有价值题目汇编x2

1.A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C 为焦点的椭圆过点A 、B ，求另一个焦点F 的轨迹方程。 10、如图，点P(3，4) 为圆x 2+y 2=25上的一点，点E ，F 为y 轴上的两点，△PEF 是以点P 为顶点的等腰三角形， 直线PE ，PF 交圆于D ，C 两点，直线CD 交y 轴于点A ， 则sin ∠DAO 的值为 ( )

A ．

45

B ．

23

C ． D ． 5543

3. 设1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100, 则

12

x y

+

z t

的最小值是

15

110

（ ）

A ．2 B ． C ． D ．

10． 从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有

f (n ) 种走法，则下面的猜想正确的是

（ ）

A.f (n )=f (n -1)+f (n -2)C. f (n )=2f (n -1)-1

1. 在∆ABC 中，设命题p :

a sin C

=

b sin A

=

c sin B

(n ≥3) B.f (n )=2f (n -1)(n ≥2)

(n ≥2) D.f (n )=f (n -1)f (n -2)(n ≥3)

，命题q :∆ABC 是等边三角形，那么命

题p 是命题q 的（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

12. 设a ，b 为大于1的正数，并且ab +a -b -10=0，如果a +b 的最小值为m ，则满足

3x +2y ≤m 的整点(x , y )的个数为 （ ）

2

2

A.5 B.7 C.9 D.11

1、 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是面AA 1B 1B 上点，P 到平面A 1B 1C 1D 1距离是P 到BC 距离的2倍，则P 轨迹所在曲线是 （ ） （A ）直线 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线

2、 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {x 1, x 2, …, x n }，最小数为min {x 1, x 2, …, x n }. 已知V ABC

的三边长为a , b , c ≤(a ≤

定义它的倾斜度为b ，c

⎧a b c ⎫⎧a b c ⎫

l =max ⎨, , ⎬∙min ⎨, , ⎬，则“l =1”是“V ABC 为等边三角形” （ ）

⎩b c a ⎭⎩b c a ⎭

（A ）必要而不充分的条件 （B ）充分而不必要的条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件 10. 有一条长度为1的线段EF , 其端点E 、F 在边长为3的正方形ABCD 的四边滑动，当F 绕着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹长度最接近于

A. 8 B. 11 C. 12 D. 10 11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ， 满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，

则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ m （π取3.14，精确到1m ）. 12. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n +1=

5a n -133a n -7

(n ∈N ), 则数列

*

{a n }的前100项的和为 ▲ .

2．已知函数y =f (x ) ，对任意的两个不相等的实数x 1, x 2，都有f (x 1+x 2) =f (x 1) ⋅f (x 2) 成立，且f (0) ≠0，则f (-2006) ⋅f (-2005) ⋅.......... . f (2005) ⋅f (2006) 的值是______. 8.

已知a

2，则函数f (x ) =

+x -2的零点个数为

A ．1 B．2 C．3 D．4

9.

P

为双曲线

2

2

x

2

9

-

y

2

16

=1的右支上一点, M , N 分别是圆(x +5) 2+y 2=4和

的最大值为

(x -5) +y =1 上的点，则PM -PN

A ．6 B．7 C．8 D．9

12．已知x >

0，由不等式x +

可以推出结论：x +

A ．2n

a x

n

1x

≥*

=2, x +

4x

2

=

x 2

+

x 2

+

4x

2

≥=3, , ≥n +1(n ∈N ), 则a =

（ ） B ．3n

C ．n 2 D ．n n

10．已知函数f (x ) 对任意x ∈R 都有f (x +4) -f (x ) =2f (2)，若y =f (x -1) 的图象关于直线x =1对称，且f (1)=2，则f (2011)=

A ．2 B．3 C．4 D．6

16．将1，2，3，„，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列

从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有 （种）

3．已知函数

f (x ) 满足f (1) =1，对于任意的实数x , y 都满足

f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +2y (x +y ) +1，若x ∈N *，则函数f (x ) 的解析式为_________.

5．函数f

f (x )

f

(x +2)=

1f

对于任意实数x 满足条件

(x )，若

f (1)=-5,

则

(f (5))=__________.

