多项式矩阵
多项式矩阵的若干问题
李峰
(数学与计算科学学院数学与应用数学专业)
指导老师 刘金旺
摘要
本文首先研究了多项式矩阵的等价与可逆的条件,然后研究了多项式矩阵的整除性与最大公因式, 互素的条件,再次给出了最小公倍式的一个重要定理:设A (x ) ,B (x ) 为n 阶多项式矩阵,并且A (x ) 与B (x ) 均非奇异 ,则 A (x ) 与B (x ) 必然存在左最小公倍式. 然后根据这个定理的证明过程,得出了求最小公倍式的方法. 最后讨论了多项式矩阵的分解问题.
关键词:多项式矩阵; 右相伴 ; 最大公因子 ; 最小公倍式 ; 分解
Some Questions of Polynomial Matrices
Li Feng
(Mathematics and Applied Mathematics, School of Mathematics and Computation Science)
Tutor : Liu Jinwang
ABSTRACT
First, this paper studies the equivalence of polynomial matrices and the condition of reversible, then studies the divisibility and the greatest common divisor of polynomial matrices and the condition of prime , then gives a important theorem: that is ,let A(x),B(x) be two n step polynomial matrices ,and that A(x)and B(x) are nonsingular ,then A(x) and B(x) are sure to exist a left least common multiple .Then according to the process of the proof of the theorem ,gaining how to compute the least common multiple .The last ,we discuss the question of factorization of polynomial matrices . Keywords : polynomial matrix; right associated; the greatest common divisor; the least common multiple ; factorization
前言
多项式矩阵是描述系统与控制数学模型的工具,多项式矩阵理论的发展,对于它在控制系统中的应用会有一定的益处. 所以很多学者对多项式与多项式矩阵有了一定的研究. 文献[1]对多项式如最大公因子,互素,整除等有了比较深入的研究. 总结出了许多关于多项式的相关定理; 如最大公因式存在定理:对于P[x ]中任意两个多项式f (x ) , g (x ) , 在P[x]中存在一个最大公因式d (x ) , 且d (x ) 可以表成f (x ) , g (x ) 的一个组合即有P[x]中多项式u (x ) , v (x ) 使d (x ) =u (x ) f (x ) +v (x ) g (x ) ; 给出了两个多项式的互素的判断定理:P[x]两个多项式f (x ) , g (x ) 互素的充要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使u (x ) f (x ) +v (x ) g (x ) =1. 文献[2][3]基于文献[1]的基础上,对多项式矩阵有了初步的探讨. 主要得出了以下结论:
1设A (x ) ,B (x ) 为n 阶多项式矩阵,则其右最大公因子D (x ) 存在,且可表为D (x ) =P (x ) A (x ) +Q (x ) B (x ) 其中P (x ) ,Q (x ) 为n 阶多项式矩阵.
2 设A (x ) , B (x ) 为多项式矩阵,则以下条件等价:
(1) A (x ) 与B (x ) 右互素;
(2) A (x ) 与B (x ) 的所有右最大公因子均为可逆多项式矩阵;
(3) 存在P (x ) 与Q (x ) ,使得P (x ) A (x ) +Q (x ) B (x ) =E .
3 设A (x ) , B (x ) 为n 阶多项式矩阵, 如A (x ) 与B (x ) 为互素多项式, 则A (x ) 与B (x ) 右互素. 4 可逆多项式矩阵与任意同阶多项式矩阵右互素.
5 多项式矩阵A (x ) 可逆的充要条件是A (x ) 的行列式为不等于零的常数.
本文在文献[1][2][3]的基础上进一步探讨多项式矩阵. 研究了多项式矩阵的等价与可逆的条件,然后研究了多项式矩阵的整除性与最大公因式与互素. 并且探讨了两个多项式矩阵左最小公倍式的求法
r s 与左最小公倍式的性质. 最后根据文献[1]中的多项式的标准分解式即f (x ) =cp 11(x ) p s (x ) (其r
中c 是 f(x)的首相系数, p 1(x ), p 2(x ), , p s (x ) 是不同的首相系数为1的不可约多项式, 而r 1, r 2, , r s 是正整数) 与λ-矩阵的等价定理[1],得出了多项式矩阵的分解定理.
正 文
1 预备知识
⎡a 11(x ) a 12(x ) a 1n (x ) ⎤⎢a (x ) a (x ) a (x ) ⎥
21222n ⎥的矩阵称为多项式矩阵,其中a (x ) ∈P [x ],P 表示形如A (x ) =⎢ij ⎢ ⎥⎢⎥⎣a n 1(x ) a n 2(x ) a mn (x ) ⎦
一个数域,P[x ]表示多项式环. 数字矩阵可以看作是特殊的多项式矩阵. 它的元素a ij (x ) 为零次多项式.
