高中数学课课练5[答案

第一章 解三角形

§1.1 正弦定理（1）

1. C 2. C 3. D 4. D

5. 8. 解：由已知得

s i n B

4

1. C 2. C 3. D 4. B 5. 120︒

6. 7.

61

8. b =∠A =60︒. 2

9. 从木条的中点处锯断时AC 最短.

10. 解: 由BA ⋅BC =3得ca ⋅cos B =3. 由cos B =3得ca =2，

2

2

4

6. 30︒ 7. 3

a cos B 3a sin A

=，由正弦定理得=， b sin A 4b sin B

16

⇒

7

c 2o B s

25

c o s B 392

⇒c o 2s B s i n B ∴

即b =2，由余弦定理b =a +c -2ac cos B

得 a 2+c 2=b 2+2ac cos B =5

2

2

2

2

由已知得a 2cos 2B =9

∴a 2=255

∴a =5.

5

222

, a +c =3 (a +c ) =a +c +2a c =5+4= 9 ∴

9．解： 由题意，得cos B =3，B 为锐角，sin B =4， sin A =sin(π-B -C ) =sin

§1.4 余弦定理（2）

1. B 2. A 3. C 4. D 5. 直角三角形

6.

(

3π-B 4)

7. -1

7

由正弦定理得c =10，∴S =1ac ⋅sin B =1⨯2⨯10⨯4=8．

22757710. 证明：（1）∵A >B , ∴a >b ⇒2R sin A >2R sin B ，

∴sin A >sin B . （2）根据正弦定理，可设

c

a

= b = c = k , k ≠0, sin A sin B sin C

8.

解： lg a -lg c =lg sin B =-∴lg a =lg sin B =lg

c

∴a =s i n B c

, B ∈

2

(2

π

∴) B , =︒

.

4由5c 得

a 2+c 2-b

cos B =

2ac

⇒

2

22222

sin 2B

∴左边=a +2b =k sin 2A +k 2

∴a 2=b 2⇒a =b

k sin C

22

=sin A +2sin B =右边.

故∆ABC 是等腰直角三角形.

9. 解：设BC =

x ，则A C . 根据面积公式

1

B =

S ∆ABC =AB ⋅BC s i n

2

，由余弦定理得

sin C

§1.2 正弦定理（2）

1. D 2. C 3. B 4. D 解: 由已知切化弦得

a sin B b sin A

= , 得sin A cos A =sin B cos B cos B cos A 2= ⇒s i n A

s i B n ⇒2A =B

2

2

AB 2+BC 2-AC 24-x 2，

cos B = 2AB ⋅BC 4x

∴S ∆ABC =.

，

或A +B =90︒.

由三角形的三边关系有+x >2⎪⎩x +2⇒2

5.

6. 解：由AD 2+BC 2=2(AB 2+BC 2) ⇒B C 2=2(1+3) -22=4

2

+A 2B =BC 2⇒A =90︒得R =1. ⇒B C 2=2⇒A C

7. 7∶5∶3.

8. （1）A = 60︒, C = 75︒

, c 或A = 120, C =15︒

, c （2

）B =30︒, C =105︒, c 9. 解：（1）由

⇒s i n A

o

故当x =S ∆

ABC 的最大值是.

10. （1）解：法一： A (3, 4), B (0, 0)

∴AB =5, sin B =

4 5

.

.

当c =

5时，BC =5, AC ，

由正弦定理

BC AC =⇒sin A sin A sin B .

法二：由AB =5, BC =5, AC =

2

A B 2+A C -A =

c o s

2AB ⋅AC

2

B ∴s i A n .

cos A b

=, cos B a c o A s =s B i n

-2

sin B b cos A sin B

=可得= sin A a cos B sin A B c o s ∴A s =i n 2 B ∠B ,

∴∠A

+ =

2

（2） AB =5, BC =c , AC 2=(c -3) 2+42， 由余弦定理cos A =

AB 2+AC 2-BC 2

，若∠A 为钝角，

2AB ⋅AC

3

, ∴2∠A π= a ≠b

π

25

则cos A .