①每一个四面体都有唯一的外接球； ②每一个四面体都有唯一的内切球；

③每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球； ④任何一个三棱柱都可以分解成三个等体积的四面体；

15．下面有关四面体的命题：

⑤对任意一个四面体，存在一个顶点，使得从该点出发的三条棱作为边长可以构成一个三角形。

其中正确命题的序号是。

1． 直线y =kx 与曲线y =e |lnx |-|x -2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是

2． 已知实数p >0，直线3x -4y +2p =0与抛物线x =2py 和圆x +(y -

从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D , 则

AB CD

2

2

p 2

) =

2

p

2

4

的值为 ▲ ．

3． 设函数f (x ) 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，

且f (x +k ) >f (x ) 恒成立，则称函数f (x ) 为D 上的“k 型增函数”．已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x ) =|x -a |-2a ，若f (x ) 为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．将关于x 的多项式f (x ) =1-x +x -x + +-x

2

3

19

+x

20

表示

21920

为关于y 的多项式g (y ) =a 0+a 1y +a 2y + +a 19y +a 20y ，

其中y =x +1，则a 0+a 1+ +a 20

12．设函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且满足f (x +2) =-f (x ) 。

又当0≤x ≤1时，f (x ) =

12

12

x ，则当-10≤x ≤10，方程

f (x ) =-

的根的和为。7．双曲线

x a

22

-

y b

22

=1(a >0, b >0) 与椭圆

x

2

25

+

y

2

9

=

1的

焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是 （ ）

A ．（2，4）

B ．(2, 4]

C ．[2, 4)

D ．(2,+∞)

6．若曲线C :x 2+y 2+2ax -4ay +5a 2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范

围为

A ．(-∞, -2)

B ．(-∞, -1)

C ．(1,+∞)

（ ） D ．(2,+∞) （ ） D ．被3除余1的数

n 1n -1n -1n

7．若9+C n +19+ +C n +19+C n +1是11的倍数，则正整数n 为

A ．偶数 B ．奇数 C ．3的倍数

8．已知实数m ，n 满足0

①2m =3n ; ②log 2m =log 3n ; ③m 2=n 2。其中可能成立的有 A ．0个

B ．1个

C ．2个

（ ） D ．3个

9．设a 1, a 2, , a n (n ≥4) 是各项均不为零的等差数列，且公差d ≠0。若将此数列删去某一

项后得到的数列（按原来的顺序）为等比数列，则此等差数列的项数n 的最大值为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

⎧1

, x ≠2, ⎪

10．定义在R 上的函数f (x ) =⎨|x -2|若关于x 的方程f 2(x ) +af (x ) +b =3有三个

⎪1, x =2. ⎩

不同的实数解x 1, x 2, x 3, 且x 1

222

A ．x 1+x 2+x 3=14 B ．a +b =2

（ ） D ．x 1+x 3=4

C ．x 1+x 3>2x 2

10．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1的内切球，

则平面A C D 1截球O 的截面面积为

3

C 1

1

· O A ．

B ．

π3

C 6

D ．

π6

A 11．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为

A ．96 B ．114 C ．128 D ．136

A

B

C

57．如图，折线段AP →PQ →QC 是长方形休闲区域ABCD 内规划的一条小路，已知

A B =1百米， AD =a （a ≥1）百米，点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上，

PQ ⊥BC ，Q 为垂足．

（1）试问点P 在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最 短路程为多少？

（2）当a =1时，过点P 作PM ⊥CD ，垂足为M ．若将矩形PQCM 修建为观

3、

赏水池，试问点P 在圆弧何处，能使水池的面积最大？ 20. 若n ∈

N ，1+

*

(

n

=

n +b n （a n 、b n ∈Z ）.

(1) 求a 5+b 5的值；

（2）求证：数列{b n }各项均为奇数.

4、 (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小

题满分9分。

(1)A(-2,0)、B(2,0)，M 满足MA ⋅MB =0，求M 轨迹。

(2)若(1)中的轨迹按向量(1,–1) 平移后恰与x+ky–3=0相切，求

(3)如图，l 过

x

22

a b

直线，E 、F 是两焦点，P ∈l ，P 、A 不重合，若∠EPF=α，

+

y

22

=1 (a>b>0)长轴顶点A 且与长轴垂直的

则有0

c

a b b

是过焦点F 且垂直x 轴的直线，A 、B 是两顶点，P ∈l ，P 、F 不重合，∠APB=α，求α取值范围。

，类比此结论到

x

22

-

y

22

=1 (a>0，b>0)，l

4． （本小题15分）

已知椭圆C ：

x a

222

y b

2

22

+=1(a >b >0) ，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直

线AB 与圆G ： x +y =

c

2

4

（c 是椭圆的焦半距）相离，P 是直线AB 上一动点，过点P

作圆G 的两切线，切点分别为M 、N ． （1）若椭圆C 经过两点(1,

3、(

2

，求椭圆C 的方程；

（2）当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OP ⋅OE 的值（O 是坐标原点）；

（3）若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

y A

M

N

5． （本小题16分）

21. 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于-

13

.

(Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程；

(Ⅱ) 设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

17. 已知椭圆面积为4。

(Ⅰ) 求椭圆的方程：

(Ⅱ) 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A , B 。已知点A 的坐标为(-a ，0) ，点Q (0，y 0)

在线段AB 的垂直平分线上，且Q A Q B =4。求y 0的值。

x a

22

+

y b

22

=1(a ＞b

＞0) 的离心率e =

2

，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的

18. 设椭圆C 1：

x a

22

+

y b

22

=1(a >b >0) ，抛物线C 2：x +by =b .

22

(1) 若C 2经过C 1的两个焦点，求C

1的离心率； (2) 设A (0,b ), Q 54

又M 、N 为C 1与C 2不在y 轴上的b ) ，

34

b ) ，且∆QMN 的重心

两个交点，若∆AM N 的垂心为B (0,

在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．

19．如图，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有 （A ） 288种 （B ）264种 （C ） 240种 （D ）168种

20. 某学校举行知识竞赛, 第一轮选拔共设有A , B , C , D 四个问题，规则如下：

① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A , B , C , D 分别加1分、2分、3分、

6分，答错任一题减2分；

② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当

累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题A , B , C , D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题A , B , C , D 回答正确的概率依次为之间没有影响.

(Ⅰ) 求甲同学能进入下一轮的概率；

（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学的E ξ. 20．（本小题共13分）

已知∆ABC 的边A B 所在直线的方程 为x -3y -6=0, M (2，0) 满足BM =MC ,

点T (-1，1) 在AC 所在直线上且AT ⋅AB =0．

（1）求∆ABC 外接圆的方程；

（2）一动圆过点N (-2，0) ，且与∆ABC 的 外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；

（3）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的P , Q 两点，满足O P ⋅O Q >6，求k 的

3111

, , , ，且各题回答正确与否相互4234

取值范围．

18．（本题12分）在几何体A B C D E 中, ∆ABC 是等腰直角三角形, ∠ABC =90, B E 和CD 都垂直于平面ABC , 且B E =A B =2C D =2， 点F 是A E 的中点。

（1）求证：DF //平面ABC ；

（2）求面B D F 与面ABC 所成的角余弦值. 21．（本小题满分14分）

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =

12

*

na n +1(n ∈N ) ，其中a 1=1.

E

F

D

C

（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）设b k =

a 1a 3 a 2k -1a 2a 4 a 2k

(k ∈N ).

*

（i

）证明：b n

（ii

）证明：b 1+b 2+ +b n

1.

21．（本题14分）已知向量OA =(2, 0), OC =AB =(0,1), 动点M 到定直线y =1的距离等

2

于d , 并且满足O M ⋅AM =k C M ⋅BM -d , 其中O 是坐标原点，k 是参数.

()

（1）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型； （2）当k =

12

时，求O M +2A M 的最大值和最小值；

3

2

（3）如果动点M 的轨迹是圆锥曲线，其离心率e

围。

≤e ≤, 求实数k 的取值范

19．（本题12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n -2=(b -1)S n .

n

（1）证明：当b =2时，{a n -n ⋅2n -1}是等比数列； （2）求{a n }的通项公式20．（本小题满分13分）

如图所示，点A (p , o )(p >0) ，点R 在y 轴上运动，点T 在x 轴上，N 为动点，

且

R T ⋅R A =0, R N +R T =0.

（I ）设动点N 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；

（II ）设P ，Q 是曲线C 上的两个动点M (x 0, y 0) 是曲线C 上一定点，若P M ⋅Q M =0，

试证明直线PQ 经过定点，并求出该定点的坐标。

19．（本小题满分12分）

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且(2n -1) S n +1-(2n +1) S n =4n 2-1(n ∈N

*) . （Ⅰ）求数列{

a n }的通项公式；

+

+ +

>12

1) .