定义1 设A (x ) ,B (x ) 为n 阶多项式矩阵,如果存在n 阶多项式矩阵C (x ) 使A (x ) =C (x ) B (x ) ,称B (x ) 是A (x ) 的右因子,或称B (x ) 右整除A (x ) . 如果A (x ) ,B (x ) 互相右整除. 则称A (x ) ,B (x ) 右相伴. 同样可以定义左因子,右整除,及左相伴.
定义2 若对于n 阶多项式矩阵有A (x ) B (x ) =B (x ) A (x ) =E (E 为n 阶单位矩阵)则称A (x ) 可逆,B (x ) 为A (x ) 的逆矩阵,记为A (x ) .
定义3 设A (x ) 为多项式矩阵,如果A (x ) 的行列式A (x ) ≠0,则称A (x ) 为非奇异矩阵.
显然可逆的多项式矩阵一定非奇异.
定义4 设A (x ) ,B (x ) 为多项式矩阵,如果存在可逆的多项式矩阵P (x ) ,使得 -1
A (x ) =P (x ) B (x ) ,则称A (x ) 与B (x ) 左等价.
2 多项式矩阵的等价与可逆的条件
定理1 设A (x ) ,B (x ) 为n 阶多项式矩阵,如果A (x ) 与B (x ) 右相伴,而且至少有一个非奇异,则A (x ) 与B (x ) 左等价.
证明 不妨设A (x ) 非奇异,因为A (x ) 与B (x ) 右相伴,由定义知,存在n 阶多项式矩阵A 1(x ) ,
B 1(x ) 使得A (x ) =A 1(x ) B (x ), B (x ) =B 1(x ) A (x ) . 所以A (x ) =A 1(x ) B (x ) =A 1(x ) B 1(x ) A (x ) ,从而A 1(x ) B 1(x ) =E ,从而A 1(x ), B 1(x ) 均是可逆的多项式矩阵,这样A (x ) 与B (x ) 左等价.
定理2 设A (x ) ,B (x ) , C (x ) 为n 阶多项式矩阵,而且A (x ) = B (x ) C (x ) ,若A (x ) 非奇异,则B (x ) ,C (x ) 均非奇异,若A (x ) 可逆,则B (x ) 与C (x ) 均可逆.
证明 若A (x ) 非奇异,则A (x ) ≠0,所以B (x ) ≠0而且C (x ) ≠0,故B (x ) 与C (x ) 均非奇异. 若A (x ) 可逆,则A (x ) =k 而且k ∈P ,k ≠0,于是可得B (x ) C (x ) =k ,从而B (x ) , C (x ) 均为非零常数,故B (x ) 与C (x ) 可逆.
[1]定理3 多项式矩阵A (x ) 可逆的充要条件是A (x ) 的行列式为不等于零的常数.
3 多项式矩阵整除的性质
性质1 如果B (x ) 右整除A (x ) ;则多项式B (x ) 整除A (x ) .
证明 由等式A (x ) =B (x ) C (x ) 两端取行列式,得到多项式A (x ) =B (x ) C (x ) 即 B (x ) 整除A (x ) ,证毕.
性质2 A (x ) 与B (x ) 右相伴,则多项式A (x ) 与 B (x ) 至多相差一个比例因子.
证明 如果 A (x ) =0 或 B (x =0 由性质1知B (x ) =0或A (x ) =0,即这时
知A (x ) =C (x ) B (x ) ≠0,A (x ) =B (x ) =0. 如果A (x ≠0,由矩阵等式A (x ) =C (x ) B (x )
B (x ) ≠0. 同样由B (x ) ≠0知A (x ) ≠0. 又由右相伴性,有C (x ) 和C 1(x ) 适合A (x ) =C (x ) B (x ) ,B (x ) =C 1(x ) B (x ) 得A (x ) =C (x ) C 1(x ) B (x ) ,由A (x ) ≠0, 得到C (x ) C 1(x ) =C (x ) C 1(x ) =1,由C (x ) 与C 1(x ) 均为多项式,故C (x ) =k ≠0(k 为常数),C 1(x ) =B (x ) =C 1(x ) A (x ) =1A (x ) ,证毕. k 1,k
性质3 多项式矩阵U (x ) 右整除任意同阶多项式矩阵的充要条件是U (x ) 为可逆多项式矩阵.
证明 设 U (x ) 右整除任意同阶多项式矩阵,则U (x ) 右整除单位矩阵E ,即有V (x ) 使得V (x ) U (x ) =E . 即V (x ) 为可逆的多项式矩阵. 反之,设U (x ) 可逆,则对任意的多项式矩阵A (x ) 有A (x ) =(A (x ) U -1(x )) U (x ) ,即U (x ) 右整除A (x ) ,证毕.