∴∆ABC 是直角三角形.

⎧a +b =10

⎪

⇒a =6, b =8. （2）由⎨b 4

=⎪⎩a 3a b sin A sin B

10. 证明: sin A =sin B ⇒a =b

2

2

2

§1.5 正弦定理与余弦定理的应用

1. B 2. D 3. C 4. C 5.

1米;

6.

; 7. 6

8. 解：由2cos A sin B ＝sin C 得2cos A sin B ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B ) ＝0， ∴A ＝B ，又(a ＋b ＋c )(a ＋b －c ) ＝3ab

a 2+b 2-c 21

=，∴ 得a 2+b 2-c 2=ab , cos C =C ＝60°，

2ab

2

km 5π

⇒(

sin A 2sin B 2sin 2A sin 2B

) =() ⇒= a b a 2b 2

a

b

a

c o B s 211

=-. 222

b a b

1-cos 2A 1-cos 2B c o s A 2

⇒=- ⇒222

§1.3 余弦定理（1）

∴三角形为等边三角形．

9. 解：在∆ABC 中，AB =AC =50，∠BAC =60︒， ∴∠ABC =∠ACB =60︒，BC =50,

∴在∆BCP ，∠PBC =60︒，∠BCP =75︒， ∠BPC =45︒,

由正弦定理CP

sin 60︒

=

BC

, ∴CP =sin 45︒

由正弦定理得：sin B cos A =sin A cos B ⇒A =B . （2） AB ⋅AC =1

∴bc cos A =1.

222

由余弦定理得：bc ⋅b +c -a =1，即b 2+c 2-a 2=2，

2bc

在∆ACP 中，由余弦定理得： AP 2=AC 2+C P 2-2AC ⋅C P cos135︒

=2500 +62⨯5+65⨯0

由（1

）知a =b , ∴c =2⇒c 2

（3

）由|AB +AC |⇒|AB |2+|AC |2+2⋅|AB ⋅AC |=6

⇒c 2+b 2+2=6

∴c 2

+b 24=

c 22=

. =2

=6250+2=362

，0∴4AP 3=) m )

∴∆A B C 为正三角形

. ∴S ∆ABC 2.

答：隧道AP

的长为 10. 解：在△ABC 中： AB ＝12 AC ＝20 ∠BAC =50︒+70︒=120︒

BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos ∠BAC =122+202-2⨯12⨯20⨯(-1=784, BC =28

2

§1.7 解三角形单元测试题

1．D ； 2．A ； 3．B ； 4．B ； 5．A ； 6．D ； 7．D ； 8．D ； 9．B ； 10. B.

11. 1＜m ＜3 解： 三边m 、m ＋1、m ＋2中， 显然m ＋2为最大边，设其所对的角为α， ∵在同一个三角形中，大边对大角, ∴α为钝角，cos α＜0

m 2+(m +1) 2-(m +22) ⎧

c o αs =

2m (m +1) ⎨

⎪m +m +1>m +2m , >0⎩

即追击速度为28mile/h 又：∵△ABC 中， 由正弦定理：AC =BC ,

∴sin B =A C sin A sin B

sin A

B C

∴B =arcsin ︒

∴ BC 的方位角为50 +38.21︒=88.21︒

∴我舰应以28mile/h速度，沿方位角为88.21︒的方向航行，则可以1小时追上敌舰.

解之得1＜m ＜3

12. 13．

sin A 1

. 由比例性质，题中式子=,

a 4

2

§1.6 解三角形的综合问题

1. D 2. B 3. C 4. B 5. 20 6. 正三角形

7. 45︒, 30︒, 105︒.

8．解：在∆BCD 中，∠B D C =90︒, C D =1, ∠B C D =45︒，

∴BC 在∆ACD 中，∠C AD =180︒-(60︒+45︒+30︒) =45︒,

∴

C D

=

s i n 4︒5

A C

⇒A C s i ︒n 30

1

由S ∆ABC =

bc sin A 可得c =, 从而a =2, 代入即得.

