘要……………………………………………………………………ｉｉ

第一章绪论…………………………………………………………………１§１．１研究背景及意义………………………………………………………１§１．２成分数据……………………………………………………………．３§１．２．１单形空间中的运算………………………………………………．３§１．２．２单形空间中的几何结构…………………………………………．．４

第二章成分数据的变换………………………………………………………６§２．１非对称对数对比变换与非对称对数对比变换……………………………６§２．２球坐标变换…………………………………………………………．．８§２．３等距对数对比变换……………………………………………………８

第三章组合预测相关理论介绍………………………………………………１１§３．１单预测模型介绍……………………………………………………．．１２§３．１．１回归分析预测…………………………………………………．．１２§３．１．２时间序列平滑预测………………………………………………１３§３．２组合预测的基本原理…………………………………………………１６§３．３预测效果评价………………………………………………………．１８

第四章实证分析……………………………………………………………１９§４．１北京市三次产业结构的预测分析……………………………………．．２０§４．１．１数据说明………………………………………………………．２０§４．１．２两种变换的回归预测及其组合预测………………………………．２１§４．２中国三次产业结构的预测分析………………………………………．．２４§４．２．１数据说明………………………………………………………．２４

§４．２．２回归预测与三次平滑预测及其组合预测………………．．

结束语…………………………………………………………．．

参考文献………………………………………………………．．

发表文章目录……………………………………………………

致谢…………………………………………………………．．

个人简况………………………………………………………．．

承诺书…………………………………………………………．．●●●●●●●●●●●弱嬲凹●●●●●●●●●●●疆●●●●●●●●龃●●●●●●；号●●●●●●●卵

●学位论文使用授权声明……………………………………………●●，●●●●●●●●勰

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

ＡｂｓｔｒａｃｔｉｎＣｈｉｎｅｓｅ．．．．．．．…．．．．．．．．．………．……．．．．．……．．．．．．．．．．．………．ｉＡｂｓｔｒａｃｔ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ｉｉＣｈａｐｔｅｒ１Ｐｒｅｆａｃｅ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１，§１．１ＢａｃｋｇｒｏｕｎｄａｎｄＳｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｏｆｔｈｅＲｅｓｅａｒｃｈ

§１．２Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ

§２．２．１

§２．２．２

Ｃｈａｐｔｅｒ２Ｄａｔａ…．．．．．．．．．．…………………………．……………．３Ｓｉｍｐｌｅｘ…………………………………………３Ｓｉｍｐｌｅｘ………．．．．．．．．．………………．．４ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅＧｅｏｍｅｔｒｉｃＳｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅｆｏｒＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓＣｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌＤａｔａ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６§２．１

§２．２

§２．２ＡｄｄｉｔｉｖｅｌｏｇｒａｔｉｏａｎｄｃｅｎｔｅｒｌｏｇｒａｔｉｏＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ…………………．．．．．６ＨｙｐｅｒｓｐｈｅｒｅＴｒａｎｓｆｒｏｍａｔｉｏｎ……．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．…．．．．．．．．．．……．．８Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ…．．．．．．．．．．．．．．．…．．．．．．．．．．…．．…．．．．．．８

ｆｏｒｅｃａｓｔ……．．．．．．…………．．……．１１ＩｓｏｍｅｔｒｉｃＬｏｇｒａｔｉｏＣｈａｐｔｅｒ３ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ

§３．１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆｓｉｎｇｌｅＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｍｏｄｅｌ…………………………………１２

§３．１．１Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ………………………………………………．……．１２

Ｔｉｍｅ§３．１．２

§３．２

§３．３Ｓｅｒｉｅｓ……………………………………………………．１３ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ………………………………．．１６ｔｈｅＰｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｔｈｅＳｔａｎｄａｒｄｏｆｔｈｅＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｇＥｆｆｅｃｔｉｏｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ４ＣａｓｅＳｔｕｄｙ…．．．．．．．．．．．…．．．．．．．……．．．．．．．．．．．．．．．．．…．．．．．．……．１９

Ｂｅｉｊｉｎｇ………………………………．２０§４．１ＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｏｆＴｈｒｅｅＩｎｄｕｓｔｒｉｅｓｉｎ

§４．１．１

§４．１．２ＣａｓｅＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ………………………………………………．２０ｏｎＲｅｇｒｅｓｓｉｏｎＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｇＢａｓｅｄ

ｏｆＴｈｒｅｅａｉｒａｎｄＤＲＨＴａｎｄｔｈｅｉｒＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ．２１§４．２Ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ

§４．２．１ＣａｓｅＩｎｄｕｓｔｒｉｅｓｉｎＣｈｉｎａ………………………………．．２２Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ………………………………………………．２４

§４．２．２ＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｏｆｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎａｎｄＴｉｍｅｓｅｒｉｅｓａｎｄＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ…………．．２５Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ．…．．．．．…………………………………．………．．．．．…．．……．２８Ｒ启ｆｅｒｅｎｃｅｓ………………………………………．．．．…………．．……．．．…２９ＰｕｂｌｉｓｈｅｄＡｒｔｉｃｌｅｓＤｉｒｅｃｔｏｒｙ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３４Ａｃｋｎｏｗｌｅｄｇｍｅｎｔｓ…………………………………………．．……………．．３５Ｐｅｒｓｏｎａｌ

ＬｅｔｔｅｒｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．．．．．．．．．…………．…．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３６ｃｏｍｍｉｔｍｅｎｔ．．．．．…………．…………．．．．．………．．．．．．．．．．．．．．．．．．３７Ａｕｔｈｏｒｉｚａｔｉｏｎｓｔａｔｅｍｅｎｔ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３Ｅ；ｌＶ

中义摘要

中文摘要

成分数据是一类具有复杂性质的数据，它反映的是数据的相对信息，而非绝对信息．定和限制使得成分数据的统计分析有别于其他一般数据，因为一般数据的统计分析的前提假设会是正态分布，而成分数据的定和限制不可能使其满足一般的前提假设，所以需要对其先做变换然后在进行分析．成分数据的研究起源于地质学中研究矿物质的各个成分的比例，现在在管理学、经济学中也有很多关于成分数据的研究，特别是成分数据的预测研究在管理学与经济学中有很重要的地位．组合预测是近年来在预测中应用比较广的一种方法，它能够充分利用单预测模型的信息，提高了预测精度，增强预测的稳定性，且具有较高的适应能力．由于这些优点，组合预测在被提出之后就引起国内外学者的广泛关注．本文首次把组合预测方法应用到成分数据的预测分析中．基于成分数据的一些基本性质，利用成分数据的变换对成分数据做了回归预测，指数平滑预测，然后再运用组合预测得到好的预测结果．论文由四章组成．

第一章，主要介绍了成分数据的研究背景，研究意义及国内外的研究现状，及其已有的成分数据空间中的群结构与几何结构．

第二章，主要介绍了成分数据的变换，其中包括非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换、对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换、等距ｌｏｇｒａｔｉｏ变化和球坐标变换．

第三章，主要介绍本文运用到的关于组合预测的相关理论及一些预测标准，结合成分数据的距离定义，给出成分数据组合预测求权重的优化模型．

第四章，主要做了两个例子，分别是北京市和中国三次产业的预测分析，首先对其做变换，然后对变换后的数据做预测，最后在经过逆变换把预测数据返回到成分数据作为拟合值．对两种不同的预测方法做组合得到优于单预测模型的预测结果．关键词：成分数据；非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换；球坐标变换；组合预测