4 多项式矩阵的最大公因子与互素
定义5 设 A (x ) , B (x ) 为多项式矩阵,如C (x ) 同时是A (x ) 与B (x ) 的右因子,则称C (x ) 为 A (x ) 与B (x ) 的右公因子.
定义6 设D (x ) 为 A (x ) 与B (x ) 的右公因子且A (x ) 与B (x ) 任意右公因子右整除D (x ) ,则D (x ) 称为A (x ) 与B (x ) 的右最大公因子.
显然,两个多项式矩阵的右最大公因子之间存在着右相伴的关系.
定义7 如果单位矩阵E 是A (x ) 与B (x ) 的一个右最大公因子,则称A (x ) 与B (x ) 右互素.
定理4[2]设A (x ) ,B (x ) 为n 阶多项式矩阵,则其右最大公因子D (x ) 存在,且可表为D (x ) =P (x ) A (x ) +Q (x ) B (x ) 其中P (x ) ,Q (x ) 为n 阶多项式矩阵.
定理5 设A (x ) , B (x ) 为多项式矩阵,则以下条件等价:
(1)A (x ) 与B (x ) 右互素;
(2)A (x ) 与B (x ) 的所有右最大公因子均为可逆多项式矩阵;
(3)存在P (x ) 与Q (x ) ,使得P (x ) A (x ) +Q (x ) B (x ) =E .
推论1 设A (x ) , B (x ) 为n 阶多项式矩阵, 若A (x ) 与B (x ) 为互素多项式, 则A (x ) 与B (x ) 右互素. 推论2 可逆多项式矩阵与任意同阶多项式矩阵右互素.
定理6 设A (x ) , B (x ) , C (x ) 为n 阶多项式矩阵, 如果A (x ) 与B (x ) 右互素, A (x ) 与C (x ) 右互素, 且A (x ) 与B (x ) 可交换,则A (x ) 与B (x ) C (x ) 右互素.
证明 因为A (x ) 与B (x ) 右互素,故存在多项式矩阵P (x ) 与Q (x ) 使P (x ) Q (x ) +R (x ) B (x ) =E [3]
上式两边同乘C (x ) ,得 P (x ) A (x ) C (x ) +R (x ) B (x ) C (x ) =C (x ) ,因为A (x ) 与B (x ) 可交换,可得P (x ) C (x ) A (x ) +R (x ) B (x ) C (x ) =C (x ) 故A (x ) 与B (x ) C (x ) 的任一右公因子也是C (x ) 的右公因子,因而也是A (x ) 与C (x ) 的右公因子,由于A (x ) 与C (x ) 右互素,故右公因子只是可逆的多项式矩阵,即A (x ) 与B (x ) C (x ) 的右公因子均为可逆的多项式矩阵,由定理5,A (x ) B (x ) 与C (x ) 右互素.
推论1如果A 1(x ), A 2(x ), , A m (x ) , B 1(x ), B 2(x ), , B n (x ) 都是n 阶多项式矩阵, 而A i (x ) 与B j (x ) 互素且可相互交换, i =1, , m , j =1,2, , n , 那么A 1(x ) A 2(x ) A m (x ) 与B 1(x ) B 2(x ) B n (x ) 右互素.
证明 因为A (1(x ), B 1(x ) 右互素,A 1x ),B 2(x ) 右互素,且A 1(x ) 与B 1(x ) 可交换,由定理6, 可知A 与B 右互素,又A 与B 右互素,同理,A 与B 右(((((((((1x )1x )1x )B 2x )B 3x )1x )1x )B 2x )3x )
互素. 依此继续可得:A 1(x ) 与B 1(x ) B 2(x ) B n (x ) 右互素. 令D (x ) =B 1(x ) B 2(x ) B n (x ) , 则A 1(x ) 与D (x )(x )右互素,类似可得A i (x ) 与D 右互素,同理,有A 1(x ) A 2(x ) A m (x ) 与D (x ) 右互素,证毕.
推论2 设A (x ) 与B (x ) 右互素, 且A (x ) 与B (x ) 可交换那么A (x ) B (x ) 与A (x ) +B (x ) 右互素.
证明 因为A (x ) 与B (x ) 右互素, 则存在多项式矩阵P (x ) , R (x ) 使得P (x ) A (x ) +R (x ) B (x ) =E
所以 P (x )[A(x )+B(x )]+[R(x )-P (x )]B(x )=E
R (x )[A(x )+B(x )]+[P(x )-R (x )]A(x )=E
故A (x ) +B (x ) 与B (x ) 右互素; A (x ) +B (x ) 与A (x ) 右互素; 由定理6,A (x ) +B (x ) 与A (x ) B (x ) 右互素, 证毕.
