圆的标准方程和一般方程(简单)
圆的标准方程和一般方程
【圆的方程】
2
⑴圆的标准方程：(x -a )+(y -b )=r 。
2
2
⑵圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D2＋E 2－
4F >0) ，
特别提醒：只有当D ＋E －4F >0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0才表示圆心为(-2
2
D E
, -) ，22
（二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是什么？ （A =C ≠0, 且
B =0且D 2+E 2-4AF >0））；
【点与圆的位置关系】
已知点M (x 0, y 0)及圆C ：(x-a )+(y -b )=r 2(r >0)，
2
（1）点M 在圆C 外⇔CM >r ⇔(x 0-a )+(y 0-b )>r ； 2
（2）点M 在圆C 内⇔CM
（3）点M 在圆C 上⇔CM =r ⇔(x 0-a )+(y 0-b )=r 。
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2
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2
2
【直线与圆的位置关系】
直线l :Ax +By +C =0和圆C ：(x -a )+(y -b )=r 2(r >0)有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：∆>0⇔相交；∆
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r ⇔相离；d =r ⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 【两圆位置关系的判定方法】
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d
2
2
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线 d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线
r 1-r 2
0
外离 外切 相交 内切 内含
【公共弦直线方程】
圆x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的公共弦所在直线方程
(D 1-D 2) x +(E 1-E 2) +(F 1-F 2) =0
【圆的切线与弦长】 (1)切线：
①过圆x 2+y 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：xx 0+yy 0=R 2，
过圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2上点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是： (x -a )(x 0-a ) +(y -a )(y 0-a ) =R 2，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）； ②从圆外一点引圆的切线一定有两条，
（2）弦长问题：常用弦心距d ，弦长一半
1
a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2
1
r 2=d 2+(a ) 2；
2
22
例:直线x +2y =0被曲线x +y -6x -2y -15=0所截得的弦长等于
【圆的方程】
1、过点O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)三点的圆的方程为___________
2、点P(5a+1,12a)在圆(x－１) ＋y =1的内部, 则a 的取值范围是______|a |
2
２
２
2
1 13
1 2
4、过点A (1,-1), B (-1,1) 且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是_____________ 【切线和弦问题】
5、与圆x +(y -2) =1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有___________． 6．已知两圆x +y =10和(x -1) +(y -3) =14相交于A , B 两点，则直线AB 的方程 是_____________，线段AB 的垂直平分线方程是______________
7、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．
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2
2
2
2
2
1
＝1，解得x ＝2或x ＝－舍) ， 0024＋(－3)
22
∴所求圆的方程为(x －2) ＋(y －1) ＝1.
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8、已知圆的方程为x ＋y －6x －8y ＝0. 设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为___________．
解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r ＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝52－12＝6，四边形ABCD 的面积为206.
解析：由题意，设圆心(x 0, 1) ，∴
9、一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程分析： |4x 0－3|
解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线
x －3y =0上，故设圆方程为(x
-3b ) 2+(y -b ) 2=9b 又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有2
+2=9b 2， 2
2
2
解得b =±1(x -3) +(y -1) =9或(x +3) +(y +1) =2
【对称问题】
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10、已知圆C 1：(x ＋1) ＋(y －1) ＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为
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________________．解析：圆C 1：(x ＋1) ＋(y －1) ＝1的圆心为(－1,1) ．圆C 2的圆心设为(a ，
⎧⎪
b ) ，C 与C 关于直线x －y －1＝0对称，∴⎨a －1b ＋1
⎪⎩2－21＝0，
1
2
b －1
＝－1，a ＋1
解得⎨
⎧a ＝2，⎪
⎪⎩b ＝－2，
圆C 2
的半径为11，∴圆C 2的方程为(x －2) ＋(y ＋2) ＝1.
11．圆x 2+y 2=4上与直线4x +3y -12=0距离最近的点的坐标是_________________
22
12、已知点P (1,4)在圆C ：x ＋y ＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆
C 上，则a ＝________，b ＝________.
22
解析：点P (1,4)在圆C ：x ＋y ＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心 (－a, 2) 在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 【直线与圆相交问题】
22
13、 若圆x ＋y －2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为________．
2222
解析：圆的方程为(x －k ) ＋(y ＋1) ＝k －1，圆心坐标为(k ，－1) ，半径r ＝k －1，若圆与
22
⎧k 2－1
两坐标无共点，即⎨⎩k －1
2
2
，解得1
14、 圆x ＋y －4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是________．
2
解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的距离等于半径的(x
2－2) ＋(y ＋1) ＝5－c ，即2＝
2
2
2
5－c ，解得c ＝－3. 2
【综合问题】
15、如果实数x , y 满足等式(x -2) 2+y 2=3，那么
y
的最大值是__________ x
16、两圆交于点A (1,3)、B (m , -1) ，两圆的圆心均在直线x -y +c =0上，则m =________,
c =_________ 17、曲线f (x ) ＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．
解析：曲线f (x ) ＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 方程为x －y －1＝0，与坐标轴围成的三角形的
[1**********]2
外接圆圆心为，半径为(x －) ＋(y ＋＝. 答案：(x －) ＋(y ＋)
22222222
1＝ 2
22
18、已知圆M ：（x ＋cos θ）＋（y －sin θ）＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： （A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B
）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；
（
C ）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切; （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切. 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.
－－（B ）（D ）. 圆心坐标为（－cos θ，sin θ）d ＝|sin（θ＋ϕ）|≤1
19、若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a ) ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是
___．
122
解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a ) ，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝，又OA ＝a ＋b ，∴以O 为圆
2
222
心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π²OA ＝(a ＋b ) π≥2ab ²π＝π，∴面积的最小值为π.
20、设实数x 、y 满足x ＋(y －1) ＝1，若对满足条件的x 、y 取值范围是________．
2
2
y
x －3
＋c ≥0恒成立，则c 的
y y －0
恒成立，又
(3,0)连线的斜率，范x －3x －3x －3
333
围为[－，0]，所以－c ≤－，即c 的取值范围是c 444
21、设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直
解析：由题意，知－c ≤线l
:x -2y =
0的距离为
y
，求该圆的方程． 5
2
2
2
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2
2
r =a +1，r =2b ，2b -a =1．设圆心为(a , b ) ，半径为r ，由条件①：由条件②：从而有：由
⎧2b 2-a 2=1⎧a =1⎧a =-1可得：⎨或⎨，所=⇒|a -2b |=1，解方程组⎨
b =-1b =1⎩⎩⎩|a -2b |=1
2222
以r =2b =2．故所求圆的方程是(x -1) +(y -1) =2或(x +1) +(y +1) =2．
2
2