成分数据组合预测及其应用

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａａｒｅｐａｒｔｓｏｆｔｈｅｗｈｏｌｅｒｅｆｌｅｃｔｉｎｇｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄａｔａｉｎｓｔｅａｄｏｆｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａｄｅｒｉｖｅｄｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎｏｆｍｉｎｅｒａｌｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｔｈｅｇｅｏｌｏｇｙ．Ｔｈｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａｄｉｆｉｅｒｅｎｔｆｒｏｍｔｈａｔｏｆｔｈｅｏｔｈｅｒｄａｔａｂｅｃａｕｓｅｏｆｔｈｅｓｕｍｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｎｅｅｄｔｈｅｔｒａｎｓｆｏ卜ｍａｒｉｏｎｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａ，ｂｅｃａｕｓｅｔｈｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒｔｈｅｃｏｍｍｏｎｄａｔａａｌｗａｙｓｈａｖｅｔｈｅｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｏｆｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

Ｎｏｗａｄａｙｓ，ｉｔｉｓａｐｐｌｉｅｄｉｎｔｈｅｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，ｅｃｏｎｏｍｉｃｓａｎｄｉｔｓｉｍｐｏｒｔａｎｃｅｉｓｈｉｇｈｌｉｇｈｔｉｎｔｈｅｓｅｆｉｅｌｄ．Ｔｈｅｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｓｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｔｈｅｆｏｒｅｃａｓｔ，ｗｈｉｃｈｍａｋｅｆｕｌｌｕｓｅｏｆｔｈｅｓｉｎｇｌｅｆｏｒｅｃａｓｔｍｏｄｅｌａｎｄｍａｋｅｐｒｏｇｒｅｓｓｏｎｔｈｅｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙ．Ｗｉｔｈｔｈｅｓｅｍｅｒｉｔｓ，ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔａｒｏｕｓｅｔｈｅｃｏｎｃｅｒｎｏｆｍａｎｙｓｃｈｏｌａｒｓａｔｈｏｍｅａｎｄａｂｒｏａｄＩｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅａｐｐｌｉｅｄｔｈｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒ

ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔａｎｄｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓｍｏｏｔｈｉｎｇｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａｔｏｍａｋｅｆｏｒｅｃａｓｔａｎｄ

ｆｉｎａｌｌｙｍａｋｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄｉｎｔｈｅｔａｂｌｅｓａｎｄｆｉｇｕｒｅｓ，ｆｒｏｍｗｈｉｃｈｗｅｆｉｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉＳｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．

Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｆｏｕｒｃｈａｐｔｅｒｓ

Ｔｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａａｎｄｔｈｅｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｏｆｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｍａｉｎｗｏｒｋｓ．ＡｎｄｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｂａｓｉｓｔｈｅｏｒｙｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａｗｈｉｃｈｉｓｐｒｏｄｕｃｅｄｂｙＡｉｃｈｉｓｏｎ

Ｃｈａｐｔｅｒｔｗｏｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａｗｈｉｃｈ

ｌｏｇｒａｔｉｏｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｃｅｎｔｅｒｌｏｇｒａｔｉｏ

ａｎｄｈｙｐｅｒｓｐｈｅｒｉｃａｌｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｉｎｃｈａｐｔｅｒｔｈｒｅｅｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔａｎｄｓｏｍｅａｒｅａｄｄｉｔｉｖｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｉｓｏｍｅｔｒｉｃｌｏｇｒａｔｉｏｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｓｔａｒｔ－ｄａｍ．ＢａｓｅｄｏｎｔｈｅＡｉｃｈｉｓｏｎｄｉｓｔａｎｃｅｆｏｒｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａ，ｗｅｐｒｏｐｏｓｅｔｈｅｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ

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ＡＢＳＴＲＡＣＴ

Ｃｈａｐｔｅｒｆｏｕｒｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｅａｓｅｓｔｕｄｙ．ＴａｋｅｅｘａｍｐｌｅｓｏｆｔｈｅｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｏｆｔｈｒｅｅｉｎｄｕｓｔｒｉｅｓｉｎＢｅｉＪｉｎｇａｎｄＣｈｉｎａ，ｆｉｒｓｔｌｙ｛ｔａｋｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａ；ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｄａｔａｏｆｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｄａｔａｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ；ｔｈｉｒｄｌｙ，ｔｈｅｐｒｅｄｉｃｔｅｄｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａｉｓｗｏｒｋｅｄｏｕｔｂｙｔｈｅｂａｃｋｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ａｎｄｆｉｎａｌｌｙｗｅｃｏｍｂｉｎｅｔｈｅｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇａｎｄｇｅｔｔｈｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔ

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｄａｔａ；Ａｄｄｉｔｉｖｅ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｌｏｇｒａｔｉｏｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；Ｈｙｐｅｒｓｐｈｅｒｉｃａｌ

ＩＩＩ

第一章绪论

成分数据是一类具有复杂数学性质的数据，它最初在地质学方面应用比较广泛，随后它也成为经济学，管理学中比较关注的一个焦点．成分数据的预测也是经济学中非常关心的问题之一．对于成分数据的预测到目前为止．国内外关注的有成分数据的回归预测，时序分析预测，还有灰色预测等等．本文研究的着眼点是按照一个已有的标准对已有的一些预测做进一步的组合，使得预测结果更好．

§１．１成分数据的研究背景及意义

成分数据的概念最早来自于１８６６年Ｆｅｒｒｅｒｓ［１］的工作，按照统计的定义，满足

ＳＤ＝｛ｚ＝（ｚ１，Ｘ２，．一，ｚＤ）；翰＞０，（ｉ＝１，２，・・ＤＤ∑嘲戤｜ｌ０

的空间我们称之为Ｄ维成分数据空问，这里Ｃ是任意常数．可以看出ｓＤ中的元素是Ｄ维行向量，但由于各成分之和为定值所以舻是Ｄ一１维向量空间．对于成分数据的统计分析来说，经典的统计方法已经不再适用，因为经典的统计预测方法都是在实数域内进行，而成分数据由于定和的限制，失去了经典统计方法的前提条件．１８９７年ＫａｒｌＰｅａｒｓｏｎ在一篇讨论伪相关的权威性文章中指出：试图解释分母及分子中含有公共部分的那些比例之间的相关性是很危险的．而在实际的成分数据分析中，定和限制常常被有意或无意地忽略，一些为不带限制条件的数据而设计的统计方法经常被不适当地滥用，从而造成灾难性的后果．

Ａｉｔｃｈｓｉｏｎ在１９８６年发表了首部系统研究成分数据的论著《Ｔｈｅ

ｏｆＣｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓＤａｔａ）），他也因此获得１９８８年英国皇家统计学会的奖章．在这本书【２】中，他提出了研究成分数据应该关注的是各个成分之间的比例关系，而不是成分本身．他的核心思想就是对成分数据做对数比变换，这样就会把成分单形空间映射到欧几里得空间中使得经典的统计方法可以适用于变换后的数据分析中．并且他也指出他写此书的目的是为了介绍成分数据统计分析的方法，重点在于提供有效可行的方法，而不