定理7 设A (x ) , B (x ) , C (x ) 为n 阶多项式矩阵, 如果C (x ) 右整除A (x ) B (x ) , A (x ) 与B (x ) 右互素, B (x ) 与C (x ) 可交换, 则C (x ) 右整除B (x ) .
证明 由于A (x ) 与C (x ) 右互素, 存在P (x ) , R (x ) 使P (x ) A (x ) +R (x ) C (x ) =E 上式右乘B (x ) 得
P (x ) A (x ) B (x ) +R (x ) C (x ) B (x ) =B (x )
又因为C (x ) 与B (x ) 可交换,故有P (x ) A (x ) B (x ) +R (x ) B (x ) C (x ) =B (x ) ,因为C (x ) 右整除上式
左端,故C (x ) 也右整除B (x ) ,证毕.
定理8 设A (x ) ,B (x ) 为n 阶多项式矩阵,D (x ) 为A (x ) 与B (x ) 的右最大公因子
则有
(1) 所有与D (x ) 左等价的多项式矩阵均是A (x ) 与B (x ) 的右最大公因子.
(2) 若D (x ) 非奇异,则A (x ) 与B (x ) 的全部右最大公因子均等价.
*D (x )证明 (1)设A (x ) =A 左等价则存在可逆矩1(x ) D (x ), B (x ) =B 1(x ) D (x ) ,再令D (x ) 与
(x )=L(x )D (x )阵L (x ) ,使得D 从而可得 *
A (x ) =(A 1(x ) L -1(x )) L (x ) D (x ) ,B (x ) =(B 1(x ) L -1(x )) L (x ) D (x ) ,
(x )所以D 为A (x )与B (x )的一个右公因子. 再设C (x ) 为A (x ) 与B (x )的任一右公因子,则
*(x )C (x ) 为D (x ) 的一个右因子,从而C (x ) 为D *(x ) 的右因子,于是D 是A (x )与B (x )的一个*
右最大公因子.
(x )(x )(2)设D 1(x ) 是A 与B (x )的任一右最大公因子,则D 1(x ) 与D 右相伴,又因为D (x ) 非
奇异. 由定理1 ,知D 1(x ) 与B (x ) 左等价.
(x )定理9 设A ,B (x ) ,C (x ) 为n 阶多项式矩阵,那么
(x )(x ) (1) 若D 是A 与B (x ) 的一个右最大公因子,则D (x ) R (x ) 为A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的一个右最大公因子.
(2)若D (x ) 为A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的一个右最大公因子,则必存在n 阶多项式矩阵D 1(x ) ,使
*(x )(x )(x )得D 并且当R 非奇异时D 1(x ) 为A 与B 的一个右最大公因子. (x )=D (R x )1x )(*
证明 (1)显然,D (x ) R (x ) 是A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的一个右公因子,另一方面, 由定理4知,存在=n 阶多项式矩阵P (x ) ,Q (x ) 使得D (x ) P (x ) A +(x ) Q (,x ) B x 从而D (x ) R (x ) =P (x ) A (x ) R (x ) +Q (x ) B (x ) R (x ) , 所以A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 任一右公因子均是D (x ) R (x ) 的右因子,于是D (x ) R (x ) 是A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的一个右最大公因子.
(2) 设D *(x ) 为A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的一个右最大公因子,则存在n 阶多项式矩阵A 1(x ) 与
***使得A (x ) R (x ) =A B (1x )1(x ) D (x ), B (x ) R (x ) =B 1(x ) D (x ) ,同时存在n 阶多项式矩阵P (x ) 与
***Q (x )使得D *(x ) =P (x ) A (x ) R (+x ) *Q (x ) B (x ) =R (x ) *(P (+x ) A (x ) Q (x ,) B 再(x 令) ) R (x )
(x )(x )与D 的任一右公因子皆为D 1(x ) 的右因子. 又因D 1(x ) =P *(x ) A (x ) +Q *(x ) B (x ) ,则A
(x ),所以A (x ) R (x ) =A 非D *(x ) =D 1(x ) D 1(x ) R (x ), B (x ) R (x ) =B 1(x ) D 1(x ) R (x ) ,若R 1(x ) R (x )
A (x )奇异,则A (x ) =A 与B (x )的一个右公因子,于1(x ) D 1(x ), B (x ) =B 1(x ) D 1(x ) 从而D 1(x ) 为
(x )是D 1(x ) 为A 与B (x )的一个右最大公因子,证毕.
