巧用斜率公式 拓宽解题思路
巧用斜率公式 拓宽解题思路
斜率是直线的一个重要特征量，在数学解题中，我们经常把某些问题通过变形或换元，化成斜率公式的结构，然后巧用斜率的坐标公式，数形结合解决问题，会起到事半功倍之效，从而拓宽了解题思路。现枚举数例，供大家参考。
一、比较数（或式）的大小
例1. 若a =ln 2007ln 2008ln 2009, b =, c =，试比较a , b , c 的大小 [1**********]8
分析：本题虽然给出的是特殊值，可是用常规的方法却不易解决，但我们可以分析其结构，会发现具有两点连线斜率公式的结构特征。
解：变换结构ln x ln x -0=，表示函数y =ln x 图象 x -1x -1
上的点(x , y ) 与点E (1,0)连线的斜率，即a , b , c 分
别表示函数y =ln x 图象上的三点A (2007,ln2007),
B (2008,ln2008) ，C (2009,ln2009) 与点E (1,0)连
线的斜率（如图1）。而由图可知，k EA >k EB >K EC ， 畋 （图1） 所以a >b >c
二、求函数的最大值（或最小值）
4x -1, x
∈A 的最大值与最小值。 例2. 已知集合A ={x |x -1≤0, x ∈R }，求函数y =x 2+12
4x -1t 2-1分析：本题通过换元（令t =2）将x 化为，从而进一步转化为动点P (t , t 2) 与t +12+1x
定点A （-1，1）连线的斜率。
t 2-1⎡1⎤解：因为A ={x |-1≤x ≤1, x ∈R }，令t =2，则t ∈⎢,2⎥，所以y =，可以看成t +1⎣2⎦x
动点P (t , t ) 与定点A （-1，1）连线的斜率。（如图2）
设M (, ) ，N (2,4)，由图可知动点P 在抛物线上
MN 这一段滑动, 则k AM ≤k AP ≤k AN ， 21124
又因为k AM 1-14-11=1 ==-，k AN =2-(-1) 2-(-1) 2
（图2） 114x -1所以-≤k AP ≤1，即函数y =x 的最大值为1，最小值为- 222+1
三、证明不等式
例3. 已知a
分析：本题我们可以分析不等式的左边结构形式，也会
发现具有两点连线斜率公式的结构特征，联想到“形”， a +b
的连线的斜率介于-1与1之间。
a +b 证明：如图3设P (1,a ), Q (-ab , -b ) ，则表示P , Q 1+ab 将求证-1
的连线的斜率; 设A (-a ,1), B (a ,1) , 则Q 点在线段AB 上 （图3）
（不包括A 、B ）两点，由图可知k PB
四、求参数范围
例4. 已知点A (2,-3) , B (-3, -2) ，直线l :ax -y -a +1=0与线段AB 相交，求实数a 的取值范围．
分析：直线l :ax -y -a +1=0是一条过定点P （1，1）的动直线，若与线段AB 相交，如图4直线PA ，PB 是其变化的边界线。所以我们只需求出PA ，PB 斜率，就可以确定已知直线的斜率a 的变化范围。
解： 如图4所示，直线l :ax -y -a +1=0是一条过定点P
（1，1）设过P 点且斜率不存在的直线为l 0，由图可知，当
直线l 夹在PB 与l 0之间时，l 的斜率大于等于PB 的斜率，
而PB 的斜率为；当直线l 夹在l 0与PA 之间时，l 的斜率 3
4
小于等于PA 的斜率，而PA 的斜率为－4．由此可知，直
3⎫线l 的斜率的变化范围是(-∞, -4]⎡⎢, +∞⎪， ⎣4⎭
3⎫所以实数a 的取值范围为(-∞, -4]⎡⎢, +∞⎪ ⎣4⎭ （图4）
以上数例都是通过观察代数式的结构特点，联想斜率公式，望式生“形”，借助图形直观求解，加快解题速度，展现“形”解的无穷魅力。