１

成分数据组合预测模型及其应用

是理论推导．而后在成分数据的单形空间中，定义了其上的加法，乘法，内积及距离等【３一引．这样就有了成分数据的几何研究，在此基础上，Ｊ．Ｊ．Ｅｇｏｚｃｕｅ等人提出了等距对数比变换ｎ把单形空问映射到了欧氏空间，且使得两个成分向量在成分数据单形空间中的Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离等于经过等距对数比变换后得到向量的欧氏距离，故称其为等距对数比变换．但是无论是Ａｉｃｈｉｓｏｎ提出的对称对数比变换和非对称的对数比变换，还是后来的等距对数比变换，对于成分中含有零的成分向量就会失去意义，这是由于变换中零成分作为分母项会使得变换无意义．因此对于零成分的有效处理也是成分数据分析中的一个难题．基于此想法，王惠文等人提出了多维球坐标变换【８】＇这种变换把成分数据映射到多维超球面上，而不会出现上述问题．

对于成分数据的变换来说，如果成分中出现了零，对称与非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换都变

的没有意义．Ａｉｔｃｈｓｉｏｎ也发现了这个问题，当时他就运用很小的数据代替零．但这种方法只对近似零的数据才适用．零成分有两种，一种是近似零成分，一种是真实零成分．前者可以运用的非常小的数值代替，从非参数角度来说，Ａｉｃｈｉｓｏｎ曾经提出ａｄｄｉｔｉｖｅｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ方法【２】’Ｆｒｙｅｔａｌ与Ｍａｒｔｉｎ－Ｆｅｒｎｄｎｄｅｚ

ｅｔｅｔａｌ认为这种方法不能保证其它成分的比例．之后，Ｍａｒｔｉｎ—Ｆｅｒｎｄｎｄｅｚ

数角度来讲，Ｍａｒｔｉｎ—Ｆｅｒｎｄｎｄｅｚｅｔａｌ提出并分析Ｔｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ［９１．而从参１２】．ａｌ进而提出了ｍｏｄｉｆｉｅｄ－ＥＭ算法来估计近似零值ｉ１０

对于真实零值的处理现在也没有一个非常行之有效的方法，有学者提出了一种潜高斯模型来处理一类真实零值问题【１３】，但这种方法有一定的局限性．在零成分的处理问题上的一些其他方法【１４＿１引，这罩我们就不一一赘述．

自从Ａｉｃｈｉｓｏｎ的著作发表后，成分数据的对数比变换就成为成分数据统计分析的

基础理论．起初是应用在地质学【１７＿２２】中研究成分之间比例的问题，但后来在经济学，管理学中开始涉足【。。ｑ引，并且发展速度很快．

在预测方面，由于成分数据的特殊性，对成分数据的预测必须先进行变换，然后对

变换后的数据做预测，最后将预测结果反解得到预测的成分数据．成分数据在预测方面也有很多单预测模型．施久玉和柴艳有把灰色预测应用到成分数据的预测之中【２６１ｚ训，２

第一章绪论

王惠文等提出成分数据的线性回归模型［２８—３０】和偏最小二乘模型【３１，３引，并应用回归预测并结合球坐标变换对成分数据做了有效的预测．成分数据时间序列方面也有一定的工作．本文就是应用已有的单预测模型，利用组合预测的理论及方法来进一步进行组合预测．

§１．２成分数据

成分数据是在单形空间中的几何结构在研究成分数据时有着很重要的作用．在单

形空间中Ａｉｅｈｉｓｏｎ定义了加法，乘法，使得单形空间是一个群，而方便进一步研究单形空间的代数结构．本节就把这些定义及运算做一下简单的介绍．

§１．２．１单形空间的的运算

定义１．２．１满足

甄＝ＳＤ＝｛Ｘ＝（ｚｌ，Ｘ２，…，ＸＤ）；ｘｉ＞ｏ（ｉ＝１，２，…ＤＤ∑汹０

的空间我们称之为Ｄ维成分数据空间，这里ｃ是任意常数．可以看出ｓＤ中的元素是Ｄ维行向量，但由于成分和为定值所以是Ｄ—ｌ维向量空间．

下面介绍ｓＤ中已有的运算规则

定义１．２．２对于任意的ｘ，ＹＥＳＤ，定义ｘ，ｙ的加法运算。为

ｘｏＹ＝Ｃ（ｘｉｙｉ，ｘ２Ｙ２，－－．，ＸＤＹＤ）

ｃ（．）表示对各个分量先除以各分量之和再乘以ｃ，也就是说

ｘ。ｙ。‘蘑ｃｘ］赢ｙｌ，歪ｃｘ２丙Ｙ２，…，麦篙）．

由加法运算的定义，我们可以得到对于加群来说的单位元ｅ＝（击，西１，…，击）．可以

得到对于任意的成分数据ｘ∈ＳＤ，有ｘ＝Ｘｏｅ成立．

定义１．２．３对于任意的ｘ∈ＳＤ，Ｑ∈Ｒ，定义数乘运算。为

ａｏｘ＝Ｇ（ｚ竿，。量，・・・，ｚ刍）

３

成分数据组合预测模型及其应用

定义１．２．４对于任意的Ｘ，Ｙ∈ＳＤ，定义减法运算ｅ为

ＸｅＹ＝Ｘｏ（（一１）＠Ｙ）＝ＸｏＹ一１

下面介绍ｓＤ中运算的一些性质：

对于任意的Ｘ，Ｙ，ｚ∈ＳＤ，Ｏ／，卢∈Ｒ

性质１．２．１（ｓＤ，ｏ）是可交换群

（１）交换律：Ｘｏ

（２）结合律：（ｘＹ＝Ｙｏｘ；ｏＹ）￥ｚ＝Ｘｏ（Ｙｏｚ）

（３）存在零元：ｅ＝ｃ（１，１，…，１）；

（４）对于（ｓＤ中的每一个元素ｚ都存在逆元：Ｘ一１＝ａ（。ｆ１，ｚｉｌ，…，ｚ云１）

且满足：ｘｏＸ一１＝Ｘ一１④ｘ＝ｅ

性质１．２．２乘法运算的性质：

（１）结合律：Ｑｏ（卢圆Ｘ）一（Ｏ／．卢）ｏｘ；

（２）分配律１：Ｏｔ圆（ＸｏＹ）＝（ＱＱｘ）ｏ（Ｑｏｙ）；

（３）分配律２：（Ｏｔ＋卢）ｏＸ＝（乜＠Ｘ）ｏ（卢ｏｘ）；

（４）存在单位元：１＠ｘ＝Ｘ．

§１．２．２单形空间的几何结构

定义１．２．５对于任意的Ｘ，ｙ∈ＳＤ定义Ｘ，Ｙ之间的距离为

坼川＝ｃ万１驴考岫耖１＝善Ｄ，ｎ雨Ｘｉｔｎ焘

这就是Ａｉｔｃｈｉｓｏｎ距离，简记为ｄ０．其中９（ｘ）＝（ｚｌｚ２…ＸＤ）击，９（ｙ）＝（掣１可２…ＹＤ）击．从Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离的定义可以看出它反映的是成分比例之间的差距而不是成分值的差距．Ａｉｔｃｈｉｓｏｎ距离在成分数据的研究中有很重要的地位，更好的反映了成分数据的比例性质．