14

1

， 2

15. （1）由a =2b sin A ，根据正弦定理得

i n s i n A =2s B

sin B =s A i n ，所以

在∆ABC 中，

2

由∆ABC 为锐角三角形得B =

32

2AC ⋅BC ⋅cos 60︒=⇒AB

AB 2=AC 2+BC -

2

π

． 6

（2）根据余弦定理，b 2=a 2+c 2-2ac cos B =27+25-45=7．

所以，b ．

（1）由已知及余弦定理得：a 2+b 2-ab =4， 16. 解：

1

又S ∆ABC ∴ab sin C ⇒ab =4，

2

∴

/分钟.

9．解：如图，连结BD ，则四边形ABCD 的面积

+S ∆C D S =S ∆A B D

11

=AB ⋅AD ⋅sin A +BC ⋅CD ⋅sin C ,

2

2

由⎨

⎧a +b -ab =4⎩ab =4

22

⇒a =2, b =2

.

A +C =180︒,

i n ∴s i n A =s C ∴S =

1

(AB ⋅AD +BC ⋅C D ) ⋅sin A 21

（2）由sin C +sin(B -A ) =2sin 2A ⇒sin B ⋅cos A =2sin A ⋅cos A （i ）当cos A =

0时，A =

⎧a +b -ab =4由⎨

⎩ab =4

2

2

2

π

2

, B =

π

6

, a b ；

=2(2⨯4+6⨯4) ⋅sin A =16sin A ,

由余弦定理，在∆BCD 中.

222

2B ⋅C c C o D s =5C 2-48c o s C B D =B C +C D -222

在∆ABD 中, BD =AB +AD -2AB ⋅AD cos A =…=20-16cos A

o =s -201A 6, c ∴52-48c C

s =-c o A s , 64A c =o -s , c o C

1A =-∴, A = ∴c o s

2

1︒2, 0

（ii ）当cos A ≠0时，sin B =2sin A ，由正弦定理得b =2a ，

⇒a b ，

1C

∴S ∆A B C =ab s i n 222

17. 解：（1）由已知得．cos A ===，

2bc 3

2bc 2

又∠A 是△ABC 的内角，所以∠A =． （2）由正弦定理得：bc =a 2， 又 b 2+c 2=a 2+bc ，∴ b 2+c 2=2bc ，

，

∴ (b -c )=0，即 b =c ． 所以△ABC 是等边三角形．

2

∴S =16s i n 1 210．解：（1）由83

AB ⋅AC =BA ⋅BC ⇒bc cos A =ac cos B

即b cos A =a cos B ，

18. 解: 如图，连结A 1B 2，

由已知A 2B 2=

A 1A 2=20=，

60

∴A 1A 2=A 2B ，2

∴(a 3+a 6+a 9) =(a 2+a 5+a 8) +3d =33-3=30.

9．解：(1)由题意，有a 1=100，d =-10，a n =-10n +110 （2）所以， 即

18≤-10n +110

， {--10n +110≤18

*

又∠A 1A 2B 2=180︒-120︒=60︒，

∴∆A 1A 2B 2是等边三角形，

∴A 1B 2=A 1A 2=1 由已知A 1B 1=20, ∠B 1A 1B 2=105︒-60︒=45︒，在∆A 1B 2B 1中， 由余弦定理知：B 1B =A 1B +A 1B -2A 1B 1⋅A 1B 2⋅cos 45︒=200，

2

2

21

22

≤12.8

，又n ∈N {n n ≥9.2

, ∴n =10, 11, 12，

数列{a n }中有三项属于区间[-18, 18].

10．证明: 知数列{a n }是等差数列, 可设其公差为d .

那么a n +1-a n ＝d . a n -a n -1=d , 根据题意可知:

2222

b n -b n -1=a n +1-a n -(a n -a n -1)

∴B 1B 2=，

60=/小时）

=(a n +1+a n ) ⋅(a n +1-a n ) -(a n +a n -1) ⋅(a n -a n -1)

2

(a n +1+a n ) ⋅d -(a n +a n -1) ⋅d =(a n +1-a n -1) ⋅d =2d ＝常数. 所以数列{b n }也是等差数列.