21．（本小题满分14分）

已知椭圆C :

x

a

22

+

y b

22

=1(a >

b >0) 2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为

半径的圆与直线x -y +=0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若过点M (2, 0) 的直线与椭圆C 相交于两点A , B ，设P 为椭圆上一点，且满足

OA +

OB =tOP （O

为坐标原点），当|P A -P B |

3

t 的取值范围．

20. （本小题满分12分）

已知数列{a n }是各项不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a n =S 2n -1, 令b n =

2

1a n ⋅a n +1

，数列{b n }的

前n 项和为T n .

（1）求数列{a n }的通项公式及数列{b n }的前n 项和T n ；

（2） 是否存在正整数m , n (1

如图，在等边∆ABC 中，O 为边

AB 的中点，AB =4，D

、E 为∆ABC 的高线上的点，

==若以A , B 为焦点，O 为中心的椭圆过点

D ，建立适当的直角坐标系，记椭圆为M .

（1）求椭圆M 的方程；

（2）过点E 的直线l 与椭圆M 交于不同的两点P , Q ，点P 在点E , Q之 间, 且EP =λEQ ，求实数λ的取值范围.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第一个小题满分4分，第2个小题满分6分, 第3个小题满分8分．已知曲线C :x +（1）讨论曲线C 所表示的轨迹形状；

2

→

→

O

B

y

2

a

=1，直线l :kx -y -k =0，O 为坐标原点．

（2）当k =1时，直线l 与曲线C 相交于两点M , N ，

若M N =求曲线C 的方程； （3）当a =-1时，直线l 与曲线C 相交于两点M , N ，试问在曲线C 上是否存在点Q ，

使得O M +O N =λO Q ？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

22

11. 已知点A (1, 2) 是离心率为的椭圆C ：

x b

22

+

y a

22

=1(a >b >0) 上的一点．斜率为

2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）∆ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．

⎧x ≥0

⎪

17. （本小题满分14分）已知平面区域⎨y ≥0恰好被面积最小的圆

⎪x +2y -4≤0⎩

C :(x -a ) +(y -b ) =r 及其内部所覆盖.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2

2

2

(1) 试求圆C 的方程.

(2) 若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A , B , 满足CA ⊥CB , 求直线l 的方程. 18. (本小题满分14分) 某房地产开发商投资81万元建一座写字楼, 第一年装修费为1万元, 以后每年增加2万元, 把写字楼出租, 每年收入租金30万元. (1) 若扣除投资和装修费, 则从第几年开始获取纯利润？ (2) 若干年后开发商为了投资其他项目, 有两种处理方案: ① 纯利润总和最大时, 以10万元出售;

② 该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼, 问哪种方案更优？ 22．（本小题满分14分）

已知动圆M 过定点P (0,m )(m >0) ，且与定直线l 1:y =-m 相切，动圆圆心M 的轨迹为C ，直线l 2过点P 交曲线C 于A , B 两点．

(Ⅰ) 求曲线C 的方程； (Ⅱ) 若l 2交x 轴于点S , 且

SP SA

+SP SB

=3，求l 2的方程；

(Ⅲ) 若l 2的倾斜角为30 ，在l 1上是否存在点E 使∆A B E 为正三角形? 若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由．

19. （本小题16分）已知数列{a n }中a 1=

1a n -1

35

, a n =2-

1a n -1

(n ≥2, n ∈N +), 数列{b n },

满足b n =

(n ∈N +).

(1) 求证数列{b n }是等差数列;

(2) 若S n =(a 1-1) ⋅(a 2-1) +(a 2-1) ⋅(a 3-1) + +(a n -1) ⋅(a n +1-1) , 则S n 是否存 在最大值或最小值？若有, 求出最大值与最小值, 若没有说明理由.

1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点

M (1, 2)

P

C

，它们在x 轴上有共同焦点，椭

圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （Ⅰ）求这三条曲线的方程； （Ⅱ）已知动直线l 过点

A P

P (3, 0)

，交抛物线于A , B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以

为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.

=

6

{a }中，a 2．已知正项数列

n

1

，点

A n a n (

在抛物线y

2

=x +1

上；数列

{b }中，点

n

B n (n , b n )

在过点

(0,1)，以方向向量为(1, 2)的直线上.

n

n

（Ⅰ）求数列

{a }, {b }的通项公式；

⎧⎪a n , (n 为奇数)f (n )=⎨

f (k +27⎪⎩b n , (n 为偶数)，（Ⅱ）若问是否存在k ∈N ，使

)=4f k ()成立，若存在，

求出k 值；若不存在，说明理由；

a

n +1

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1+1+ 1+⎪ ⎪ ⎪

b b b 12n ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （Ⅲ）对任意正整数n ，

不等式

a

-

n

≤0

成立，求正数

的取值范围.

x

2

3. 将圆O:

+y

2

=4

上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),

得到曲线C. (1) 求C 的方程;

(2) 设O 为坐标原点, 过点F (3, 0) 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.