定理１．２．１Ａｉｔｃｈｉｓｏｎ距离具有加法不变性，即

ｄⅡｘ，Ｙ）＝ｄａ（ｚｏｘ，ｚｏｙ），

４ｘ，Ｙ，ｚ∈ＳＤ

第一章绪论

因此，有

ｄ。ｘ，Ｙ）＝ｄａ（ｘｏＹ～，ｅ）．

由这个定理我们可以看出对ｆＳＤ中任意的ｘ，ｙ的Ａｉｔｃｈｉｓｏｎ距离都等于ｘ与Ｙ一１的和与单位元的距离．

定理１．２．２ｄ。（ｄ＠茁，ｏ＠可）＝ｌⅡＩ・ｄａ（ｘ，ｙ），ｘ，Ｙ∈ＳＤ，＆∈Ｒ．

定理１．２．３Ａｉｔｃｈｉｓｏｎ距离在向量成比例时，距离不变．

定义１．２．６定义成分数据的幂运算为

０１＝ｃ（ａ“，ａ”，…，ａＸＤ），ｎ＞０．

定义１．２．７对于成分向量ｘ，Ｙ∈ＳＤ，定义它们之间的内积与模长分别为

㈥儿＝面１驴》》ＰＤ雨Ｘｉｍｃ势

１１ｘ悒＝（ｘ，ｘ）。，ｄａ（ｘ，ｙ）＝ｌｌｘｅｙ怯

定义１．２．８若成分向量ｘ，Ｙ∈ＳＤ，且（ｘ，ｙ／。＝０，则称ｘ与ｙ正交．５

第二章成分数据的变换

由于成分数据的定和限制问题，使得标准的统计方法不能够直接应用于成分数据统计分析中．直至Ｉ｜Ａｉｔｃｈｉｓｏｎｌ９８２年提出了非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换，使得成分数据变换后可以有满足多元正态分布的可能，便于运用一般的统计分析．之后很多学者的研究也都基于成分数据的非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换，如成分数据主成分分析，成分数据时序分析等等．在成分数据几何结构的基础上Ｊ．Ｊ．Ｅｇｏｚｕｅ等人提出了等距ｌｏｇｒａｔｉｏ变换，使得两个成分数据的Ａｉｔｃｈｉｓｏｎ距离与对其做等距ｌｏｇｒａｔｉｏ变换后的向量的欧氏距离相等．王惠文等人利用球坐标变换有效解决了成分数据的零成分问题．

§２．１非对称对数对比变换与对称对数变换

定义２．１．１设Ｘ＝（茁１，Ｘ２，…，茁Ｄ）是成分向量，令

玑＿ｌ秀，㈦，２’…，Ｄ一

布，则我们称Ｘ＝（ｚ－，Ｘｚ，…，ＸＤ．）服从加法逻辑正态分布．（２．１）这种变换称为非对称Ｌｏｇｒａｔｉｏ变换．如果变换后的Ｙ＝（Ｙ１，Ｙ２，…，ＹＤ一１）服从多元正态分

张尧庭在用（２．１）解决自变量是成分数据的回归建模问题时指出：选用Ｌｏｇｒｔｔｔｉｏ变换作为分析变量有许多便利之处．这种方法可以克服成分数据的“定和限制”，部分消除成分间的完全相关性，以便运用最小二乘法．同时，由于在（一ＯＯ，＋。ｏ）内取值，这会对模型的选择带来许多方便．然而该模型的缺憾是，由于经变换式（２．１）得到的新变量完全不能和原始变量相对应，模型的解释性不强，因此在实际工作中还难以得到应用．

如果用Ｙｉ来表示翰有如下表达式：

广２丽厕’归１’弘一，叫ｆ吼：鬲｛≥ｉ，

１江１，２…，Ｄ一１、【如５霹ｉ而ｉ‘

第二章成分数据的变换

定义２．１．２假定成分向量ｘ＝（研，现，…，ｚ。）的函数犰２ｌｎ（恚）√＝

１，２，…，Ｄ，服从正态分布Ⅳ（ｐ，∑）：则称成分ｘＮ从乘法逻辑正态分布．

由以上定义可以导出加法逻辑正态分布的密度函数：

已知ｙ一Ⅳ（ｐ，∑），则可以得到ｙ的密度函数为

（而１）¨Ｉ∑一ｅｘｐ｛一ｌ（ｙ－＃）＇Ｅ－１（ｙ－－＃））．

其中

犰２１ｎ（杀），‘－１＇２，…，Ｄ－１・

用向量比表示为：

Ｙ＝（１，ＩＤ一１）１１１）【，ｌｎｘ＝（１ｎｘｌ，ｌｎｘ２，…，ｌｎｘＤ）７

其６Ｐｌ（Ｄ－１）。１＝（１，１，…，１）’，ＩＤ一１表示Ｄ一１维单位阵

可以求得雅克比为：

Ｄ

Ｊ（Ｙｌｘ）＝ＩＩ丐１．

ｊ＝ｌ

这样就可以得到的Ｘ密度函数是

（｛）Ｄ一１啦

、／Ｚ７ｒＩ∑ＩＤⅡ触一勺ｅ印

其中

Ｑ＝（Ｆｌｎｘ—ｐ）７ＩＺｌ—ｍ／（Ｙ］ｎｘ—ｐ），Ｆ＝（－１，ＩＤ一１）．

定义２．１．２设成分向量Ｘ＝（Ｘｌ，ｚ”一，ｚＤ）Ｔ，令

Ｖｉ＝Ｉｎ—喾兰，ｉ＝１，２，…，ＤｆＤ

影马巧

这种变换称为对称Ｌｏｇｒａｔｉｏ变换．

７

（２．２）

成分数据组合预测模型及其应用

§２．２球坐标变换

球坐标变换是王惠文２００４年［８】提出的，并且把它应用于预测模型中．可以从球坐标变换的形式来看，它可以解决ｌｏｇｒａｔｉｏ变换中零成分变换的困境．

对于成分向量ｘ＝（ｚ１，ｚ２，…，ｚＤ）ｒ由于定和限制即ｚ１＋Ｘ２＋…＋ＸＤ＝１，首先对成分向量的各分量开根号，Ｙｉ＝肛．此时有Ｙ｝＋Ｙ；＋…＋可刍＝１，那么向量ｙ＝（Ｙ１，Ｙ２，…，ＹＤ）可以看成超球面上的点，有

Ｙｌ＝ｓｉｎ日２ｓｉｎ０３ｓｉｎ０４－一ｓｉｎ０Ｄ，

Ｙ２＝ｃｏｓ０２ｓｉｎ０３ｓｉｎ０４・一ｓｉｎ０Ｄ，

Ｙ３＝ＣＯＳ０３ｓｉｎ口４・一ｓｉｎ０Ｄ，

ＹＤ一２＝ＣＯＳＯＤ一２ｓｉｎ０Ｄ一１ｓｉｎ０Ｄ．

ＹＤ一１＝ＣＯＳＯＤ—ｌｓｉｎ０Ｄ，

ＹＤ＝ＣＯＳ日Ｄ．

由上式做反变换可得

ＯＤ＝ａｒｃｃｏｓＹＤ

ＯＤ一１

ＯＤ一２凳

ａｘｃｃｏｓ‘忑丽丽警＿丽）口ｚ２

我们可以看到球坐标变换把Ｄ维的向量ｙ＝（Ｙ１，Ｙ２，…，ＹＤ）∈ＲＤ影射到超球面（ｒ，臼２，…，０Ｄ）∈ｅＤ，这里ｒ２＝ＩｌＹｌｌ２＝１．

球坐标变换的思想很简单，但它很好地解决了零成分的变换问题，但它只是提供了一种变换，没有具体的理论指导．

８

第二章成分数据的变换

§２．３等距对数对比变换

定义２．３．１设Ｘ＝（。１，Ｘ２，…，ｚＤ）是成分向量，令轳偿Ｄ焉－ｉ・ｎ坚Ｘｉ㈦忍…肛・．∽３，把Ｄ维向量Ｘ＝（茁１，ｚ２，…，ＸＤ）变换成Ｄ一１维向量ｚ＝（钆名２，…，ＺＤ一１）的变换称为等距ｌｏｇｒａｔｉｏ变换．

