希尔伯特-黄变换
大连理工大学硕士研究生校管课程
信号处理与数据分析
第18章
希尔伯特—黄变换
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2013年12月
2013/12/25 大连理工大学 1
内容概要
• §18.1 • §18.2 • §18.3 • §18.4 • §18.5 概述 固有模态函数（IMF）的概念 经验模式分解（EMD） 希尔伯特—黄变换 EMD与HHT的应用
§18.1 概述
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• 各类信号处理方法的特点
– 傅里叶变换：整体变换，不能表示随时间变化的频率， 只适用于分析线性平稳信号；
– STFT：可分析非平稳信号，但时—频窗是固定的，只 可分析缓变信号； – 小波分析：具有多分辨性，但是没有局部自适应性；
– 希尔伯特—黄变换（HHT）：是为分析非平稳信号而 提出的。
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• 希尔伯特-黄变换的概念
– 希尔伯特—黄变换（HHT）是20世纪末由N. E. Huang等
人首次提出的一种新的信号分析理论方法。 – 其主要创新：固有模态函数（Intrinsic Mode Function, IMF）和经验模态分解（Expierical Mode Decomposition, EMD）.
– 通过EMD，将信号分解成IMF之和，对每个IMF做
Hilbert变换，可以得到有意义的瞬时频率，从而给出频 率随时间变化的精确表达。 – HHT是一种新的自适应时频分析方法，消除人为因素。 分辨率高，时频聚集性好，适合非平稳非线性分析。
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§18.2 固有模态函数（IMF）的 概念
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• 固有模态函数（IMF）的概念
– IMF需满足以下两个条件：
• 在整个数据集中，极值点的个数与零交叉点的个数必须相 等或至多相差一个点。
• 在任意时刻，由极大值点构成的上包络和由极小值点构成 的下包络的均值为零。
– 其中第一个条件类似于高斯正态平稳过程的传统窄 带要求，而第二个条件可以保证由IMF求出的瞬时 频率有意义。 – 之所以称这样的分量为固有模态函数（又称为内在 模式分量），是因为它表示了信号中振荡的模式。
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• IMF举例
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• IMF举例的说明：
– 上页图(a)给出了典型的IMF。图中极大值点和极小 值点共13个，而过零点共13个，所以图示信号满足 条件（1）。上包络v1(t)和下包络v2(t)对t轴是对称 的，所以上下包络的均值为零，满足条件（2）。 – 图(b)给出了非IMF的示意图。图中上包络v1(t)与下 包络v2(t)显然不关于时间轴对称，其均值不为零； 极大值点与极小值点共有12个，而过零点只有7个。 这个信号不满足条件（1）和条件（2），所以它不 能作为IMF。
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• IMF的进一步说明：
– Hilbert变换中，瞬时频率定义为相位函数相对于时 间
的一阶导数。 – 一个信号只有在它关于信号均值局部对称下才能定 义瞬时频率。IMF表示了信号中振荡的模式，与信 号的瞬时频率密切相关。 – 对于每一个IMF，其瞬时频率可求。
– 实际应用中的信号大多不是IMF，因此用Hilbert变 换不易描述瞬时频率。
– 为了获得瞬时频率，需要将信号分解为IMF。 – IMF不再要求窄带，可以是幅度频率调制的。
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• 一个真实的IMF：
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§18.3 经验模式分解（EMD）
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• 经验模式分解（EMD）
– 是Huang等人引入的一个对信号进行分解，以获得 IMF的方法，又称为筛法； – 三个假设： • 信号至少有一个极大值点和一个极小值点； • 特征时间尺度有极值点间的时间推移定义； • 如果整个信号只包含曲折点而不包含极值点，可 以先微分一次或多次找到极值点，然后再所得到 的分量进行积分以得到最后结果。
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• EMD分解方法：【设原信号为 x(t ) 】
– (1) 确定x(t)的所有局部极大值点和局部极小值点。
– (2) 用三次样条分别对所有局部极大值拟合成上包 络 emax (t )，对所有局部极小值拟合成下包络 emin (t ) 。
– (3) 计算上下包络的均值：m(t ) [emax (t ) emin (t )]/ 2 。 – (4) 原信号减去均值m(t)，得到一个初步的模式函 数，ci (t ) x(t ) m(t ) 。
ci (t ) 是否满足IMF条件：若不满足，对 ci (t ) – (5) 判断 循环执行(1)—(4)。若满足，则 ci (t )为一IMF，ri (t ) x(t ) ci (t ) 为余项，对 ri (t ) 继续循环分解，当 ri (t ) 小于预先确 定的阈值或为单调函数时，过程结束。
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• EMD分解原理图
x( t )
r1 (t ) r2 (t ) ri (t ) rn (t )
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c1 (t )
c2 (t )
ci (t )