求证: OE =2ON 的充要条件是|A B | =3.

f (x ) =

1

x

4+2(x ∈R ) .

4. 已知函数

1, )

(1) 试证函数f (x ) 的图象关于点24对称;

(a n =f (

n m

) (m ∈N +, n =1, 2, , m )

1

(2) 若数列项和

S m ;

{a n }

的通项公式为, 求数列

{a n }

的前m

b 1=

1

3, b n +1=b n +b n . 设

2

(3) 设数列若(2)中的

{b n }

T n =

1b 1+1

+

1b 2+1

+ +

1b n +1

满足: .

S n

满足对任意不小于2的正整数n,

=1

S n

恒成立, 试求m 的最大值.

a n =

2S n

2

a 1

a n }{5．已知数列中，

3，当n ≥2时，其前n 项和

S n

满足

2S n -1

，

求

S n

lim

a n S n

2

的表达式及

n →∞

的值；

求数列

{a n }的通项公式；

n +2n

S n (n =1, 2, 3 ). 证明：

数列{a n }的前n 项和记为Sn ，已知a 1=1, a n +1=

（Ⅰ）数列{

S n n

是等比数列；

（Ⅱ）求数列{S n }的前n 项和T n .

18. （16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x +y =1与x 轴交于A , B 两点，点

F (t , 0) 为一定点.

2

2

x

22

（1）若双曲线a

-

y b

22

=1(a >0, b >0)

π

的一渐近线的倾斜角为3，右焦点为F ，且该双

曲线的两条准线恰与圆O 都相切，求实数t 的值；

t =

1

2时，过点F 作两条相互垂直的直线l 1, l 2, 记l 1, l 2被圆O 截得的弦长分别为1

d 1, d 2

（2）当

，求

d 1

2

+

1d 2

2

的最小值；

（3）当t =3时，过点F 作垂直于x 轴的直线l , P 是圆O 上异于A , B 的任意一点，直线PA 交直线l 于点M ，直线PB 交直线l 于点N . 求证：以MN 为直径的圆总经过两个定点.

y =

x

2上，点列

A n (x n , 0), n ∈N

*

19．（16分）已知点列其中

x 1=a , 0

{x n }

B n (n , y n ), n ∈N

*

在直线

*

在x 轴上，

A , B , A B

，对任意的n ∈N ，点n n n +1构成以n 为顶点的等腰三角形.

（1）求数列的通项公式；

A n B n A n +1

（2）是否存在n ，使三角形

20. 已知椭圆C :

x a

22

构成等边三角形？请说明理由.

+

y b

22

⎛2⎫ ⎪在椭圆C 上， =1(a >b >0) 的焦距为2，点M 1, 2⎪⎝⎭

(1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 若过点B (0, 2) 的直线与(1)中的椭圆交于不同的两点D , E （D 在B

试求∆OBD 与∆OBE 面积之比的取值范围. 21. 已知函数f 1(x ) =

、E 之间）；

1|x -m |

, （其中m ∈R 且m ≠0）. f (x ) =() 22

24x +16

mx

（1）讨论函数f 1(x ) 的单调性；

（2）若m

⎧f 1(x ), x ≥2

（3）设函数g (x ) =⎨, 当m ≥2时，若对于任意的x 1∈[2, +∞) ，总存在唯一

⎩f 2(x ), x

的x 2∈(-∞, 2) ，使得g (x 1) =g (x 2) 成立．试求m 的取值范围． 19、(本小题满分12分) 已知数列{a n }满足a 1=

2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列⎨

20、(本题满分13分)

已知线段CD =，C D 的中点为O ，动点A 满足AC +AD =2a （a 为正常数）． （1）求动点A 所在的曲线方程；

（2）若存在点A ，使AC ⊥AD ，试求a 的取值范围；

（3）若a =2，动点B 满足BC +BD =4，且AO ⊥O B ，试求∆AO B 面积的最大值和最小值．

19. 已知数列{a n }的前n 项和为A n ，且对任意正整数n ，都满足：t a n -1=A n ，其中t >1

=1+

1n

；

⎧a n ⎫

⎬的前n 项和为S n ，试比较a n -s n 与2的大小． ⎩n ⎭

为实数.