等距变换使得成分数据从单形空间映射到欧氏空间中，并且可以保证单形空间中的两组成分数据之间的Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离与通过等距变换后的两组数据的欧氏距离相等．这种变换使得成分数据空间中的几何结构得到了更好应用，也充分体现了成分数据空问中距离定义的合理性．

定理２．３．１令％∈ＲＤ，ｉ＝１，２，…，Ｄ一１是下面的向量：

、／南毯ｉ个

则ｕｔ在欧氏空间中是正交的，且组成了Ｄ一１维子空间．

定理２．３．２令ｅｔ，ｉ＝１，２，…，Ｄ一１；是ＳＤ空间中的向量：

ｅ严ｃ（ｅＸｐ（¨）＝ｃ（ｅＸｐ（赤，…，赤，一、／南，０１．～，０））．

ｉ个

成分向量ｅｔ，ｉ；１，２，…，Ｄ一１在ＳＤ空间以Ａｉｃｈｉｓｏｎ内积尺度正交，且组成ＴｓＤ空间中的正交基．

下面给出等距ｌｏｇｒａｔｉｏ变换及非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换和对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换的一些具体性质：

性质２．３．１等距ｌｏｇｒａｔｉｏ变换（用ｉｌｒ代表）把ＳＤ空间的向量映射到ＲＤ。空问中，对于任意的ｘ∈ＳＤ都有：

Ｙ＝ｉｌｒ（ｘ）＝【（ｘ，ｅ１）。，（ｘ，ｅ２）。，…，（ｘ，ｅＤ一１）。］９

成分数据组合预测模型及其应用

性质２．３．２对于任意的Ｘ１，Ｘ２∈ＳＤ及任意的Ｏｔ∈Ｒ，且ｙ１＝ｉｌｒ（ｘ１），Ｙ２＝ｉｌｒ（ｘ２）有如下结论成立：

ｉｌｒ（ｘｌｏＸ２）＝Ｙｌ＋Ｙ２，ｉｌｒ（ａ＠ｘ｛）＝ａｙｉ．

对于任意的血，卢∈Ｒ及Ｘ１，ｘ２∈ＳＤ，对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换（用ｃｌｒ表示）有如下结论：

ｃｌｒ（ｅｉ）＝Ｕｉ

ｃｌｒ（（ａ圆ｘ１）ｏ（卢＠ｘ２））＝ｃＩｃｌｒ（ｘ１）＋ｆｌｃｌｒ（ｘ２）

定理２．３．３对任意的Ｘ∈ＳＤ，考虑正交基ｅｔ＝Ｃ（ｅｘｐ（ｕｉ）），ｉ＝ｌ，２，…，Ｄ一１，其中ｅｉ∈ＳＤ，ｌｌｉ∈ＲＤ～，则对于非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换（ａｌｒ），对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换（ｃｌｒ），等距ｌｏｇｒａｔｉｏ变换（ｉｌｒ）有如下关系：

ｃｌｒ（ｘ）＝ｉｌｒ（ｘ）Ｕ，ａｌｒ（ｘ）＝ｉｌｒ（ｘ）ＵＦ

ｉｌｒ（ｘ）＝ｃｌｒ（ｘ）Ｕ７＝ａｌｒ（ｘ）ＡＵ７．

其中：ｕ是（Ｄ一１）×Ｄ维矩阵ｕｔ是它的行向量．Ｆ＝［ＩＤ一１，１，Ｄ一１】’

，Ｄ一１一１ｏ．一１

一１

一１—１—１—１％１㈠Ｄ一１—１

：

●．ｏ卜。。ｎ．．．ｏ．．．。一１Ｄ一１—１

（Ｄ—１）×Ｄ

１０

第三章组合预测理论相关介绍

预测技术是人类在社会生活实践中认识世界的一种不可缺少的方法，它已有几千年的历史．预测技术在我们人类文明的过程中也起着很重要的作用．古人根据经验来预测天气变化，根据动物的行为变化来预测地震等等．而如今，人类的预测技术广泛应用到各个领域如：经济，能源，教育，交通运输，医药卫生，环境等重要领域．由于现代信息技术的快速发展，各个学科迅速的交融，现代的预测技术的应用更加广泛，方法更加科学．

预测技术分为定性预测与是定量预测两大类．我们主要应用的是定量预测即应用数学模型来量化系统发展的状态和变化．定量预测中，如何确定预测数学模型是关键，但迄今为止也没有一个数学模型可以适用于任意的预测分析中．不同预测模型可以用到同一事物的预测当中，但预测的精度不能保证．所以，对于预测模型的进一步研究也是很有必要的．

随着预测技术的进一步发展，预测技术也呈多样化的趋势．组合预测技术【３３４就是把不同的预测技术于同一事物的预测之中，综合利用各个预测模型所提供的信息，可以得到更好的预测结果．组合预测首先于１９６９由Ｂａｔｅｓ．Ｊ．Ｍ．和Ｇｒａｎｇｅｒ．Ｃ．Ｗ．Ｊ．提出．已有研究表明组合预测技术【３４—３７】可以使得预测的稳定性增强，预测精度提高．最简单的组合预测就是对各个单预测模型结果进行加权组合．但是权重的选取【３８－４６】也是许多学者一直研究的问题．迄今为止，没有一种求权重的方法可以适用于任何预测模型中．对权重系数的求解方法还有待进一步地研究．

在衡量组合预测的效果的定量标准方面主要有绝对误差，相对误差，最小方差等等．这些标准帮助我们确定组合权重，进行组合预测．由于成分数据的特殊性质，我们采用预测值与真实值的Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离来衡量其预测效果．１１

成分数据组合预测模型及其应用

§３．１单预测模型介绍

预测技术的发展趋向于多样化，目前为止，应用比较广泛的预测模型有回归预测，时间序列平滑预测，神经网络预测，灰色预测等．基于本文中对称数据预测的需要ｊ我们只简单介绍前两个预测模型．

§３．１．１回归分析预测

“回归”这一概念是１９世纪８０年代由英国统计学家弗朗西斯．高尔顿（ＦｒａｎｃｉｓＧａｌ．ｔｏｎ）在研究附带身高与子代升高之间的关系时提出来的．如今，回归已经成为社会科学定量研究方法中最基本、应用最广的一种数据分析技术．它既可用于探索和检验自变量与因变量之间的因果关系，也可以基于自变量的取值变换来预测因变量的取值，还可以用于描述自变量与因变量之间的关系．下面我们简单介绍最小二乘估计预测因变量数学模型．

假设因变量ｙ与。１，Ｘ２，…，ｚ。线性相关．收集到的死组数据‰，Ｘｔｌ轨２…，ｚｔ。）（ｔ＝１，２…，ｎ）满足以下回归模型：

｛？茹埘

其中

１

１Ｚ１ｌ２２

Ｃ＝Ｚ１

巩耽．．．

１Ｚｎ１％２

舶

ｐ１￡１ｙｌＹ＝

：

●ｙ２口＝Ｅ２：ｉ

ｙｎ如Ｃｎ

这里误差项满足下面的条件

Ｅ（￡ｔ）＝ｏ，Ｖ缸（￡±）＝盯２，ＣＯＶ（Ｅｍ，￡ｎ）＝０，ｍ≠礼

第三章组合预测理论

通过最小二乘法可以求得参变量卢的解为：

万＝（ｃ７ｃ）一１Ｃ’ｙ：

在现实生活中，影响某一现象的因素往往是错综复杂的．由于社会科学研究不可能像自然科学研究那样采用实验的方式来进行，为了弄清和解释事物变化的真实原因与规律，就必须借助一些事后的数据处理方法来控制干扰因素．而回归的优点恰恰就在于它可通过统计操作手段来对干扰因素加以控制，从而帮助我们发现自变量与因变量之间的净关系．