答：乙船每小时航行.

§2.3 等差数列的性质

1.C 2. A 3. B 4. C 5. ⑴±3，⑵±3. 6. -4 7. ①③ 8. 解：设成等差数列的四个数为a 1, a 2, a 3, a 4，

+a +a +a =26a +a =13

所以{ {a a ⋅a =40a ⋅a =40

a =5a =8

或{ 得{ 故所求的四个数为2，5，8，11. a =8a =5

第二章 数列

由题意得:

123422

3

§2.1 数列的概念与简单表示

1

1. C; 2. B; 3. D; 4. C; 5．a n =(-) n ； 6．31；

3

233

22

33

7．（1）a n =(-1) n （2

）a n

n

1

9. 解：依题意a n +1-a n =, n ∈N *.

2

（3）a n =(-1) n +1

1+(-1) 2n +1

（4）a n = n

22

n

∴{a n }是等差数列，公差d = ∴a n =a 1+(n -1) d =2+ 故通项公式为a n =

a n -1

1

, 2

（5）a n =1-(0.1)n

7

（6）a n =1-(0.1)n ）

9

n -1n +3

= 22

8．解：（1）a n =2n +3

（2）令2005=2n +3，得n =1001. 9．解：（1）3不是这个数列的项；

（2）函数y =-2x 2+29x +3的图像的是开口向下的抛物线， 对称轴是x =

2929

，最接近的正整数是7， 44

n +3

. 2

a n +1

a n

10．解：（1）由1+1=2(n ≥2, n ∈N *) ⇒n ≥2时

1a n +1

-

11

=-a n a n

a 2

11

得为等差数列a -n 1a n

a 1

3

3

a n

a 1

{.

23

所以最大项a 7=108，是第7项. 10．解：（1）由已知得：a 2=

2

2⨯

2a 2=1a 3==a 2+222

+232

2a 41a 5===a 4+223

+25

2⨯

11

（2）公差d =1-1=4-1=1 ∴1=1+(n -1⨯) =n +

2a 1a 1+2

=

22

=， 1+23

33

,

∴1=1⨯50+2=52, ∴a 50=3

a 50

3

3

3

52

12⨯

2a 32=2， =, a 4=

a 3+215

+22

§2.4 等差数列求和（1）

1. A 2. A 3. C 4. B 5. 210 6．45 7. ①④ 8．解：S =-(1+2+3+4+ +99+100) =-5050 9．解：依题意，可知：S 11=55

11⨯10

d =5, 5 又 a 1=-5 ∴S 11=11a 12

.

2

. n +1

（2）猜想：通项公式为a n =

222

-=-2（3）a n +1-a n =. n +2n +1n +3n +2

§2.2 等差数列的概念与通项

1. C 2. C 3. A 4. B 5．①③

6．解： a -6, -3a -5, -10a -1成等差数列,

a -5) -a (-6) =(-a 10-1-a ) , (3-解得a =1, ∴(-3

7．13

8．解：设公差为d

36, a 2+a 5+a 8=3 3 a 1+a 4+a 7=

∴(a 2+a 5+a 8) -(a 1+a 4+a 7) =3d =33-36=-3 ∴(a 3+a 6+a 9) -(a 2+a 5+a 8) =3d =-3

∴d =2，∴a n =-5+(n -1) ⨯2=2n -7 设抽去的项为a m (1≤m ≤11) ，则

2-7=) 1⨯0 55-(m , 解得m =11，

所以，抽去的项是a 11.

1331

10．解： d =, a n =, ∴=a 1+(n -1) ⨯ --------①

2

2

2

2

315 a n =, S n =-,

2

2

15 ∴-=

2

3(a 1+) n

2 ---------② 2

由①②解得，a 1=-3, n =10.