5 多项式矩阵的最小公倍式
5.1 多项式矩阵的左最小公倍式的求法
(x )B (x )(x )定义8 设A ,为n 阶多项式矩阵. 如果存在n 阶多项式矩阵N (x ) 使得A 与B (x )
(x )均为N (x ) 的右因子. 则称N (x ) 为A 与B (x )的一个左公倍式;如果存在n 阶多项式矩阵M (x )
(x )适合以下两个条件,则称M (x ) 为A 与 B (x )的一个左最小公倍式:
(x )(x )(1)M (x ) 为A 与B (x )的一个左公倍式,(2)若N (x ) 为A 与B (x )的任一个左公倍式,
则M (x ) 为N (x ) 的一个右因子.
显然两个多项式矩阵的任两个左最小公倍式均右相伴. 类似的,可以定义多项式矩阵的右最小公倍式.
(x )(x )(x )定理10 设A ,B (x )为n 阶多项式矩阵,并且A 与B (x )均非奇异 ,则A 与
B (x )必然存在左最小公倍式.
(x )证明 首先,证明A 与B (x )的左公倍式必存在.
(x )=⎢作2n ×n 矩阵H ⎡A(x)⎤(x )与B (x )非奇异,则H (x ) 的秩r (H (x )) =n . 于是存在⎥,由于A -B (x ) ⎣⎦
⎡C (x ) ⎤V (x ) 2n 阶可逆矩阵U (x ) 与n 阶可逆矩阵使得U (x ) H (x ) V (x ) =⎢⎥,其中C (x )为n 阶多项式O ⎣⎦
⎡C (x ) ⎤-1⎡D (x ) ⎤(x )矩阵. 因此U (x ) H (x ) =⎢为n 阶多项式矩阵. 现将 ⎥V (x ) =⎢O ⎥其中D O ⎣⎦⎣⎦
(x ) ⎡U 11U (x ) 分块成⎢(x ) ⎣U 21U 12(U 22(x ) ⎤,其中U ij (x ) 为n 阶多项式矩阵,i , j =1, 2. 那么⎥x ) ⎦
12(x ) U ⎡U 11U (x ) H x (=) ⎢(x ) U ⎣U 21x (⎤) (⎤) ⎡A (x ) ⎤⎡D x ⎥⎢⎥=⎢O ⎥. x () -B (x ) ⎦⎣⎦22⎦⎣
(x )因此U 21(x ) A (x ) -U 22(x ) B (x ) =O . 记M . 则M (x ) 为A 与(x )=U 21(x )(A x )=U 22(x )(B x )
B (x )的一个左公倍式.
其次,证明U 21(x ) 与U 22(x ) 左互素. 设D 为U 21与U 22的一个左最大公因子,则存在((x )(x )0x )
U 21' (x ) 与 U 22' (x ) 使得U 21(x ) =D 0(x ) U 21' (x ), U 22(x ) =D 0(x ) U 22' (x ) . 于是
O ⎤⎡U 11(x ) U 12(x ) ⎤⎡U 11(x ) U 12(x ) ⎤⎡E U (x ) =⎢⎥=⎢O D (x ) ⎥⎢U ' (x ) U ' (x ) ⎥,又因为U (x )可逆,由定理2,知U (x ) U (x ) 0⎣2122⎦⎣22⎦⎦⎣21
⎡E ⎢O ⎣O ⎤可逆,从而U 21与U 22左互素. (x )(x )D 0(x ) ⎥⎦
(x )最后,证明M (x ) 为A 与B (x )的一个左最小公倍式.
(x )设G (x ) 是A 与B (x )任一个左公倍式,则存在n 阶多项式矩阵X (x ) ,Y (x ) 使得
G (x ) =X (x ) A (x ) ,G (x ) =Y (x ) B (x ) .
(x )为M (x )与G (x )的一个右最大公因子. 则存在n 阶多项式矩阵M 现设D 与G , ((1x )1x )
使得M (x ) =M 1(x ) D *(x ), G (x ) =G 1(x ) D *(x ) .
由定理9(2)知存在n 阶多项式矩阵D 1(x ), D 2(x ) 使D *(x ) =D 1(x ) A (x ) =D 2(x ) A (x ). 所以
*U 21(x ) A (x ) =M (x ) =M (x ) D (x ) =M D (x ) A (x ) 11(x ) 1
*U 22(x ) B (x ) =M (x ) =M =M x ) 1(x ) D (x ) 1(x ) D 2(x ) B (. *
由此可得U 21(x ) =M 1(x ) D 1(x ), U 22(x ) =M 1(x ) D 2(x ) . 所以M 1(x ) 为U 21(x ) 与U 22的一个左因(x )子. 又因为U 21(x ) 与U 22(x )左互素,所以M 1(x ) 可逆. 因此
G (x ) =G 1(x ) D *(x ) =(G 1(x ) M 1-1(x )) M (x ), 于是M (x ) 为A (x ) 与B (x ) 的一个左最小公倍式. 证毕.