回归分析预测在分析多因素模型时，根据固定的模型，我们得到的拟合值是一致的，不会因人而异．但回归分析免不了加强因变量与自变量之间的线性相关关系．从这种角度来讲，回归分析预测有一定的局限性．

§３．１．２时间序列平滑预测

如果时间序列在一定的时间段内取值比较稳定，序列值之间的差异主要是由随机波动造成的，我们就可以用平滑法来修匀序列．并用一段时间的平均值作为某一期的估计值．平滑法包括三种预测方法：移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法．

１１．简单移动平均法

移动平均法是基于算数平均发展起来的一种单预测方法，它是一种最简单的适应模型．所谓简单移动平均法就是指第一项时间序列的数值开始，按固定的项数求时间序列的序时平均数，然后逐项移动，边移动边求平均．这个时候我们就得到了一个由移动平均数构成的时间序列，表示此时问序列的平均水平．移动平均法克服了原始数据的杂乱无章，无法分析的缺点．

设时间序列｛ｚｔ，Ｘｚ，…，Ｘｔ），简单移动平均法的预测公式如下：

．

观＋１２————１ｒ——一

现＋Ｘｔ一１＋…＋Ｘｔ—Ｎ＋Ｉ其中，鼠表示ｔ时刻的移动平均预测值，Ⅳ为移动平均相数

成分数据组合预测模型及其应用

化简计算就可以得到如下：

一Ｘｔ＋ｌ＋Ｘｔ＋’＿’＋ｚｔ—Ｎ＋２

ｚｔ＋２２————１Ｆ——一

轴＋塑铲．

２）．加权移动平均预测法（Ｘｔ＋ｌ—ｚ￡一Ｎ＋Ｉ）＋（轧＋Ｘｔ一１＋…＋５Ｃｔ—Ｎ＋２＋Ｘｔ—Ｎ＋Ｉ简单移动平均法中Ⅳ的选取是不确定的，通常我们取几个不同的Ⅳ值试算，然后取误差较小的．简单移动平均法适合于近期预测，并且事物发展比较波动不大的．

加权移动平均法实质是在简单移动平均法基础上改变了各个时期数据的权重，即简单移动平均法各个时期的权重是一样的而加权移动平均法则不然．可见加权移动平均法更符合实际情况．加权移动平均预测法的公式如下：

磊＋１２ｕｌｚｔ＋（．ｄ２Ｘｔ一１＋・－一＋ＯＪＮ—ｌＸｔ—Ｎ＋Ｉ

其中％为统计数据ｚ蚌１一ｆ的权系数，且有∑譬１锨＝１．

３）ｊ旨数平滑预测法

指数平滑法是生产预测中常见的一种方法．它是移动平均预测方法加以发展的一种特殊加权移动平均预测法，它是时间序列预测中的一种重要的方法．它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测．其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均．根据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法，二次指数平滑法，三次指数平滑法等．下面分别介绍：

一次指数平滑法：

一次指数平滑法的计算模型是：

可５１）＝Ｏ＇Ｘ。＋（１一ｏ）３《∑．

其中：＆是平滑系数，且ｏ＜ｏｌ＜１，玉１’是一次指数平滑数值量．一次指数平滑法进

第三章组合预测理论

行预测的关键是ａ值的选取，通常我们根据预测效果来选择ａ，使得预测误差平方和最小化．

预测公式为：

奎￡＋１＝“ｚｔ＋（１一ａ）磊．

也就是说第ｔ期的指数平滑值是第ｔ＋１期的指数平滑值．

二次指数平滑法：

如果时间序列｛％ｔ＝１，２，…，ｎ｝具有线性趋势，我们就需要用二次平滑法来进行预测．二次平滑预测也就是在一次平滑的基础上再进行一次指数平滑预测．

一次指数平滑值为：

掣｛１）：Ｑｚ。＋（１一乜）羹三．

二次指数平滑值为：

玉２）＝Ｑｚ。＋（１一血）羹≥．

二次指数预测模型为：

磊＋ｒ＝ｏ￡＋ｂｔＴ，ｔ＝１，２，３，…．

其中可以得到：

口产２∥一∥，

三次指数平滑法：ｂｔ＝击（∥一可｛２））．

当时问序列呈二次曲线变化的时候，二次指数平滑预测就不在适用了，类似地我们用三次指数平滑预测．三次指数平滑法是在二次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑预测．

下面给出三次指数平滑预测模型：

＾ｔ＋Ｔ＝ａｔ＋ｂｔＴ＋ｃｔＴ２．其中口。，ｂｔ，Ｑ的计算公式如下

成分数据组合预测模型及其应用

卜２南【（６山）班１１一（１０娟咖㈨４砘）可ｆ３’】【ｑ２可丁兰＿－Ｆ【玉¨一２可｛２’＋番踟］・

玉１卜毗＋（１一理）玉兰ｆｏ产３可；¨一３可１２）＋班引，

可ｆ２’＝她＋（１一Ｑ）叠至

可｛３’＝毗＋（１一Ｑ）玩兰

§３．２组合预测的基本原理

在实际问题的预测中，通常有很多种预测方案，这些方案会在不同的方面表现出好的效果．组合预测法一般是先用ｎ∞≥２）种不同的单预测模型进行预测，通过某’一个准则来综合多个单预测模型，从而形成组合模型，再利用组合模型进行组合预测计算．我们下面运用了误差平方和最小来求权重．

下面给出误差平方和求权重的方法：

对于某一个预测问题假设有ｎ（ｎ≥２）种单预测方法，记时间ｔ的实际值为舰，第ｉ种方法在第ｔ期的预测值和预测误差分别为趣。和如，其中

５ｉｔ＝尬一Ⅳ｛ｔ，（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｔ＝１，２，…，Ⅳ）

设ａｔ是第ｉ种方法在组合预测方法中所占权重的权重系数，其满足

礼

∑％＝１

ｉ＝１

这样的组合预测保持了预测的无偏性

设ｐ表示组合预测的预测误差平方和，那么有

ｐ＝Ⅳ∑日酵Ｊｌ

Ⅳ∑脚。∑耐。∑芦

口如％易

第三章组合预测理论

该优化模型可以表示为

Ⅳ

．＂ｎ“坤ｐ

啦峰＝砰∑∑∑嘲屯ＱＪ咖，ｔ＝ｌｉ＝ｌｊ＝ｌ．ｒｒ＝

砌。∑甜１１

ｌ

根据上面的优化模型就可以算得组合权重

同理我们也可以用其他标准建立优化模型，如相对误差最小化等．对于同一组数据如果组合预测对不同的标准都有较好的误差精度，则我们说这个组合预测的效果比较好．已有研究表明组合预测能够达到更好的效果．对于成分数据而言，由于成分数据是一个向量，对于一个向量而言我们要求预测值与真实值的误差就不能简单地做差，而应该用成分数据向量之间的距离来作为预测值与真实值的误差．也就是说权重系数是根据预测值与真实值之间的Ａｉｃｈｉｓｏｎｇ巨离平方和最小求得的．下面就给出具体的求解模型．