（1）求数列{a n }的通项公式；

1n

（2）若b n 为杨辉三角第n 行中所有数的和，即b n =C n 0+C n + +C n ，B n 为杨辉三角

前n 行中所有数的和，亦即为数列{b n }的前n 项和，求lim 20．已知函数f (x ) =|2x -1-1|，(x ∈R ) .

A n B n

的值.

n →∞

（1）证明：函数f (x ) 在区间(1,+∞) 上为增函数，并指出函数f (x ) 在区间(-∞,1)上的单调性；

（2）若函数f (x ) 的图像与直线y =t 有两个不同的交点A (m , t ) ，B (n , t ) ，其中m

21. 如图，已知点H (-3, 0) ，动点P 在y 轴上，点Q 在x 轴上，其横坐标不小于零，点M 在直线P Q 上，

3 且满足H P ⋅PM =0，PM =-M Q .

2

（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ； （2）过定点F (1,0) 作互相垂直的直线l 与l '，l 与

（1）中的轨迹C 交于A 、B 两点，l '与（1）中的轨迹C 交于D 、E 两点，求四边形A D B E 面积S 的最小值；

（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若

同时选做两题，

则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）： ① （解答本题，最多得6分）将（1）中的曲线C 推广为椭圆：将（2）中的定点取为焦点F (1, 0)，求与（2）相类似的问题的解； ② （解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C 推广为椭圆：将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解.

*

22. 设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点列A n 、B n (n ∈N )

x

2

2

+y =1，并

2

x a

22

+

y b

22

=1，并

→→

→→→→→→→

分别满足下列两个条件：①OA 1=j 且A n A n +1=i +j ；②OB 1=3i 且

→

B n B n +1=() ⨯3i .

3

2

n

→

→

→

（1）求OA 2及OA 3的坐标，并证明点A n 在直线y =x +1上； （2）若四边形A n B n B n +1A n +1的面积是a n ，求a n (n ∈N *) 的表达式；

（3）对于（2）中的a n ，是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *都有a n

23. 已知数列{a n }中的相邻两项a 2k -1, a 2k （k =1, 2, 3 ）是关于x 的方程

x

2

-(4k +2+2) x +(2k +1) ⨯2

k k +1

=0的两个根，且a 2k -1≤a 2k

(k =1, 2, 3, ).

（1）求a 1, a 2, a 3, a 4的值； （2）求a 2n -1 及a 2n ； （3）求数列前2n 项和S 2n . 24. 设椭圆C ：

x a

22

+

y b

22

，且其右焦点到直线 =1（a ＞b ＞0）的一个顶点坐标为A （0, -2）3.

y -x -22=0的距离为

（1）求椭圆C 的轨迹方程；

（2）若A 、B 是椭圆C 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于

点M ，则称弦AB 是点M 的一条“相关弦”，如果点M 的坐标为M （, 0），求证：点M

21

的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；

（3）对于问题（2），如果点M 坐标为M （t , 0），当t 满足什么条件时，点M （t , 0）存在无

穷多条“相关弦”，并判断点M 的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上. 25. 定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”．

（1）若项数为20项的“对偶数列”{a n }，前4项为1，1，3，及20项的和；

（2）设项数为2m (m ∈N ) 的“对偶数列”{a n }前4项为1，1，3，

*

12

，求该数列的通项公式

12

，试求该数列前

n (1≤n ≤2m , n ∈N ) 项的和S n ；

*

（3）求证：等差数列{a n }(a n ≠0) 为“对偶数列”当且仅当数列{a n }为非零常数数列． 0)，26. 已知F 1(-2, 0), F 2(2，点P 满足PF 1-PF 2=2, 记点P 的轨迹为E ，．

（1）求轨迹E 的方程；

→

（2）若直线l 过点F 2且法向量为n =(a , 1) ，直线与轨迹E 交于P 、Q 两点．

①（文）求实数a 的取值范围；

（理）过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB , 垂足分别为A 、B , 记|PQ |=λ|AB |，试确定λ的取值范围；

→

→

②在x 轴上是否存在定点M, 无论直线l 绕点F 2怎样转动，使MP ⋅MQ =0恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．

27. 已知F 1(-1, 0), F 2(1,0) 是椭圆C 的两个焦点, A 、B 为过F 1的直线与椭圆的交点, 且

∆F 2A B 的周长为43.