§2.5 等差数列求和（2）

1. B; 2. D; 3. B; 4. C; 5. 9; 6. 解: 由题意, 得, 一昼夜内它共敲:

++12+) 1⨯2=2(下) 2⨯(1+2+37．a n =⎨

⎧5,

(n =1)

⎩2n +2, (n ≥2)

9. 解：解得方程两根为1和3，由q >1，故a 2004=1，

2

2

2

a 2005=3. ∴q =a 2005÷a 2004=3，

2

a 200+6a

20

=(a 2004+a 2005) q 2=(1+3) ⋅32=18.

2

2

8．10 提示：{a n +a n -1+a n -2}仍为等差数列 9．解：由 S 9=S 17

解得d =-2a 1, a 1>0, ∴d

25

，∴n =13时，S n 最大.

10．解：设数列{a n }的公比为q ，则依题意有 a 1q 3=1, a 1q +a 1q 5=82.

9

n (n -1) d

S n =na 1+d =n 2-13dn

22

两式相除并整理得9q 4－82q 2＋9＝0. 解得q 2＝9或q 2＝1.

9

10．解：设等差数列{a n }公差为d ，

则S n =na 1+1n (n －1) d ∵ S 7 = 7，S 15 = 75， 2 ∴ ∴ ∵

∵数列各项均为正数，∴公比q ＞0. ∴公比q ＝3或q ＝1.

3

11n -1n -4

. ∴a n =⋅3=3. 2727

11n -13n -4

当公比q =时, 由a 1q =1得a 1=27. ∴a n =27⋅(=3.

33当公比q =3时, 由a 1q 3=1得a 1=

{

7a 1+21d =7

⇒

15a 1+105d =75

{

a 1+3d =1a 1+7d =5

∴ a 1=－2，d =1，

S n n

=a 1+1(n －1) d =－2+1(n －1)

2

2

S n +1n +1

－

S n n

=1

2

2

∴{

S n n

}为等差数列，其首项为－2，公差为1，

4

4

∴数列{a n }的通项公式为a n =3n -4或a n =34-n .

§2.8 等比数列的性质

1. B; 2. C; 3. A; 4. A；

5. 6. 13 7. 15

∴T n ＝1n 2－9n ．

16

§2.6 等差数列的综合问题

1. C 2. D 3. C 4. B 5. 25 6. 2 7. 20

（1）由a 10=30, a 20=50, 得 8．解：

解得a 1=12, d =2. 所以a n =2n +10. a +19d =50 . 1

1

8．解：a 3a 8=a 4a 7=-512, a 3+a 8=124

⎧a 3=-4

或⎨

⎩a 8=-4⎩a 8=128 q ∈Z ∴a 10=512

⇒⎨

⎧a 3=128

{a +9d =30,

9．解：设A 角为最小角，则

a a c B s ==2，而由题意得：b 2=ac s i n A =c o

c

c

b b B =2=2=) ∴c o s

c

c

2

（2）由S n =na 1+

n (n -1) 2

d , S n =242

得

n (n -1)

⨯2=24 2. n =11或n =-22(舍去). 得 12n +

2

2454，3，.... 的公差为-，所以 9．解：数列5，

777

s 2B i n =-12B c , o s

所以，解得cos B

，∴sin A .

n 575n -5n 51521125+（n -）1(-）=]=-n -+ S n =[2⨯5.

2

7

14

14

2

56

2

10．解：（1）设{b n }的公比为q ， b n =3a ,

n

当n 取与 ∴

15

最接近的整数7或8时，S n 取最大值. 2

2

2

∴3a ⋅q n -1=3a ⇒a n =a 1+(n -10log 3q 所以{a n }是以log 3q 为公差的等差数列.

1

n

（2） a 8+a 13=m 所以由等差数列性质得a 1+a 20=a 8+a 13=m ∴a 1+a 2+ +a 2=0 b 1b 2 b 20=3a +a

1

10．解:（1） n ＝1时 8a 1=(a 1+2) ∴a 1=2 n ＝2时 8(a 1+a 2) =(a 2+2) ∴a 2=6

n ＝3时 8(a 1+a 2+a 3) =(a 3+2) 2∴a 3=10 （2）∵8S n =(a n +2) ∴8S n -1=(a n -1+2) (n >1) 两式相减得: 8a n =(a n +2) 2-(a n -1+2) 2

即a n 2-a n -12-4a n -4a n -1=0，也即(a n +a n -1)(a n -a n -1-4) =0， ∵a n >0 ∴a n -a n -1=4

即{a n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n =2+(n -1) ⋅4=4n -2.