上面定理的证明实际上提供了一个具体求两个多项式矩阵左最小公倍式的方法. 具体步骤如下:
⎡A(x)E O ⎤作2n ×3n 矩阵(H (x ),E 2n )=⎢⎥, 那么 -B (x ) O E ⎣⎦
⎡U (x ) U 12(x ) ⎤⎡A (x ) E O ⎤⎡D (x ) U 11(x ) U 12(x ) ⎤U (x )(H (x ), E 2n ) =⎢11=⎢⎥⎥⎢⎥⎣U 21(x ) U 22(x ) ⎦⎣-B (x ) O E ⎦⎣O U 21(x ) U 22(x ) ⎦,而U (x )可
⎡D (x ) ⎤逆,它可以表为有限个初等多项式矩阵的乘积. 即用初等变换把H (x )化成⎢⎥时,E 2n 变成可O ⎣⎦
逆矩阵U (x ) =⎢
小公倍式. ⎡U 11(x ) U 12(x ) ⎤, 此时U 21(x ) A (x ) =U 22(x ) B (x ) 即为A (x )与B (x )的一个左最⎥⎣U 21(x ) U 22(x ) ⎦
⎡x 2
例1 求A (x ) 与B (x ) 的一个左最小公倍式,其中A (x ) =⎢⎣x
⎡A (x ) E O ⎤解 对矩阵⎢⎥作初等行变换得: -B (x ) O E ⎣⎦
⎡x 2x -1⎢x ⎢x
⎢-1-x ⎢⎣-x -1-x 1000⎤⎡1⎥⎢0100⎥有限次初等变换⎢0−−−−−→⎥⎢00010⎥⎢0001⎦⎣0x ⎤x -1⎤⎡1, B (x ) =⎥⎢x +1x ⎥. x ⎦⎣⎦-1⎤1-1x +1x 0⎥⎥ 220-x x +x -1x +11⎥⎥00x 1x -1⎦00-10
⎡-x x 2+x -1⎤⎡x 2+11⎤设U (x ) =⎢⎥, V (x ) =⎢⎥, x x -1⎦⎣0⎦⎣1
⎡x 2+x x 3⎤则有U (x ) A (x ) =V (x ) B (x ) =⎢2为A (x ) 与B (x ) 的一个左最小公倍式. 2⎥x ⎦⎣x
5.2 多项式矩阵的左最小公倍式的性质
与右最大公因子类似,左最小公倍式也有以下性质.
B (x ) 为n 阶多项式矩阵并且A (x ) 与B (x ) 均非奇异,M (x ) 为A (x ) 与B (x ) 的定理11 设A (x ) ,
一个左最小公倍式,则有
(1)所有与B (x ) 左等价的多项式矩阵均为A (x ) 与B (x ) 的左最小公倍式;
(2)若M (x ) 非奇异,则A (x ) 与B (x ) 的所有左最小公倍式均左等价.
证明 (1)设N (x ) 是与M (x ) 左等价的任一矩阵,则存在可逆的n 阶多项式矩阵L (x ) ,使得
N (x ) =L (x ) M (x ) . 显然N (x ) 为A (x ) 与B (x ) 一个左公倍式. 因为M (x ) 为A (x ) 与B (x )的一个左
最小公倍式,故M (x ) 为A (x ) 与B (x ) 的任一左公倍式的右因子. 又因为M (x ) =L -1(x ) N (x ) ,故
N (x ) 为A (x ) 与B (x ) 任一左公倍式的右因子. 于是N (x ) 为A (x ) 与B (x ) 的一个左最小公倍式.
(2)
A (x ) 与B (x ) 任两个左最小公倍式均右相伴,因为M (x ) 非奇异,由定理1知,A (x ) 与
B (x ) 的所有左最小公倍式均左等价. 证毕.
定理12 设A (x ) ,B (x ) ,R (x ) 为n 阶多项式矩阵且均非奇异,则有
(1)若M (x ) 为A (x ) 与B (x ) 的左最小公倍式,则M (x ) R (x ) 为A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的一个左最小公倍式.
(2)若N (x ) 为A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的一个左最小公倍式且N (x ) 非奇异,则存在N 1(x ) 使得并且N 1(x ) 为A (x ) 与B (x ) 的一个左最小公倍式. N (x ) =N 1(x ) R (x ),
证明 (1)设M (x ) 为A (x ) 与B (x ) 的一个左最小公倍式,则存在n 阶多项式矩阵U (x ) ,V (x ) 使得M (x ) =U (x ) A (x ) ,M (x ) =V (x ) B (x ) ,故
M (x ) R (x ) =U (x ) A (x ) R (x ) , M (x ) R (x ) =V (x ) B (x ) R (x ) .
因此M (x ) R (x ) 为A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的一个左公倍式.