cn (t )
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EMD分解示意图
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• 信号的IMF表示
x(t ) ci (t ) rn (t )
i 1 n
–其中，ci (t ) 为各IMF分量， rn (t ) 为余项，是信号的趋 势项。
– 从分解过程中可以看出，EMD主要利用待分解信号 自身的特点，算法比较简单，自适应性强，而且不 需要对信号作任何假设，因而可以实现对多种不同 信号自适应的分解。
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• EMD分解举例
• 【例】复合信号的分解
–设信号由3各信号复合而成：（1）频率为2Hz、幅 度为0.5的正弦波；（2）频率为5Hz、幅度为0.5的 三角波；频率为0.3Hz、幅度为1的三角波。采样频 率为100Hz,供2200各样本点。试进行信号分解。
• 【解】
–分别采用EMD和小波分解对信号进行分解。结果见 下页：
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2 0
2 0 -2
• EMD分解举例
-2 200 400 600 2 0
-1
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200
(a)
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 (a) 0.2
-2
d
-2 2 0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 (b)
-0.2 200 400 600 800 1000 (b)
d
-3
d
200
400
600
2 0 -2 2 0
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 (c)
d
-2
0
-4
-5
d
-2 20 40 (f) 60
a
0
-5
EMD 分 解
0.2 0
0 -0.2 100 200 300 400 500 (c) 2 0 -2
1
小 波 分 解
-1
50 100 150 200 250 (d) 5 0 -5
20 40 60 80 100 120 140 (e)
2
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 (d)
20
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-2
40 (g)
60
600
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000大连理工大学 2200 (e)
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• 进一步说明
– EMD分解得到的第1个分量IMF1包含了原信号中 5Hz的三角波，然后依次提取出2Hz的正弦波和 0.3Hz的三角波。余项是信号的最低频率成分，表 示信号的中心趋势，可以看出其幅度几乎为零。3 个IMF分量与原信号的相关系数都超过了0.99。 EMD分解结果准确地反映了信号的自身的特点。 – 小波分解第5层的粗节出现了频率为0.3Hz的三角波， 而频率为2Hz的正弦波和5Hz的三角波均未独立出 现（选用其他小波基函数，效果没有明显改变）。 可见，小波分解的效果与EMD分解的效果相差很大。
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• EMD分解举例
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§18.4 希尔伯特—黄变换
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• 希尔伯特—黄变换（HHT）的概念
– 希尔伯特-黄变换是Huang等人在1998年提出经验模 式分解方法后，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert 谱分析方法。 – 美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名 为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔 伯特-黄变换。
– 其主要内容包括：EMD分解和希尔伯特谱。
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• HHT的主要内容
– 通过EMD分解，将信号分解成各IMF（一般为有限 数目）之和。 – 对每个IMF进行Hilbert变换，可以获得有意义的瞬 时频率，从而给出频率随时间变化的精确表达。 – 信号最终被表示为时频平面上的能量分布，称为 Hilbert谱。
– 进而还可以得到边际谱。
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• HHT的用途
– HHT是一种新的具有自适应的时频分析方法；
– 它可根据信号的局部时变特征进行自适应的时频分 解，消除了人为因素；
– 克服了传统方法中用无意义的谐波分量来表示非平 稳、非线性信号的缺陷； – 可得到很高的时频分辨率，具有良好的时频聚集性； – 非常适合对非平稳信号和非线性信号进行分析。
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• 希尔伯特谱
– 在利用EMD方法分解得到信号x(t)的各个IMF后， 可对每一个IMF分量 ci (t ) 做Hilbert变换，即 –
1 c ( ) H [ci (t )] i d π t
– ci (t )与 H [ci (t )] 为共轭复数对。构造解析信号 zi (t
) 为
zi (t ) ci (t ) H [ci (t )] ai (t )exp[ ji (t )]