2

2

(a 1+a

20

20

2=310m

) ⨯20

=10m ⇒

+ +a 2

.

§2.9 等比数列求和（1）

1. D 2. A 3. C 4. D 5. n =7

6. -17. 458. 105

9．解：（1）当q =1时，则有3a 1+6a 1=18a 1⇒a 1=0， 与数列{a n }是等比数列矛盾，∴q ≠1 （2）q ≠1时，条件化为

a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) 2a 1(-1q 9) +=

1-q 1-q 1-q

§2.7 等比数列的概念与通项

1. C 2. B 3. A 4. B 5. -4 6.

1

7. ①②③④ 4

8. 解：依题意a n +2=a n +1+a n ⇒a n q 2=a n q +a n ⇒q =q +1解得

q

故舍去q 2

∴2q -q -q =0⇒q =

9

6

3

.

，∵各项均为正数，∴q >0， .

10．解： S 2n >2S n ,

a 1(1-q 2n ) 1-q

a 1(1-q n ) ∴q ≠1. =80„ ①

1-q

=6560„ ②

②÷①，得q n =81， ∴q >1,

故前n 项中a n 最大，将q n =81代入①，得a 1=q －1 „ ③ 由a n =a 1q n -1=54，得81a 1=54q „ ④ 由③④解得a 1=2, q =3. ∴S 100=

a 1(q 100-1) q -1

=3100-1.

n +1n +2

S n -1, 由已知得a n +1=S n ⇒ ⇒S n +1=4⋅

n -1

n

n +1

S n -1=a n 代入上式得S n +1=4a n . n -1

§2.12 等差数列与等比数列的综合运用

1. C 2. C 3. D 4. B 5. 4 6. 2610 7. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，

已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，a n =a 1q n -1， 又4S 2=S 1+3S 3，即4(a 1+a 1q ) =a 1+3(a 1+a 1q +a 1q 2) , 解得{a n }的公比q =1.

3

y

§2.10 等比数列求和（2）

1. C 2. B 3. D 4. C 5. a (1+10%) 5; 6. (1+p ) 12-1; 7. 3(1-1n )

2

3

8．解：当x ≠0，x ≠1，y ≠1时，

原式=(x +x 2+ +x n ) +(1+12+ +1n )

y

y

8. 解: a n =1+2+22+ +2n -1=1-2=2n -1

1-2

1+) ∴S n =(2-1) +(2-

2

n

n

11

(1-n )

y n -1x (1-x ) y y x -x n +1

=. +=+n +1

n

11-x 1-x y -y 1-y

n

+(2 -1)

2

=(2+2+ +n 2) n -=

2⨯(-11-2

n

2)

-n =2n +1-2-n

.

9．解：当x =1时，S n =1+2+3+4+ +n =

x +43x + S n =1+2x +32

n -1

+n x

n (n +1) 2

9. 解：设等比数列的连续三项为a m , a m +1, a m +2，

其公比为q (q ≠1) ，等差数列的公差为d , 则a m +1=a m q , a m +2=a m +1q ， 两式相减得q =

a m +2-a m +1a m +1-a m

当x =0时，S n =1， 当x ≠1且x ≠0时，

1

(-1x n ) -+nx n ∴xS n =x +2x 2+3x 3+ +n

．

) n =+(1x +x +x + +x ∴(1-x S

23n -1

-nx )

n

1-x n

=-nx n 1-x

又a m +1=a m +4d , a m +2=a m +1+3d ， 故q =

3d 33

=，所以通项公式为a n =2

44d 4

∴S n =1-x 2-nx .

