重大2013春矩阵论考题及答案

名姓 密 号学 ） （ 别类 封 ）域领（业专 线 院学校训：耐劳苦、尚俭朴、勤学业、爱国家 重庆大学研究生试卷（2011版） 第 1 页 共 3 页

重庆大学硕士研究生《矩阵论》课程试卷

(9) 当A为列满秩实矩阵时，则AAT(AAT)1。 (× ) (10) 若n阶矩阵A有n个两两不相交的圆盘，则A可相似对角化。 ( v) 2012 ~2013 学年 第 二 学期（春）

二、计算题（共45分）

开课学院： 数学与统计 课程编号：G0601 考 试日期：

1. （10分）设K[x]3

的两基为：

考试方式： 考试时间： 120 分钟

(I)f1(x)1,f2(x)1x,f3(x)1xx2,f4(x)1xx2x3

(II) g1(x)1x2x3,g2(x)xx2x3,g3(x)1xx2,g4(x)1xx3 求(1) 由基(I)到基(II)的过渡矩阵；

(2) 求基(I)和基(II)下有相同坐标的全体多项式。 解：（1）由简单基1,x,x2,x3到基（I）和基（II）的过渡矩阵为

一、判断题。(每题3分，共30分)

11111

011

(1) 平面上全体向量构成的集合，按通常的向量加法及如下定义的数乘运算

C1111111

k0，

在实数域上构成线性空间。 110

 ， C21110

(2) 全体正实数构成的集合，其加法和数乘定义为，k0，则

1

1

101



该集合在实数域上构成的线性空间是1维的。 （v 故由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵为

(3)若u110x1x,vy1，则(u,v)x201y12yx1y21是R中的内积。 ( ×) 2 CC11001

1C2

n001 （5分） (4) 在矩阵空间Rn中，定义XBXC其中B,C为给定的矩阵，则是线性1变换。1

101（v ）

(5) 平面上逆时针旋转角的线性变换在基(1,0),(0,1)之下的矩阵表示为

（2）设fxKx3

在基（I）和基（II）下的坐标分别为1,T2,3,4，1,2,3,4T，则有C且，即有cossin

IC0，该齐次方程组的通解为k0,0,T

sin

cos

。 （v 1,0,k且不为零.于是，在基（I）和基（II）下有相同坐标的全体多项式为

(6) 任何一种矩阵范数必有与之相容的向量范数。 ( v )

fxg1x,g2x,g3x,g4xkg3x （5分）(7) A为方阵，则eA1A12!A21nkkxkx2 n!

A。

(8)设矩阵A1,2,,n，A经过有限次行初等变换变为B1,2,,n,

则k1,k2,k3与k1,k2,k3有相同的线性相关性，其中ki{1,2,,n}。 ( v )

命

题（组题）人：

审

题人：

命题时间：

研

究生院制

122.（15分）假定A240111



1215,b.

2022

24210

et342

3.（20分）已知A231,b(t)0。 

2222et

求（1）AF,Am,A1,(A);（2）eAt；（3）用矩阵函数的方法求

(1) 求矩阵A的满秩分解； (2) 求A； (3) 判断方程组Axb是否相容？求其最小范数解或极小最小二乘解（要求指出所求的是哪种解）。

1

01

10解：（1）A行01011

000

1

，A

20201011CD 0

000

420101

211（2）D1TT1T31113RD(DD)D12521 12

C1T1T25101

T

11020L(CC)C105C52142

0102AD1C1

153106RL25 （01

025分） 52104

11（3）AAbA45



1b,故Axb有解。 32

10

1

最小范数解为A

b4. （5分） 1

3

d

dt

x(t)Ax(t)b(满足初始条件t)

x(0)(0,1,0)T的解。 解：（1

AFAm12,A19,f()EA(1)2得10,21

5分） 所以(A)1;（5分） （2）又A(A-E)=0，所以m()(。1设eta0a1得

1et

a0a11e2taa01 0a1t

2a1e1

eAt(EA)etA （5分）

（3） x(t)eAtx(0)eAtt0eA

b()d42e431

teAtt0ds220

2

 42et43tet1（10分） 0

222

（

三、综合题（共25分）

1.（15分） 设A(aij)

Rmn，定义实值函数Aaij

i,j

911

2.（10分）已知A1i1，其中i试用圆盘定理估计矩阵A的特

113

（1）证明A为矩阵范数。（2）运用柯西-施瓦兹不等式证明A与向量2-范数相容。

证明：（1）非负性 若A

0有Aaij>0。

i,j

征值分布范围，适当选取一个对角阵B（其元素bii{1,2,5,10},i1,2,3）使得矩阵DBAB1的特征值在不相交圆盘中。

解：（1） 由矩阵盖尔圆的定义，易求A得三个盖尔圆分别为：

G1: |z9|2; G2: |zi|2; G3: |z3|2;。（5分） 922



（2）选B=diag(2,1,1)，DBAB11/2i1。（4分）

1/213

若A

0有Aaij=0。

i,j

齐次性kAkaiji,j

aijkA。

i,j

三角不等式ABaijbijmaxaijmaxbijAB。

i,j

i,j

i,j



G1: |z9|4; G2: |zi|1.5; G3: |z3|1.5（1分）

相容性 设B为np的矩阵

n

ABaikbkjaikbkjnmaxaijmaxbij

i,ji,ji,ji,j

k1k1

aijbipAB

i,j

n

（8分） （2）设x(x1,x2,,xn)T

m

n

2

mnnn22

aijxjaijxji1j1i1j1j1m

2

Ax2aijxj

i1

j1

2

nmn22

aijxjmnmaxaij

i,j

i1j1j1



2



n2

xjAj1

（7

2

x

22