垂直平分线与角平分线经典题

线段的垂直平分线

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端

点的距离相等.

定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线的判定

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

3、关于三角形三边垂直平分线的定理

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角

经典例题：

例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交

边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm

针对性练习：

B

：1) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果

BC=8cm，那么△EBC 的周长是

3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是

例2. 已知： AB=AC，DB=DC，E 是AD 上一点，求证：BE=CE。

1

针对性练习：

已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线

N

A

O

B

C 例3. 在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底

角∠B 的大小为_______________。

针对性练习：

1. 在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ， 求证：BD ＝AC ＋CD.

证明：在BD 上取一点E ，使DE ＝DC ，连接AE ，则AE ＝AC ，

课堂练习：

1. 如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ） A. CD 垂直平分AD B. AB 垂直平分CD C. CD 平分∠ACB D. 以上结论均不对

2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3. 下列命题中正确的命题有（ ）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. △ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm，那么△DBC 的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

2

5. 已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△

ABC 内一点，且OB =OC ， 求证：AO ⊥B C.

课后作业：

如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，

△ACE 的周长为50，求BC 边的长.

角平分线

4、角平分线的性质定理：

图4

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

5、角平分线的判定

角平分线性质定理的逆定理：角的内部，且到角的两边距离相等的点

在这个角的角平分线上.

6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；

经典例题：

例1、 已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF

例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E 为BC

中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.

3

图10

例3、如图11-1，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补，

求证：AD ＝CD.

课堂练习：

1. △ABC 中，AB=AC，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB=2BC，则腰长为________________。

2. 如图所示，AB//CD，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于______________。

A B

O E

C D

３已知：如图，∠B=∠C=900，DM 平分∠ADC ， AM 平分∠DAB 。求证： M B=MC

课后作业：

1. 如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，

若BD =CD .

求证：AD 平分∠BAC .

l 3 l 1

l 2

2. 如图所示，直线l 1，l 2，l 3表示三条互相交叉的公路， 现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，

则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处

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