虚功原理(物理竞赛)

§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概

念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：∑F i ⋅δr i =0。虚功

原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面

接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端

的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，

要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力

F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接

触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个

问题。这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚

地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。②找主动力：作用在我们所选取的系

统上的主动力有几个？有两个。一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用

在杆子的质心上。因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。这种方法既方便而又不容易搞错。在列方程时必须要注意这个

问题。∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B

取正，∴此

力的虚功为负的，即：-F δx B -mg δy C =0……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。我们从图上很容易得出：

x B =l cos α, y C =2cos αδα，sin α。则δx =-l sin αδα，对y C 变分则有：δy C =2

将它们代入①式就可得到：[Fl s i αn δ-c l o αs δ]=α0→2m g

，∵δα是独立的，可以使它不等于零。∴δα之前的(Fl sin α-1

mgl cos α) δα=0

乘数应该等零，故有：Fl sin α-1。于是就可解得题目所要求的结果mgl cos α=0

为：F =α。对于这个问题，如果按位移的实际方向与力的方向确定虚功正2mgctg

负的话，将会得出这样的结果，设想杆子在F 的作用下向里有一虚位移，∵F 的

方向与虚位移方向相同，∴F 是作正功的，应该为正的。而重力m g 的方向与力

的作用点的位移δy C 的方向相反，∴重力的功是负的，于是得到的结果：

对这个简单例子的求解主要是说明了应用虚功原理的解F δx B -mg δy C =0是错的。

题步骤。由上面的求解过程可以看出，应用虚功原理解题的步骤一般是：第一步先找出所要考虑的质点组或者刚体，也就是1、找出所要研究的系统。2、找出系统所受的主动力。3、列出虚功方程。列出的虚功方程中的虚位移里的坐标不一定要独立，虚功的正负号很重要，要正确判断。我们还是以所选坐标的正方向为标准，也就是上面解题时所采用的方法。另外还得注意：计算虚功的参考系必须是静止的。4、虚功方程列出之后，要把方程中的虚位移化成独立的变量。其方法有两种：一种是先找出坐标间的关系，再微分得出，这种方法就叫分析法，我们上面的例子采用的就是这种方法。另外一种是观察法，根据观察直接找出虚位移之间的关系。这种方法只在某些简单的情况下可行。5、最后就是将找出的虚位移之间的关系代入虚功方程求解出最后的结果。应用虚功原理解题的步骤一般来说大致是这样的。当然对具体的题目要作具体的处理，并不一定要这样呆板，可灵活地去做，对我们初学者来说，有据可依总是有益处的。当然这个例子也可以用牛顿力学中的静力平衡方程很容易地解出……。下面我再举一个应用虚功原理求约束力的例子。

例2、如图中所示的框架，它是由四根重量和长度都相

同的杆子光滑铰接而成的四边形框架，中间B 、D 两端又光

滑铰接一轻杆，A 端是挂在天花板上的，已知框架上每一根

秆子的重量为p ，长度为 ，试求平衡时此轻杆所受之力？

解：可见这个例子要我们求的是轻杆两头所受的力。为

此我们可以把B 、D 撤消，撤消杆子也就等于撤消约束。（在

框架的B 、D 两）将约束去掉而代之的是作用在框架B 、D 两处向外的作用力T (如下图所示) 并使系统仍处于原来的平衡状态，这里的系统自然是指这个平行四边形框架。此时我们就可以将去掉的约束而代之的两个作用力T 看作为系统所受的主动力，而其他的约束仍然是理想的。于是就可应用虚功原理求出这两个力。这两

个力其实就是杆子对框架的约束压力，求出了它当然也

就求出了杆子所受的力。现在我们对所讨论的问题和系

统都已明确，于是就可着手找出系统的主动力。对框架

这个系统除了受到T 这两个主动力之外，还有作用于各

杆上的四个重力，这四个重力的合力可用作用在框架对

称中心E 点的4P 代替。在这里坐标就取垂直对称轴向

下为Y 轴的正向，A 为坐标原点，水平向右为x 轴的正

方向。根据对称性可以直接写出系统的虚功方程为：2T δx D +4P δy E =0, 由图可得：x D =l sin α, y E =l cos α, ∴δx D =l cos αδα, δy E =-l sin αδα. 代入虚功方程中去，得：(2Tl cos α-4pl sin α) δα=0，∴T =2ptg α。这种把约束去掉，代之以力而求约束力的方法是一种重要的方法，我们必须要掌握。上面我们所举的两个例子，所考虑的系统都是刚性系统，如果我们碰到要考虑的系统不是刚性时，不要忘了计算主动内力所作的虚功。例如：将一弹簧圈放在光滑的球面上，求弹簧圈静止时的位置，此时弹簧圈就不是一个刚体，它内力的虚功不等于零。此时必须要把内主动力的虚功计算进去[如果把弹簧圈割开使内力暴露出来而转化为外力，割开后的弹簧圈可看作刚体处理] 。§3、达朗伯----拉格朗日方程