对于成分向量ｏ＝（ｚｉ，ｚ５，…，ｚ岛）∈ＳＤ为时间ｔ的真实值．假设有礼，（佗≥２）种预测方案，第ｉ种方案在第￡时间的预测值为ｙ：＝（掣：１，可：２，…，可扬），预测误差为ｄ。（ｘｔ，ｙ：），ｄ。表示Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离．

我们的组合预测模型就是对各个单预测模型进行组合，即：

一Ｘ＝

。∑曲风ｙｔ＝１，２，・一，Ⅳ；ｉ＝１，２，…，礼．

其中，履表示第ｉ种预测模型在组合预测中所占的权重，且满足

∑屈＝１

ｉ＝１

设ｋ为组合预测的预测误差平方和，即

七｜ｌⅣ∑口旌＠ｘ｜ｌ

Ⅳ∑日。∑甜。∑芦

觑如伍或岛如伍螃

成分数据组合预测模型及其应用

则该预测模型的优化模型可以表示为：

ｍｉｎ七＝∑皖＝∑∑∑成如（ｏ，ｙ：）ｆｌｊｄ。ｘ。，ｙ；），

ｔ＝ｌ

ｎｔ＝ｌｉ＝ｌｊ＝ｌ

∑展＝１．

根据上述模型就可以求解出权重系数以便组合预测．

§３．３预测效果评价

预测作为分析的一种方法，给决策者以一定依据来做出判断．那么预测结果的好坏，直接会影响到决策的正确与否．评价预测结果好坏的标准我们称之为评价预测的指标．本节就介绍下面几种常见的评价指标．

１．平均预测误差（ＭＡＥ）

１Ｎ

ＭＡＥ＝专∑旧一磊Ｉ．

２．平方和误差（ＳＳＥ）

ＳＳＥ＝Ｚ一Ⅳ∑汹

Ⅳ＾筑卜３．平均绝对百分比误差（ＭＡＰＥ）

ＭＡＰＥ。专∑ｉ＝１ｌ警…００％．一

４．均方根平均误差（ＲＭＳＥ）

ＲＭＳＥ＝

根据成分数据的单形空间中的距离定义，Ｚ…Ｉ。…。。、｜，．…。－－、准．为了方便说明，我们先假设ｒ是成分数据预测矩阵，ｚ是原始数据矩阵，ｒ’ｚ都是Ⅳ×Ｄ维矩阵，ｎ，兢分别表以上的评价指标是对一般数据的一个简单的评价标准，对于成分数据来讲，我们示ｒ，ｚ的第ｉ行．比表示Ａｉｃｈｉｓｏｎ］距离．

第三章组合预测理论

５．平均Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离误差（ＭＳＤ）

Ｎ

∑ｄａ（ｘｉｍ）

ＭＳＤ＝旦可一

其中ｄ。（ｘｉ，ｎ）表示真实成分观与预测成分ｎ的ＡｉｃｈｉｓｏｎｇＥ离．

第四章实证分析

在国民经济中，三次产业结构问题有着非常重要的地位．分析三次产业结构的状态，与国际水平进行比较，使得我们清醒地认识自己的不足，同时对三次产业结构的预测分析使得我们对未来的发展趋势有一定的科学认识．三次产业结构的预测分析对于国家对未来的进一步地规划有很强的指导作用．本章中，我们运用成分数据的预测及其组合预测技术对北京市三次产业结构和中国三次产业进行了预测分析，根据预测值与真实值的欧氏距离与Ａｉｃｈｉｓｏｎ距＿离做了比较，可以看出组合预测的效果会比单预测模型的效果好．对于北京市三次产业结构的预测，我们通过对成分数据做非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换与球坐标变换，然后用回归预测得到两组预测结果，最后做组合得到更优的预测值。同理对中国三次产业结构的预测，我们采用回归预测与三次平滑预测做组合得到更优的结果．

§４．１北京市三次产业结构的预测分析

本节主要对北京市三次产业结构分别运用单预测进行预测，然后进行组合预测，得到了较好的预测效果．这里用到了成分数据非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换与球坐标变换．

§４．１．１数据说明

为了运用成分数据的变换及组合预测，我们在统计年鉴上找到了北京市三次产业结构的数据．下面表４．１给出了北京市（１９９１—２００５年）三次产业结构的成分数据和经过变换后的数据．

第四章实证分析

非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换

时问ＸｌＸ２ｚ３球坐标变换口２口３可１∥２

表４．１中，ｚ１，ｚ２，ｚ３分别表示第一产业，第二产业，第三产业的比重．对其做非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换后的数据为Ｙ１，Ｙ２，做球坐标变换后的数据为日２，０３

§４．１．２两种变换的回归预测及组合预测

基于表４．１中的数据，我们分别对可１，Ｙ２，口２，０３做回归预测，然后反变换到成分数据，得到北京市三次产业结构的拟合值．下面是两种变换选择的拟合函数．

非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换的拟合函数：

ｆＹ１＝一０．０３３７ｔ一２．０４７８，

【Ｙ２＝一０．０３９３ｔ＋０．０６７７．

球坐标变换的拟合函数：

０．４２１６，ｌ

１日３＝一０．０３１２ｔ＋０．９４６４．０２…０．０１５３ｔ

下面的表４．２，分别是基于非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换的回归预测拟合值，基于球坐标变化的回归预测拟合值和这两种方法的组合预测值．其中组合预测的权重是根据第三章给出的方法求得的，即叫＝（０．３，ｏ．７）．图４．１给出了各种预测的拟合值与真实值图像表示．

从图像中我们可以看出组合预测的拟合效果最佳．

麦垒：兰鱼弛亟型拯盒焦

非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换回归预测

球坐标变换回归预测

组合预测

第四章实证分析

非对称ｉｏｇｍｔｉｏ变换回归预测图

球坐标变换回归预测图

鞭摄隶培

组合预测图

图４．１各种预测图

２３

成分数据组合预测模型及其应用

表４．３各种预测的误差比较

欧氏距离

时问

１９９１１９９２１９９３１９９４１９９５１９９６１９９７１９９８１９９９２０００２００１２００２２００３２００４２００５

Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离

球坐标回归

０．１８４００．１９３９

｛Ｆ对稍｛］ｏｇｒａｔｉｏ［ｈｌ归

０．２８５６０．２２５５０．１７５３０．１０２４０．０９１００．０５４１０．１２５１０．１６７９０．２４０８０．２９３７０．３１０６０．３３５２０．４０１００．４６９９

组合预测

０．０９４９０．１０５６０．１２２７０．１３５１０．０５９２０．１０５３０．１２４２

非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ［可］归

０．５４５００．４８６４０．４３７９０．１９３５Ｏ。１３４８０．１９９６

球坐标回归

０．４９５１０．４２０００．３２７３

组合预测

０．２７０４０．２０１９

０．１８１７

０．１６９３０．０６２７０．１２７３０．１６９４０．２０７５０．２００５０．１９７７

０．１８０２０．３７４６

０．１８８４０．１６０２０．２４２７０．３００９０．３１８４

０．４３９８

０．２２０７０．２１４３０．３４３３０．４２８７０．４７３３０．５２１４０．６０２１０．６３７６０．７１７８０．７５９６０．９９０１０．５０６１０．２０２３

０．３０３５

０．４０１００．５１０１０．６０１７０．６５０４

０．１４７２

０．１０５９

０．０８５５

Ｏ．１１０６Ｏ．１１７３０．１６４９０．２６１７０．２１０４

０．３５６４

０．４３６２０．４５９２０．５６８４０．６３４００．８５９６０．３７０１

０．２３４１

０．２５３３Ｏ．２１１２０．１６９３０．３４０２０．１９３５０．０５８２

０．７３２７

０．７９２８０．８９４１０．７３２３０．５０７７０．２２４１

０．３６４８

０．２４２９Ｏ．１１８８

均值标准差

０．１３０００．０４９０

０．１８９１

表４．３给出了三种预测方法的拟合值与真实值的欧氏距离与Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离的比较，根据两种距离的均值和标准差的比较，我们可以看出组合预测优于其他两个单预测模型．