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程; (Ⅱ) 判断

1F 1A

+

1F 1B

是否为定值, 若是求出这个值, 若不是说明理由.

28错误！未指定书签。．若数列{a n }(n ∈N *) 满

足:(1)a n ≥0;(2)a n -2a n +1+a n +2≥0;(3)a 1+a 2+ +a n ≤1, 则称数列{a n }为“和谐”数列.

验证数列{a n }, {b n }, 其中a n =

30. 已知一次函数f(x)的图象关于直线x-y=0对称的图象为C ，且f(f(1))=-1，若点⎛a n +1⎫a n +1a *

-n =1(n ≥2)． n ，⎪n ∈N 在曲线C 上，并有a 1=1，

a n ⎭a n a n -1⎝

1n (n +1)

, b n =

12n

是否为“和谐”数列;

()

(1)求f(x)的解析式及曲线C 的方程； (2)求数列{an }的通项公式； a a a a 123n

+ (3)设S ，求lim S n 的值． n

n →∞3! 4! 5! n +2! ()

31. 由函数y=f（x ）确定数列{an }，a n =f（n ），函数y=f（x ）的反函数y=f （x ）能确定数列{bn }，b n = f –1（n ），若对于任意n ∈N *，都有b n =an ，则称数列{bn }是数列{an }的“自反数列”.

（1）若函数f （x ）=

px +1x +1

－1

确定数列{an }的自反数列为{bn }，求a n ；

n 1

（2）已知正数数列{cn }的前n 项之和S n =（c n +）. 写出S n 表达式，并证明你的结论；

c n 2

（3）在（1）和（2）的条件下，d 1=2，当n ≥2时，设d n =项之和，且D n >log a （1－2a ）恒成立，求a 的取值范围.

-1a n S n

2

，D n 是数列{dn }的前n

2

33. 数列{a n }中，a n +1=

a n

2a n -2

，n ∈N *．若a 1=

94

，设b n =l og

a n -2

13

a n

，求证数列{b n }是

等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；

34. 已知椭圆C 的中心坐标在原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 。

35. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上， F 1、F 2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与→

两焦点构成等边三角形, 且|F 1F 2|=2； (1)求椭圆方程

(2)对于x 轴上的某一点T ，过T 作不与坐标轴平行的直线L 交椭圆于P 、Q 两点，若存在x 轴上的点S ，使得对符合条件的L 恒有∠PST =∠QST 成立，我们称S 为T 的一个配对点，当

T 为左焦点时，求T 的配对点的坐标；

(3)在(2)条件下讨论当T 在何处时，存在有配对点？

36. 可以证明, 对任意的n ∈N *, 有(1+2+ +n ) 2=13+23+ +n 3成立．下面尝试推广该命题:

（1） 设由三项组成的数列a 1, a 2, a 3每项均非零, 且对任意的n ∈{1,2, 3}有

(a 1+a 2+ +a n ) =a 1+a 2+ +a n 成立, 求所有满足条件的数列;

2

3

3

3

（2） 设数列{a n }

2

3

3

每项均非零, 且对任意的

3

n ∈N

*

有

(a 1+a 2+ +a n ) =a 1+a 2+ +a n 成立, 数列{a n }的前n 项和为S n ．求证: a n +1-a n +1=2S n , n ∈N ;

2

*

（3） 是否存在满足（2）中条件的无穷数列{a n }, 使得a 2012=-2011? 若存在, 写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）; 若不存在, 说明理由．

37. 甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，

答错得0分。已知甲答对每个题的概率为 （1）求甲恰好得30分的概率；

，乙答对每个题的概率为。

（2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望； （3）求甲恰好比乙多30分的概率.