以上我们所研究的是分析静力学问题，现在我们就开始转到对分析动力学问题的研究。研究分析动力学的出发点仍然是牛顿第二运动定律。达朗伯原理从牛顿第二定律可以直接推出达朗伯原理，而达朗伯原理与虚功原理相结合就可得到分析动力学的普遍方程即——达朗伯--拉格朗日方程。现在我们就按这条路径来走。假设由n 个质点组成的力学体系，根据牛顿第二定律可得，质点组

中的第i 个质点的动力学方程就是F i +R i =m i a i ,i=1,2……n ，将m a i 移到等式的

左边成为：F i +R i -m i a i =0……*，这样的形式。这样移一下项得出来的方程式

有什么意义呢？在数学上看来，是没有多大意义的，只不过是进行了一次移项手续而已，但在我们物理学上来看物理意义就大不相同了。∵移项前它是个动力学

方程，而移项后，如果把-m a i 也看作力，那么它就成了一个平衡方程，其实-m a i 正

是我们已经熟悉的惯性力。于是这个方程也就表明了作用在一质点组中每个质点上的主动力，约束力和惯性力三者保持平衡，这种平衡关系人们就称它为达朗伯原理。要注意达朗伯原理的坐标系是选在与质点没有相对运动上的，引入达朗伯原理的意义在于选择与质点无相对运动的坐标系以后，只要加上惯性力，使得原来的动力学的问题就可变成静力学问题，这种方法也就叫作动静法。将动力学问题变成静力学问题，它不仅为我们多提供了一条解决动力学问题的途径。而且一般来讲，静力学问题要比动力学问题简单，因此将动力学问题变成静力学问题还会给解题带来方便。工程上特别喜欢用静力学方法……我们由达朗伯原理的方程式可以得到两个推论：①∵作用在质点组中任一质点上的主动力，约束力和惯性力互成平衡，因此将这几个等式相加后仍然等于零，即：

，其次，由质点对任一固定点的位矢r F +R +-m a =0∑i ∑i ∑i i i 叉乘*式的两边，

并将n 个方程相加，就可得到：∑(r i ⨯F i ) +∑(r i ⨯R i ) -∑(r i ⨯m i r i ) =0。这些力i i i i i i

对任一点的力矩的总和也等于零。下面利用达朗伯原理来解下面的题目。例：一直角形刚性杆件AOB 的质量可以忽略不计，直角的顶点O 用光滑铰链连到垂直轴Z 上，使它既能在铅垂面内绕O 点转动，同时又能绕Z 轴转动。在A 、B 两端固结着两个质量为m 1和m 2的小球，已知：OA=a, OB=b，求：当OA 和Z 轴为

α角而这个α角稳定不变时，他们绕Z 轴转动的角速度ω=？

=0。我们以两解：∵稳定为α角，∴ω

个质点和直角杆件组成的系统为研究系

统。因为整个研究系统都以同样的角速

度ω作匀速转动，将坐标系就取在所研

究的系统上，随系统一起转动。则系统

所受的力有重力↓m 1g 1, ↓m 2g 2和惯性力m 2ω2bcos α和m 1ω2asin α, 除此之外还有

O 处的约束力。为了消去未知的约束力，我们可以对O 点应用力矩的平衡方程。要想用力矩的平衡方程，还得先规定力矩的正方向，在这里我们就规定：力矩的逆时针方向为正，并对O 点取矩。则有：m 2ω2bcos αbsin α-m 2gbcos α-m 1ω2asin αacos α+m1gasin α=0解此方程很快可以得到：ω=(m 2b cos α-m 1a sin α) g (m 2b 2-m 1a 2) sin αcos α。由此可见，应用了达朗伯原理之后，这个题目只要一个平衡方程就解出了它的结果。如果不采用达朗伯原理去解，而是采用动力学的方法去解的话，此题目是很难解的。因此它充分地显示了应用达朗伯原理解题的优越性。朗伯——拉格朗日方程： 既然达朗伯原理的关系式：F i +R i -m i ⋅a i =0是一种平衡方程，当然也可以