§４．２中国三次产业预测

与上节类似，本节对中国三次产业结构做了预测，运用的单预测模型与上节不同，

与上节不同，这节中我们采用了三次平滑预测和回归预测进行组合．对几种预测做了比较．

§４．２．Ｉ数据说明

２４

第四章实证分析

中国三次产业的数来自于统计年鉴．下面表４．４列出中国三次产业的成分数据，及经过非对称Ｉｏｇｒａｔｉｏ矛［１球坐标变换的数据。

表４．４主国三达兰些塑亘坌！Ｅ墼堡垦韭塑整！旦曼！璺！！竺变塑亘的数据

非对称ｌｏｇ－ｒａｔｉｏ变换

时间

ｚｌ

ｚ２

ｚ３

Ⅳ１Ｓ『２

表４．４中，茁１，ｚ２，ｚ３分别表示第一产业，第二产业，第三产业的百分比重．Ｙｌ，Ｙ２表示

进过非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换的数据．即

炉ｈ詈ｍ剖ｎ罢－

§４．２．２回归预测与三次平滑预测及其组合预测

这一节我们对表４．４中变换后的数据做回归预测和三次平滑预测，如下我们得到了回归拟合函数。

非对称ｌｏｇｒａｔｉｏ变换的拟合函数：

ｆＩ

Ｙ１＝一Ｏ．００１７ｔ２—０．０７４５６ｔ一２．１１３０，Ｙ２＝０．００７７ｔ２一ｏ．１０４１ｔ＋ｏ．１０９０，

Ｒ｝＝０．９７５４，

碣＝０．８９８９．

其中瑙，确分别表示模型拟合优度指标。拟合优度指标越接近于１，模型拟合效果越好．

２５

成分数据组合预测模型及其应用

表４．５

Ｙ１，可２的平滑参数值

我们运用第三章介绍的三次平滑预测得到平滑预测函数的系数值，我们取权重系

数Ｑ：０．４．

三次平滑预测的预测函数为：

筑＋Ｔ＝ａ￡－４－ｂｔＴ＋ｃｔＴ２

其中，ｎｃ，ｂｔ，ｑ就是表４．５中的数据．为了预测方便，我们取Ｔ：１．

通过组合预测技术求得权重加＝（０．８４，ｏ．１６）．我们得到了组合预测的拟合值．表４．６中

给出了各种预测的拟合值．表４．７给出了各种预测值与真实值的欧氏距离和Ａｉｃｈｉ。ｏｎ距离比较，由表中的数据可以看出组合预测的效果会比其他两种预测效果好．

第四章实证分析

麦垒！！鱼弛亟趔的堡薹比蕉

欧氏距离

Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离

一一

成分数据组合预测模型及其应用

结束语

迄今为止，对于成分数据的单预测模型研究很多，但对于成分数据的组合预测的

研究几乎没有．本文是从组合预测的角度来对成分数据做预测分析，运用实际例子来对三次产业结构进行组合预测．同时运用Ａｉｃｈｉｓｏｎ距离与欧氏距离对预测值和真实值的误差与单预测误差做了比较．从文中具体的图和表中都可以看出组合预测的优越性．

把组合预测技术应用到成分数据的预测中，不仅能够提高成分数据的预测精度，

而且增强了模型的适应性，对领导阶层科学的判断未来的发展趋势有很大的帮助．所以说组合预测技术能够给决策者更优的预测结果．本文首次将组合预测应用到了成分

数据的预测当中，并结合实际例子说明组合预测的优越性．

组合预测技术发展的比较迅速，本文运用的组合预测技术比较简单、只是运用了

两种单预测模型，求解权重的方法比较简单．在组合预测中，权重系数的求解方法有多种，而对于成分数据的组合预测研究来说，有没有一种方法能够在统计意义下是最好

的，值得我们做下一步的工作．前面我们说的权重都是固定的权值，那么对于成分数据来说，有没有一种变权组合即权重随着时问的变化而变化．而对于组合预测的变权组

合在成分数据中又如何应用值得我们下一步进行研究．

２８

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成分数据的组合预测模型及其应用

发表文章目录

研究生期间发表论文情况：

１．张晓琴原静窦文武ＳｕｐｅｒｉｍｐｏｓｅｄＬｏｇ－ＲａｔｉｏＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒＣｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌＤａｔａ

ｏｎｗｉｔｈＺｅｒｏｓａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆ２０１１ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＳｙｍｐｏｓｉｕｍ

ｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓ—ＭａｎａｇｅｍｅｎｔＳｃｉｅｎｃｅ，２０１１年：１９２—１９６，２０１１—９，国际会议论文集

致谢

致谢

时光荏苒，转眼间研究生三年的学习即将结束，在这个成熟的季节，我衷心地向我的导师张晓琴老师表示深深地感谢．

三年中，张老师对我们都是关怀备至．张老师不仅关心我的论文，时时督促我看论文并且陪同我读懂论文当中的难点，而且也时时关心我的身体．在这三年中，我不仅体会到了老师对学生的严格要求，也感受到了老师那母爱般的温暖．我的论文从开始选题，收集资料，小论文的发表都倾注了张老师的心血．曾今也迷茫过，但在张老师的耐心辅导下，我也慢慢地走出来迎接新的光明．张老师就像黑暗中的蜡烛，能够让我在黑暗中逐渐看到光明，让我的心更加地强大起来．三年研究生的学习，我不仅学到了许多知识，还更好地懂得了做人的道理，我从心底感谢张老师老师，感谢山西大学给予我们这样好的学习资源，使我们在这样的环境中不断取得进步．

此外，我还要感谢其他各科老师，感谢你们传授给我知识，这些知识和您们的尊尊教诲是我日后工作和学习的基础，我会牢记在心．感谢我的师兄师姐，师弟师妹，还有与我同届的同学和舍友，感谢你们在生活和学习中给予我的支持．

总之，感谢母校给予我的学习环境，在此我祝福母校未来更加强大，祝福我的老师和同学工作顺利．３５

成分数据组合预测模型及其应用

个人简况及联系方式

个人简况：

姓名原静

性别女

籍贯山西省汾阳市

个人简历：

２００９．９—２０１２．７山西大学数学科学学院概率论与数理统计硕士

２００５．９—２００９．７长治学院数学与应用数学本科

联系方式：

电话１５１３５１２４１５８

电子邮箱ｙｕａｎｊｉｎ９１１９ａ＠１６３．ＣＯｒｎ

承诺书

承诺书

本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学．如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任．除文中已经注明引用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果．

２蝴妇作者签名：压拜３７

成分数据组合预测模型及其应用

学位论文使用授权声明

本人完全了解山西大学有关保留，使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印，缩印或扫描等手段保存，汇编学位论文．同意山西大学可以用不同方式在不同媒体上发表，传播论文的全部或部分内容．保密的学位论文在解密后遵守此协议．

作者签名：厚拜

导师签名：％日毛磅２０／绰慨

成分数据组合预测模型及其应用作者：

学位授予单位：原静山西大学

引用本文格式：原静 成分数据组合预测模型及其应用[学位论文]硕士 2012