– 式中，幅值 ai (t )和相位 i (t ) 分别为：
ai (t ) ci2 (t ) H [ci (t )]
2
i (t ) arctan
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H [ci (t )] ci (t )
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• 希尔伯特谱（续）
– 进一步可以求出瞬时频率 i (t ) 为
di (t ) i (t ) dt
– 这样原始数据x(t)可以表示为
n x (t ) Re ai (t ) exp[ ji (t )] i 1 Re{ ai (t ) exp[ j i (t )dt ]}
i 1 n
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• 希尔伯特谱（续2）
– 这里省略了残差 rn (t ) ，称为Hilbert谱，记
H (, t ) Re{ ai (t ) exp[ j i (t )dt ]}
i 1 n
– 进一步可得到Hilbert边际谱为
h( ) H (, t )dt
0 T
H (, t ) 精确地描述了信 – 式中，T表示总的数据长度， 号的幅值在整个频率段上随时间和频率的变化规律； h( ) 而 反映了在整个信号时间跨度上，每个频率成 分对幅值的贡献，即表示在整个时间跨度上统计学 意义上的累积幅度。
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• HHT的关键技术问题
– 曲线拟合问题：直接影响EMD分解的结果，从而影 响HHT的完善与应用。目前采用的方法：
• 三次样条插值法； • 分段幂函数法；
• 改进的三次样条插值法。
– 端点处理问题：有限长数据端点处理，采用的方法：
• 特征波法； • 包络延拓法； • 边界全波法；
• 波形匹配预测法
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§18.5 EMD与HHT的应用
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• 基于EMD的机械故障诊断
– 问题：由于齿轮磨损和疲劳裂纹等因素的影响，振 动信号的幅度和相位会发生变化，产生幅度和相位 调制。 – 故障齿轮的振动信号往往表现为回转频率对齿合频 率及其倍频的调制，在频谱图上形成以齿合频率为 中心、两个等间隔分布的边频带。 – 故齿轮故障诊断实际上是对边频带的识别。
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• 正常与故障齿轮信号的对比
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• 正常与故障齿轮信号的IMF对比
正常
裂纹
断齿
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• HHT在电力系统信号分析中的应用
– 问题：电力系统发生故障时的信号多为非平稳信号。 正常运行时，其负荷也是典型的非平稳信号。如图：
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– 对上页数据进行傅里叶分析和HHT分析，如图：
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• 分析说明：
– 从Hilbert谱可以清楚滴看到符合频率的连续性；
– 在一个周期内，频率约为1/96Hz，呈现很强的周期 性；
– HHT边际谱的分辨率明显高于傅里叶谱。
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• 希尔伯特谱与边际谱
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• 视觉诱发电位的提
取（EMD分解）
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– 视觉诱发电位的提取（ VEP提取的结果）
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– 频谱分析
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The End of This Section
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§6.3 时频分析方法在心音信号分析中的应用
• 心音信号 – 心音是心脏工作周期中各种震动的叠加。 • 心杂音 – 由心脏和邻近大血管内血液湍急和涡流引起的振动 音。 • 频率范围 – 0.1-600HZ，其中经常测量的范围为20-200HZ – 从信号处理的角度来看，心音信号是非平稳信号， 时频分析法是分析心音信号的重要工具。
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• 第一心音的时频分析
– 心音的时频分析可以揭示出心脏瓣膜及相关机构的材料特性、 心室压力等生理情况。心音的时频分析有助于心血管疾病的 早期诊断。 – 可以把第一心音的产生模型假设为一个阻尼振动模型。
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• 四种时频分析得到的时频谱
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• 心电信号及心跳间期（RRI）分析
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• HHT与EMD的应用（续）
– 视觉诱发电位的提取（混合信号）
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The End of This Chapter
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