变量之间的关系讲义
变量之间的关系
表格法
概念：我们生活在一个变化的世界中,
王波学习小组做了一个实验:小车下滑的时间。
这个小组利用同一块木板，测量小车从不同的高度下滑的时间，然后将得到的数据填入下表：
根据上表回答下列问题：
1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？
2） 如果用h 表示支撑物高度，t 表示小车下滑时间， 随着h 逐渐变大，t 的变化趋势是什么？
3） h 每增加10厘米，t 的变化情况相同吗？
4） 估计当h=110厘米时，t 的值是多少。你是怎样估计的？
在“小车下滑的时间” 中：
支撑物的高度h 和小车下滑的时间t 都在变化，它们都是变量 其中小车下滑的时间t 随支撑物的高度h 的变化而变化, 支撑物的高度h 是自变量 小车下滑的时间t 是因变量
烧一壶水，十分钟后水开了。在这一过程中，哪些是变量？哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)X和y 哪个是自变量? 哪个是因变量?
(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？ (3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？ 某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表:
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？自变量和因变量各是什么？ （2）12小时，水位是多少？
时间/小时 0 4 8 12 16 20 24
（3）哪一时段水位上升最快？
水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8
某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置： (1)上述哪些量在变化？自变量和因变量分别是什么？
(2)第5排、第6排各有多少个座位？
(3)第n 排有多少个 座位？请说明你的理由。
表格法是表示两个变量之间关系的常用方法。它可以很直观的看出变量之间的关系
1
关系式法
决定一个三角形面积的因素有哪些？（高一定） A
变化中的三角形
如图，⊿ABC 底边BC 上的高是6厘米。当三角形的顶点C 沿底边所在的直线向B 运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
C S ⊿ABC= 1/2BC·h=3BC
B （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
2）如果三角形的底边长为x （厘米），那么三角形的面积y （厘米2）可以表示为
3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从____厘米2变化到___厘米2
y=3x表示了
注意：关系式是我们表示变量之间的另一种方法，利用关系式，如y=3x ，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值。
1. 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的的底面半径由小到大变化时，圆锥
的体积也随之发生了变化。
1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
2）如果圆锥底面半径为r （厘米），那么圆锥的体积v （厘米3）与r 的关 系式为______________
3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由3到 厘米3
2. 如图，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2) 如果圆锥的高为h （厘米），那么圆锥的体积v （厘米3）与h 之间的关系式为 33
（3）当高由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由 厘米变化到 厘米
练习：如图所示，梯形上底的长是 x ，下底的长是 15， 高是 8。
x
（1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当 x 从 10 变到 20 时（每次增加1），y 的相应值； 8 15（3）当 x 每增加 1 时，y 如何变化？说说你的理由;
（4）当 x ＝0时，y 等于什么？此时它表示的什么？ 某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置： 第n 排有多少个 座位？请说明你的理由。
2
图像法
这是骆驼的体温随时间变化而变化的图象 图中的两个变量分别是什么？
42
你从图中可以看出什么？
40
（1）一天中，骆驼的体温的变化范围是什么？它的体温
38
从最低上升到最高需要多少时间？
36
34
（2）从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？ 32 30（3）在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范[***********]04448
时间/时围内骆驼的体温在下降？
38
请根据下图，与同学讨论某地某天的温度变化情况。 37
36
（1）上午9时的温度是多少？12时呢？ 35
34（2）这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？ 3332（3）这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时3130间？
2928（4）在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下
27
降？ 26
25
（5）图中A 点表示的是什么？B 点呢？ 24
23
（6）你能预测次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由。 22
[1**********]124
时间/时
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量， 用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量。
例4 汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的
速度/
情况。
（1）汽车从出发到最后停止共经过了 时间。 它的最高时速是 。
90
2）汽车在时间段保持匀速行 驶。时速分别是 和 。 60 （3）出发后8分到10分之间可能发生什么样
30 的情况？
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情
时间/分 0 况。 4 8 12 16 20 24
练习：1. 柿子熟了, 从树上落下来. 下面的那一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中(即落地前) 的速度的变化情况? 速度 0
速度 时间
温度/摄氏
度
温度/摄氏
度
3
2. 一辆公共汽车从车站开出, 加速行驶一段后开始匀速行驶. 过了一段时间，汽车到达下一个车站. 乘客上下车后汽车开始加速, 一段时间后又开始匀速行驶. 下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的变化情况?
速度
时间 时间 0
速度
速度
0 时间
3. 李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是加快车速，在下图中给出的示意图中（s 为距离，t 为时间）符合以上情况的是（ ）
作业：1. 一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表
(1)上表反映的变量是_____，_____是因变量，_____随_____的变化而变化. (2)若出售2.5千克豆子，售价应为_____元.
(3)根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元. 2. 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音
速与气温的一些数据如下表：
(1)此表反映的是变量_____随_____变化的.
(2)用x 表示y 的关系式为 .
(3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距_____米. 二、选择题
1.2004年6月3日中央新闻报道, 为鼓励居民节约用水, 北京市将出台新的居民用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过4立方米, 则按每立方米2
元计算; ②若每月每户居民用水超过4立方米, 则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米
2元计算). 现假设该市某户居民某月用水x 立方米, 水费为元, 则与x 的关系用图象表示正确的
是
A B C D
2．某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后，停止放水并立即按一定的速度注水，水池注满后，停止注水，
4
y y
又立即按一定的速度放完水池的水. 水池的存水量与放水(或注水) 时间的关系用图象近似可表示为( )
3. 已知变量x 、y 满足下面的关系 则x 、y 之间用关系式表示为( )
3A.y=x 3C.y=－x
x
B.y=－3 x D.y=3
4．甲、乙两辆摩托车分别从A 、B 两地出发相向而行，图中l 1、l 2分别表 示两辆摩托车与A 地的距离s (千米) 与行驶时间t （小时）之间的关
系，则下列说法:①A 、B 两地相距24千米； ②甲车比乙车行完全程多用 了0.1小时；③甲车的速度比乙车慢8千米／小时；④两车出发后，
840
3
经过11小时，两车相遇．其中正确的有
0.10.20.30.40.50.6（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
5. 一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度y （cm ）与燃烧时间x （小时）的关系用下图中________图象表示
.
6. 长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）与行李重量x （千克）之间的图象如图所示，当携带________千克的行李不收费用.
A.20 B.30 C.40 D.50
7. 土地沙漠化是人类生存的大敌，某地现有绿地4万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏. 经观察土地沙化速度为0.2万公顷/年，那么t 年后该地所剩绿地面积S （万公顷）
三、解答题
1. 分别计算下列图形的周长；当梯形的个数是n 时，用代数式表示图形的周长.
5
2. 如图表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是100千米，请根据图象回答或解决下面的问题.
（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？ （2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？
3. 小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）.
（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）10时和13时，他分别离家多远？
（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（4）11时到12时他行驶了多少千米？
（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？
（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
4．人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关. 如果用a 表示一个人的年龄，用b 表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，那么b=0.8 (220-a).
（1）正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少？
（2）一个50岁的人在运动时10秒心跳的次数为20次，他有危险吗？
5．某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元 . 小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x 张.
（1）写出零星租碟方式应付金额y1(元) 与租碟数量x （张）之间的关系式；（2分） （2）写出会员卡租碟方式应付金额y2(元 ) 与租碟数量x(张) 之间的关系式；（2分） （3）当x=22张时，小彬选取哪种租碟方式更合
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