25. 在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段OA , OB 分别相交于点M , N 。若OM =x OA , ON =y OB 。

（1）求证：x 与y 的关系为y =

x x +1

x x +1

；

1f (x )

-1(0

（2）设f (x ) =，定义函数F (x ) =

P i (x i , F (x i ))(i =1, 2, , n , n ≥2) 在函数F (x ) 的图像上，且数列{x n }是以首项为1，公比

为

12

的等比数列，O 为原点，令OP =OP 1+OP 2+ +OP n ，是否存在点Q (1, m )

，

得OP ⊥OQ ？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。

（3）设函数G (x ) 为R 上偶函数，当x ∈[0, 1]时G (x ) =f (x ) ，又函数G (x ) 图象关于直线

x =1对称， 当方程G (x ) =ax +

12

在x ∈[2k , 2k +2](k ∈N ) 上有两个不同的实数解时，

求实数a 的取值范围。

26．从数列{a n }中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a n }的一个子数列．设数列{a n }是一个首项为a 1、公差为d (d ≠0) 的无穷等差数列． （1）若a 1，a 2，a 5成等比数列，求其公比q ．

（2）若a 1=7d ，从数列{a n }中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a n }的无穷等比子数列，请说明理由．

（3）若a 1=1，从数列{a n }中取出第1项、第m (m ≥2) 项（设a m =t ）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{a n }的无穷等比子数列，请说明理由．

27．设P (a , b )(a ⋅b ≠0)、R (a , 2)为坐标平面xo y 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线y =

2

4ab

x 交于点Q (异于O ).

2

(1)若对任意ab ≠0，点Q 在抛物线y =mx +1(m ≠0)上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；

22

(2)若点P (a , b ) (ab ≠0)在椭圆x +4y =1上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，

求出该双曲线方程，若不能，说明理由；

(3)对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足OA ⋅OB =1，试问：是否存在一个定圆S ，使直线A B 恒与圆S 相切.

28．设数列{a n }(n =1, 2, )是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

（1）若a 1=4, d =2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？

（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d =1, a 1>0，试问：是否存在这样的“封闭数⎛111⎫11

++ +列”，使lim ；若存在，求{a n }的通项公式，若⎪=n →∞S S S 92n ⎭⎝1

不存在，说明理由；

29．已知抛物线y 2=4ax （a >0且a 为常数），F 为其焦点． （1）写出焦点F 的坐标；

（2）过点F 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点，且P F =2F Q ，求直线

O

PQ 的斜率；

（3）若线段A C 、B D 是过抛物线焦点F 的两条动弦，且满足AC ⊥BD ，如图所示．求四边形ABCD 面积的最小值S (a ) ．

30．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1=1，AB =4, BC =3． （1）求：凸多面体ABCD -A 1B 1D 1的体积；

（2）若M 为线段A A 1的中点，求点M 到平面BB 1D 1D 的距离；

（3）（理）若点E 、F 分别在棱A 1D 1、A B 上滑动，且线段EF 的长恒等于2，线段EF 的中点为P

①试证：点P 必落在过线段A A 1的中点M 且平行于底面ABCD 的平面上； ②试求点P 的轨迹．

31．已知数列{a n }满足a 1=a ，a 2=（n ∈N *）． （1）求实数a 的值；

（2）求数列{a n }的通项公式；

12

A

F

B

，S n 是数列的前n 项和，且S n =

n (a n +3a 1)

2

（3）对于数列{b n }，若存在常数M ，使b n

n →∞

1n -1

() ⋅a n 列{b n }的“上渐近值”．若t 1=0，t n =（n ≥2，n ∈N *），记T n 为数列{t n }n -1

的前n 项和，求数列{T n }的上渐近值． 32．如图：已知椭圆C 1:

x a

22

+

y b

22

=1(a >b >0) 的内切圆C 2:x +y =b 的一条切线交椭

222

圆于A 、B, 且切线AB 与圆的切点Q 在y 轴右侧．F (c , 0) 是椭圆的右焦点．

（1）设点A (x 0, y 0) ，试用两点间距离公式推导AF 的表达式（用x 0与a , c 的式子表示）； （2）判断AQ +

AF

n

在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +2． 33.

（1）设b n =

a n 2

n -1

(n ∈N ) ，证明：数列{b n }是等差数列；

*

（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求lim

S n n ⋅2

n +1

的值；

T n 4a n -T n

2

n →∞

（3）(文) 设c n =2b n -1，数列{c n }的前n 项和为T n ，d n =

，是否存在实数t ，

使得对任意的正整数n 和实数m ∈[1， 2]，都有d 1+d 2+d 3+ +d n ≥log 8(2m +t ) 成立？请说明理由.

1⎧

，n =1，⎪6⎪*

(n ∈N ) ，T n 为数列{a n }（3）（理）在(2)的条件下，若a n =⎨

1

⎪，n ≥2，4S +1S +1⎪)(n +1)⎩(n

*

的前n 项和，若T n