现设G (x ) 为A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 的任一左公倍式,则存在n 阶多项式矩阵X (x ) ,Y (x ) 使得
G (x ) =X (x ) A (x ) R (x ) ,G (x ) =Y (x ) B (x ) R (x ) . 令G 1(x ) =X (x ) A (x ), 则G (x )=G (R x )。1x )(
因为R (x ) 非奇异 ,所以G 1(x ) =Y (x ) B (x ), 故G 1(x ) 为A (x ) 与B (x ) 的一个左公倍式. 因此M (x ) 为
G 1(x ) 右因子. 于是M (x ) R (x ) 为G (x ) 的右因子. 由定义知M (x ) R (x ) 为A (x ) R (x ) 与B (x ) R (x ) 左最
小公倍式.
(2)设N 0(x ) 是A (x ) 与B (x ) 的一个左最小公倍式,则由(1)知N 0(x ) R (x ) 是A (x ) R (x ) 与
B (x ) R (x ) 的一个左最小公倍式. 由定理11(2)知,N (x ) 与N 0(x ) R (x ) 左等价. 即存在可逆的n 阶多
项式矩阵L (x ) 使得N (x ) =L (x ) N 现令N 1(x ) =L (x ) N 0(x ) ,则N (x ) =N 且0(x ) R (x ). 1(x ) R (x ), . 再由定理11中(1)知,N 1(x ) 是A (x ) 与B (x ) 的一个左最小公倍式. N 1(x ) 与N (0x )
6 多项式矩阵的分解
为了方便研究多项式矩阵的分解问题,首先引入素多项式矩阵的概念.
定义9 设A (x ) 为n 阶多项式矩阵,并且A (x ) 的次数∂(A (x ) ) ≥1. 如果任给n 阶多项式B (x ) ,
C (x ) ,由A (x ) =B (x ) C (x ) 可推出B (x ) 或C (x ) 可逆,则称A (x ) 为素多项式矩阵.
定理13 设A (x ) 为n 阶多项式矩阵,则A (x ) 为素多项式矩阵的充要条件为A (x ) 的标准形为
diag (1, ,1, a (x )), 其中a (x ) 为P[x]中的不可约多项式.
证明 (1)必要性. 设A (x ) 是素多项式矩阵. 由于A (x ) 的次数∂A (x )≥1, 则A (x ) 非奇异,所
以
由
文
献
[1]
知
,
存
在
可
逆
矩
阵
P (x )
与
Q (x )
,使得
∣d i +1(x ), 且d i (x ) 为首一多项式,P -1(x ) A (x ) Q -1(x ) =diag (d 1(x ), d 2(x ), , d n (x )). 其中d i (x )
i =1, 2, n , -1. 这样,A (x ) =P (x ) diag (d 1(x ), , d n (x )) Q (x ) . 若∂(d n -1(x )) ≥1, 则
∂(d n (x))≥1,设B (x ) =P (x ) diag (d 1(x ), , d n -1(x ),1), C (x ) =diag (1, ,1, d n (x )) Q (x ) ,
那么A (x ) =B (x ) C (x ) . 此时B (x ) =P (x ) d 1(x ) d n (x ), C (x ) =d n (x ) Q (x 显然B (x ) 与C (x ) 均不可逆. 这与A (x ) 为素多项式矩阵矛盾. 所以d 1(x ) = =d n -1(x ) =1. 因此
A (x ) =
P (x ) d i a (1g n , , 1d , 最后来证明x (Q x d n (x ) 不可约,若d n (x ) 是P[x]中的可约多项式,
≥1, ∂(g(x))≥1. 则可设d n (x ) =f (x ) g (x ), 且∂(f(x))
,1, g (x )) Q (x ), 现令B (x ) =P (x ) diag (1, ,1, f (x )), C (x ) =diag (1,则A (x ) =B (x ) C (x ) . 显然B (x ) 与C (x ) 均不可逆,同样,与A (x ) 为素多项式矩阵相矛盾.
(2)充分性. 若A (x ) 的标准形为diag (1, ,1, a (x )), 其中a(x)不可约多项式,则A (x ) =k (a (x )), 其
(x )=B (x )C (x )中k ∈P 且k ≠0. 若A 则B (x ) C (x ) =A (x ) =k (a (x )), 而k (a (x )) 仍是P [x ]中
的不可约多项式,所以B (x ) 与C 中必有一个非零常数,即B (x ) 与C (x ) 中必有一个可逆. 从而 (x A (x ) 为素多项式矩阵. 证毕.
定理14 设A (x ) 为n 阶多项式矩阵,并且∂(A (x ) ) ≥1. 则A (x ) 可以分解为如下的形式:
a 2
A (x ) =P (x ) A 1a 1(x ) A 2(x ) A k a k (x ) Q (x ), 其中A i a i (x ) 为素多项式矩阵,a i 是正整数,i =1,2, , k .