(1-x ) 1-x

n n

()

n -1

．

10. 解：（1）设{a n }的公差为d ，S 2=2a 1+d =6+d ，

又b 2=±8（舍负号），S 2=b 2⇒6+d =8，d =2

，∴a n =3+2(n -1) ，∴a n =2n +1. （2）S n =3+5+ +(2n +1) =n (n +2) ∴1+1+ +1=1+1+1+ +

S 1

S 2

S n

1⨯3

2⨯4

3⨯5

1n (n +2)

10.

a (1+p ) p

⋅[(1+p ) 7-1].

§2.11 等比数列的综合问题

1. B 2. B 3. D 4. C 5. 1

1023

6. 16或-16; 7. ;

4

1111111

=(1-+-+-+ +-

2

3

2

4

3

5

n

n +

1

) 2

8. 解：由题设知a 1≠0，S n =

2

a 1(1-q n ) 1-q 1-q

，

=5⋅

a 1(1-q 2) 1-q

11

=(1+-

21132n +3-) =-

2n +1n +242n (+1n ) +(

2)

则a 1q =2 „„ ①

a 1(1-q 4)

„„ ②

§2.13 数列单元测试题

1. A; 2. A; 3. B; 4. C; 5. B;

6. D; 7. A; 8. A; 9. C; 10. B. 11．n =5 12．

1202

13. -1 14.

711

由②得1-q 4=5(1-q 2) ，(q 2-4)(q 2-1) =0，

(+2q ) -(1q ) +(=，1 (q -2) q

因为q

当q =-1时，代入①得a 1=2，通项公式a n =2⋅(-1) n -1； 当q =-2时，代入①得a 1=9. 解：∵ ⎨

⎧

a 1+d =8

11

，通项公式a n =⋅(-2) n -1． 22

15. 解：(1) {x n }成等比数列且x n ≠1，设公比为q ，则q >0 y n +1-y n =2log a x n +1-2log a x n =2log a ∴{y n }为等差数列.

(2) y 4=17, y 7=11 ∴3d =－6 d =－2 y 1=23 {y n }前n 项和S n =n y 1+

n (n -1) 2

d =23n -n (n -1) =-n 2+24n

x n +1x n

=2log a q 为常数

⎩10a 1+45d =185

n

, 解得a 1＝5, d ＝3,

n

∴ a n ＝3n ＋2, b n ＝a 2＝3×2＋2,

S n ＝(3×2＋2) ＋(3×22＋2) ＋(3×23＋2) ＋…＋(3×2n ＋2) ＝2(2n -1) 2-1

2n －6. ＋2n ＝7·

当n =12时，S n 有最大值144.

∴{y n }前12项和最大为144.

n +2

S n n

10. 证明: （1）a n +1=n ⇒ ∴{

S n +1n +1

=2⋅

S n n

n +2

S n ⇒S n +1-S n =

16

．解：⑴由a n +1，令n =1得a 1=1 ∴ 4(S n -S n -1)=((a n +1) 2-(a n -1+1) 2，（n ≥2） ∴ 4a n =a n 2-a n 2-1+2a n -2a n -1