用虚功原理的形式表示出来。我们用虚位移δr i 标乘上面这个平衡方程，并对i

求和则有：∑(F i -m i a i ) ⋅δr i +∑N i ⋅δr i =0。如果体系受到的是理想约束，∵

i i

在理想约束的情况下：约束力的虚功之和必等于零：∑R i ⋅δr i =0，则上式就

可写成为：∑(F i -m i a i ) ⋅δr i =0，显然，它在形式上完全类似于虚功原理，

i

这个方程就叫做达朗伯——拉格朗日方程。给出这个达朗伯—拉格朗日方程干什么用呢？一方面当然可以应用它来求解动静法的问题。另一方面更重要的是分析力学真正的开始应该是从达朗——拉格朗日方程这里开始的，这因为在别的方程中都还没有直接用广义坐标表达出来，现在我们就由达朗伯—拉格朗日方程，应用广义坐标的概念推出直接用广义坐标、广义力、广义速度等这些广义量来表示的基本分析动力学方程，这个分析动力学方程正是我们下面马上要推导的完整约束的第二类拉格朗日方程。§4. 完整约束的第二类拉格朗日方程，

即基本形式的拉格朗日方程既然有第二类拉格朗日方程，从排列的次序来说，那么总应该有第一类拉格朗日方程，是有的，不完整约束的拉格朗日方程就称第一类拉格朗日方程。由前

面的讨论我们知道由于约束的限制，n 个矢径r i (i=1·2·3···n) 并不是独立的。

现在我们引入S 个独立的广义坐标q i (α=1·2·3···n) 。将矢径r i 用广义坐标表

示：r i =r i (q1,q 2…q s ,t), 这里的i 是表示质点组中质点的数目，α是表示独立坐标的数目，对这两个角标的涵义要清楚。现在我们先来推导两个数学关系。两个数学关系。 i ∂r

α∂q = ∂r d i ∂r i

∂q α，dt ∂q α=∂∂q α d r i dt ，这两个数学关系在推导拉格朗日方程

时要用到。下面先来证明第一个数学关系。∵r i =r i (q 1, q 5⋅⋅⋅q s , t ) ，将它对时间求

导则有第i 个质点的速度为： =r i d r i = ∂r i 1 1+q ∂r i 2 2+⋅⋅⋅+q ∂r i s s +q ∂r i =∑α=1s ∂r i α α+ ∂r i ……(1) ∵r i 是广义坐标和时间的函数。∴根据高等数学的全微分公式：

∂z ∂z dx +dy 可得:由于r z=z(x,y) , dz =q 2…q s 和t 的函数，因此i 是q 1、∂x ∂y

∂r i 和∂t ∂r i ∂q α ∂(α这两个偏导数也仍然都是q 1、q 2…q s 和t 的函数，而不是广义速度q

∂r i

∂q α。要注意在求偏导数时，应该把=1,2,…s) 的函数，并且这些广义速度也是相互独立的。所以我们将式(1)对广义 i ∂r

∂求偏导数就可直接得到：∂q 速度q a =

∂，t 当作等同地位的自变量，不清楚这一点，就会在计算偏导数时发生不应q α1, q

有的错误，如果体系只有2个自由度，应该有几个等同自变量，有5个等同的自变量，三个自由度就有7个等同自变量。下面再来证明第二个数学关系式，∵

∂r i ∂r i 仍然是(q1,q 2…q s ,t) 的函数，∂q α=∂q α

∂r i ∂q α(q 1, q 2 q s , t ) , 所以对它

的

∂r α导数 ∂r i ∂(∂q ：= ∂r i ∂(∂q ) 1 1+ +q )

s s +q ∂r i ∂(∂q )

=∑

k =1s ∂2r αk k + ∂2r α… (a)。

s 2 ∂ i =∑r i r ∂q α∂q k k +∵k =1 ∂r i ∂t ∙ ∂r i

∴α=∑k =1s ∂r i ∂(∂q k ) α k +α=∑k =1 ∂2r i s ∂2r i αk ∂2r i k +α……(b) ∂r i

可见(a)=(b)式，这就证明了：dt ∂q α= i ∂r ∂q α这个关系式。这个关系表明r i 对时间t 的导数和对广义坐标q α的偏导数是可以对易的，这就是说两个微分算符d ∂←−→可以对调，对调之后运算结果仍然不变。α

还有根据代数中关于连加号Σ的运算法则知，在双重加号中，运算次序可以颠倒，即：∑∑a ij =∑∑a ij 这在下次课推导拉格朗日方程时也需要用到的知识，i =1j =1j =1i =1s n n s

在这里附带提一下，其实大家在数学中是早已清楚的事……。