证明 存在可逆矩阵P(x)与Q (x ) ,使得P -1(x ) A (x ) Q -1(x ) =diag (d 1(x ), d 2(x ), , d n (x )) ,其中
, n-1. 记D i (x ) =diag (1, 1, d i (x ),1, ,1), 对于每一d i (x ) ⎢d i +1(x ) 且d i (x ) 为首一多项式,i=1,2,
个i ,1≤i ≤n , 设d i (x ) =p i 1i 1(x ) p i 2i 2(x ) p it i it i (x ) 为d i (x ) 在
a
a
a
P[x]中的标准分解式
A ij (x ) =diag (1, ,1, p ij (x ),1, ,1). j =1,2, , t i , 则A ij (x ) 是素多项式矩阵,并且
a i 2it i i 1D i (x ) =A i a 1(x ) A i 2(x ) A it i (x ). 又A (x ) =P (x ) D 1(x ) D 2(x ) D n (x ) Q (x ), 于是A (x ) 具有如下形
k 12式:A (x ) =P (x ) A (x),A2(x), , A k (x)是素多项式矩阵. 证毕. 1(x ) A 2(x ) A k (x ) Q (x ), 其中A 1
a
a a a
7 结论
本文主要研究了多项式矩阵的等价与可逆的条件以及多项式矩阵的整除性,右最大公因子,互素与左最小公倍式的性质. 特别是给出了求两个多项式矩阵左最小公倍式的方法. 最后得出了多项式矩阵的分解定理. 其中主要结果如下:
1 设A (x ) , B (x ) , C (x ) 为n 阶多项式矩阵, 如果A (x ) 与B (x ) 右互素, A (x ) 与C (x ) 右互素, 且
A (x ) 与B (x ) 可交换,则A (x ) 与B (x ) C (x ) 右互素.
2 如果A 1(x ), A 2(x ), , A m (x ) , B 1(x ), B 2(x ), , B n (x ) 都是n 阶多项式矩阵, 而A i (x ) 与B j (x ) 互素且可相互交换, i =1, , m , j =1,2, , n , 那么A 1(x ) A 2(x ) A m (x ) 与B 1(x ) B 2(x ) B n (x ) 右互素.
3 设A (x ) 与B (x ) 右互素, 且A (x ) 与B (x ) 可交换那么A (x ) B (x ) 与A (x ) +B (x ) 右互素. 4设A (x ) , B (x ) , C (x ) 为n 阶多项式矩阵, 如果C (x ) 右整除A (x ) B (x ) , A (x ) 与B (x ) 右互素,
B (x ) 与C (x ) 可交换, 则C (x ) 右整除B (x ) .
(x )(x )(x )5设A ,B (x )为n 阶多项式矩阵,并且A 与B (x )均非奇异 ,则A 与B (x )必
然存在左最小公倍式.
6设A (x ) 为n 阶多项式矩阵,并且∂(A (x ) ) ≥1. 则A (x ) 可以分解为如下的形式:
a 2
A (x ) =P (x ) A 1a 1(x ) A 2(x ) A k a k (x ) Q (x ), 其中A i a i (x ) 为素多项式矩阵,a i 是正整数,i =1,2, , k .
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 《高等代数》[M].高等教育出版社,1998,8-342. [2] 杨昌兰. λ[3] 杨昌兰. λ
- 矩阵的最大公因子[J].曲埠师范大学学报.1997. (2):53-63. -矩阵的若干性质[J].山东轻工业学院学报1997.11(1):61-63.
[4] 懂增福. 《矩阵分析教程》[M].哈尔滨工业大学出版社,2003,59-61.
[5] Wang Mingsheng.C.P.Kwong.On multivariate polynomial matrix factorization problems [J].Math.control Signals systems(2005)17:277-311.
致谢
经过本学期的近四个月的努力,我终于可以完成我有生以来最重要的毕业论文. 它可以说是我大学四年所学知识的一个展台,也可以说是为我的大学生活划上圆满句号的标志. 在大学四年的学习生涯中,我的老师们给予我孜孜不倦的教诲,我的同学在学业上与我共同成长,共同进步. 我非常感谢他们.
在本论文的撰写过程中,我能够从一开始的茫然不知所措到现在此论文的出稿,得益于我的指导老师刘金旺教授在百忙之中抽出大量的宝贵时间为我的论文的撰写进行详细而周密的指导,使我得以顺利的完成这一重要的任务. 现在,看看自己的论文正稿,我百感交集. 我的老师为我付出了无私的师爱,我唯有在今后的人生道路上,更加的努力,争取在学术上有所成就,这样才能算是对老师最好的回报. 最后,我再次向我的指导老师刘金旺教授和帮助过我的同学们表示由衷的感谢和诚挚的祝福!