康托的集合定义与罗素悖论

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２０ ０６年

第４ ５卷

第３ 期　

数 学通报　

康托 的集合定义与罗素悖论　

郑学安　

（ 北京师范大学数学科 学学 院　 １０７ ） ０８５　

集合论是 １世纪 ８年代 由康托（ａｔ ） ９ ０ Ｃｎ ｒ创立的 ， ｏ 　

现在 已发展为独立的数学分支 ． 它的基本 概念 与方 法　 已渗入到数学的各个领域 ， 成为现代数学 的基石 ． 　 １ ２年 ， 国哲学 家罗素 （ ｕｓｌ 提 出了著名　 ９ ０ 英 Ｒｓ １ ｅ） 的罗素悖论 ． 素悖论 的 出现 ， 得有 的学 者认 为　 罗 使 康托的集合定 义 有缺 陷 ， 合 论 的基础 有 问题 ． 集 但　 是用 目前大学 本科 逻辑 学教 科 书 中关 于初 等逻 辑　 的基础 知 识 ， 康托 的 集 合 定义 作 准确 的逻 辑 分　 对

｜ 不是 自然数 ， Ⅳ不是 ｜ 的元素 ， 以记为 Ⅳ ∈ ７ 、 ｒ 即 ７ 、 ｒ 可 　 ｜． ７ 一般地对两个集合 Ａ和 曰， 、 ｒ Ａ∈ 曰与Ａ∈ 曰都是　 集 合的属性 ． 根据罗素悖论 的概 括原则 ， 一切适合 Ａ 　 ∈ Ａ的集合 Ａ全体 ， 形成集合　 ， 记为　

＝

｛　 Ａ∈ Ａ｝ Ａｌ 　 　

（） １　

析， 就会发 现 ， 托 的集合 定 义是合 乎 逻辑 的正 确　 康 定义 ， 罗素悖论从反 面证 明 ｒ康托 的集 合定义是 正　

确 的． 　

１ 康托的集合定义及其逻辑分析　 　

康托的集合定义是 ： 　 “ 具有某 种特征或满 足一定 性质 的所有 对象　 将 或事物视为 一个整 体时 ， 一整 体就 称 为集 合 ， 这 而　 这些事物或对象就称为属于该集合 的元素 ．　 ” 这就定义了数学 的一个新 的概念 —— 集合 ． 　 什么是 概 念 呢？ 目前 大 学 逻 辑学 的教 科 书　 在 中， 可找到如下的叙述 ： 　 “ 念是 反映对 象特有 属性 或本质 属性 的思 维　 概

形式 ．　 ”

在康托的集合定义 中，特征”一词 指 的是 特有　 “ 属性 ，性 质” 词指 的是本质 属性 ， 以康托 的集　 “ 一 所 合定义符合逻辑学的要求 ， 因而是正确 的定义 ． 　 概念有两 个基 本 的逻 辑特 征 ， 即内涵 与外 延 ， 　 因此康托的集 合定义就包含 了下面两个逻辑原则 ． 　 外延原则 ： 集合 由其元素完全确定 ． 　 概括原则 ： Ｐ是描述或刻划对 象 的特有属 性　 若 或本质属性的命题或条件 ， ｛ Ｉ （ ｝ 则 　 　 　） 是集合 ， Ｐ 其　 中 Ｐ 　） “ （ 为真”或“ （ 指 Ｐ　） 　满足条件 Ｐ ． ” 　 从上面的概括原则立 即可得 到 ， Ｐ是一个 命　 若 题或条件 ， ｛ ｌ （ ｝ 能是一 个集合 ， 则 　 　 　） 可 Ｐ 也可能不　 是集合 ． 　

２ 罗素悖论及其重要作用　 　 得出罗素 悖论 的概括

原 则与 上 面叙 述 的概 括　 原则不同 ， 可用准确的逻辑语言叙述如下 ． 　 罗素悖论 的概 括原则是 ： Ｐ是描述 或刻划 对　 若

这就 自然要问 ， 是 否为　 的元素 ． 　 　 假 定　 ∈ ， 　 因　 是集合 ， １ 式得　 足　 的　 由（ ） 元素， 即　 ∈ ， 　 与假定　 ∈ 矛盾 ． 　 　 假定　 ∈ ， 　 根据 （ ） ， 必满足　 ∈ ， 与　 １式 　 　 又 假 定 ７∈ 矛 盾 ． １　 　 这就导致 了悖论 ， 并称这一悖 论为罗紊 障论 ． 　 用康 托集合定 义 的概括 原 则来分 析 （ ） ， １ 式 容　 易发现 ， 　 Ａ不 是集合 Ａ的特有属性或本质 属性 ， Ａ。 　 所以　 不是集合 ， 自然不会产生悖 论 ． 　 罗素后来 也发现 了这 一问题 ， 后来 罗素 建议将　 他 定义的 ７ 为类 ． １ 称 一般地 ， Ｐ是一个命题 ， ｛ 若 称　 ｌ（ ｝ 　 　） 为类 ． 必然是类 ， Ｐ 集合 但类可能不 是集合 ． 　 罗素悖论说 明了 ， 否定或 取 消康托集 合定义　 若 中特有属性 或本质 属性 的要求 ， 就会 产牛 悖论 ， 这　 就从 反面证明了康托集合 定 义的正确 性 ， 是罗 素　 这 悖 论的第一个重要作用 ． 　 罗素悖论第一次具体 构造 出不 是集合 的类 ， 从　 而证 明了 ｛ ｌ （ ｝ 以不是集 合 ， 　 　 　） 可 Ｐ 这是 罗素悖论　 的第 二个 重 要作用 ， 这就 告诉 人们 ， 在集 合论 的公　

理体系中 ， 映康托 集 合定 义 的概 括 原则 的公理 ， 反 　 其本 质 之一 就 是 排 除罗 素 悖 论 ， 以在 集 合论 的　 所 公理 系统 中 ， 用 “ 就 分离 公理 模式 ” 排 除罗 素　 来 悖论 ， 而在 朴素集 合论 中， 如康 托早 就 强调 的那　 正 样， 只有 当 是一个集合 时 ， 　 才能用 ｛ ∈ Ｘ ｌ （ ｝ 　 　Ｐ 　） 　 　 来 表示集 合 ． 　 罗素悖论更重要 的作 用 ， 在于 它的 出现 促进 了　 现代数学的一个重要分支 —— 数理逻辑 的发展 ， 它　 使得康托 的集合理论建立 在更坚 实 的基础之上 ， 数　 学 大厦的基础十分坚实而稳 固． 　

参 考文献　

１ 周 民强 ． 　 实变 函数 沧 ． 北京 ： 北京大学 出版社 ， ０ ，． ２ ４３１ Ｏ 　 ２ 普通逻辑编写 组 ． 　 普通逻辑 ． 上海 ： 上海人 民出版社 ， ０ ， ２ ２　 ０

４．０ １ ８ １ ５， ０ 　

象 的属性的命 题或条件 ， ｛ ｆ （ ｝ 则 　 　 　） 是一个集合 ． Ｐ 　 我们 来讨 论集合的某些 属性 ． 因为 自然数集 合　

３ 张锦文 ． 　 公理集 合论 导引 ． 北京 ； 科学 出版社 ， ９ ， ． ３ １ ９２１ 　 ９