整理得：(a n -1+a n )(a n -a n -1-2) =0，由a n >0，

∴a n -a n -1=2 ∴ {a n }为公差为2的等差数列. ∴ a n =2n -1. (n =1, 2, 3, ) ，

S n n

是公比为S n n

2的等比数列. 2，

S n +1n +1

=2⋅

S n n

2=2⋅

（2）由{是公比为

S n -1n -1

（2）由裂项法，B n =1[(1-1) +(1-1+

2

a 1

a 2

a 2

a 312a n +

8. （1）{x |x 2}； （2

）{x |1x

2

+(1-1=1(1-

a n

a n +1

2a 1

1a n +

) =

1

2

1-

1

2

. 1

=

4a 1(1-q 4) 1-q

（3）{x x 3}； （4）{x 0≤x

9．（1

）{x x ； （2）{x |x ≤-2或x ≥1

3

2

⎧

⎪a

10．解：由题意得⎨-=-2-

a 2⎪

⎪c =(-2) ⋅(-1⎪⎩a 2

17．解：（1）由题意知5S 2=4S 4，∴

52

a 1≠0, q >且0q ≠ 1 ∴1+q =,

4

5a 1(1-q 2) 1-q ∴得q =

1

2

（2） S n =

a 1(1-q n ) 1-q 2

1

=2a 1-a 1() n -1

2

2

⎧b =5a ⎪

2 ⇒⎨

⎪c =a ⎩

∴b n =q +s n =1+2a 1-a 1(1) n -1

要使{b n }为等比数列，当且仅当1+2a 1=0

2

5

不等式cx 2-bx +a >0化为ax 2-ax +a >0，

2

a

5

x +1

⇒

1

2

即a 1=-1, 此b n =(1n +1为等比数列，

4

2

1

∴不等式cx 2-bx +a >0的解集为{x |

∴{b n }能为等比数列，此时a 1=-1.

4

18．解：（1）第十个月应付款为：

-0⨯50⨯9) 0=. 0（元）1 50+(100

（2）共付款：

150+[50+1000⨯0.01]+[50+950⨯0.01]+ +[50+50⨯0.01] =1225（元）．

§3.3 一元二次不等式（2）

1. A; 2. D; 3. C; 4. D; 5. k ≥1， 6. ②③④; 7. [-1, 1]

8. ⑴{x |-1

2

3

2

{}

9. 解：不等式等价于(7x +a )(8x -a )

第三章 不等式

§3.1 不等关系

1. D；2. A; 3. B; 4. C; 5. -π

8．解：设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 件， y 盒(x , y ∈N *) ，则

60x +7y 0≤⎧⎪

⎨x ≥3⎪⎩y ≥2

500⎧6x +7y ≤50

⎪

即⎨x ≥3

⎪⎩y ≥2

{78}

a a

当a

87

a a

当a >0时，不等式的解集为x -

当a =0时，不等式的解集为φ.

10. 解：原不等式等价于(x -a )(x -a 2)

a >0x -a

或（2）{ {x x --a 0

2

2

且(x , y ∈N *)

①当a 1时，a

原不等式的解集为{x a 9．解：可先用f (-1) 和f (1)来表示f (-2) ，即用a -b 和a +b 来

原不等式的解集为{x a 2A (a -b ) +B (a +b ) =4a -2b 表示4a -2b , 设

③当a =0，或a =1时，原不等式无解. =4a - 2b ⇒(A +B ) a -(A -B ) b

⎨

⎧A +B =4

⎧A =3⇒⎨

⎩A -B =2⎩B =1

∴3≤3(a -b ) ≤6, 2≤a +b ≤4,

§3.4 一元二次不等式的应用

1. A; 2. C; 3. A; 4. D; 5. (-∞, -2] [5,+∞)

6. (-∞, -1) [2,+∞) 7. －5. 8. 解：⑴y =-2n 2+40n -98

⑵解不等式-2n 2+40n -98>0 得

10n

-x 2x ) - y =(160

2

∴5≤4a -2b ≤10.

10. 解：设甲乙两地相距x 千米，采用汽车、火车、飞机 运输时的总支出分别为

x

1600 y 1=8x +100+0+⨯2) =30x 0+14

50

x

x +0 y 2=4x +180+0+⨯4) =30

100

7 3000

x 35

+2) ⨯300=x +1600 y 3=16x +1000+(2002

(5+00x ，3

显然y 3>y 1，令y 1-y 2

所以，当甲乙相距少于200千米时，应选用汽车；当甲乙相距等于200千米时，应选用汽车或火车；当甲乙相距大于200千米时，采用火车较好.

⇒-x 2+13x 0-50≥0 1300 y ≥1300

∴20≤x ≤45∴当月产量在[20,45]件之间时， 月获得的利润不少于1300元.

65

(2) y =-2(x -2+1612.5，

2

§3.2 一元二次不等式（1）

1. D; 2. A; 3. D; 4. D; 5．{-2, 0, 2} 6．{x |x 3}，{x |-2≤x ≤3}. 7. {x |x 3}

∴x =32或x =33时，y 取最大值1612. 10. 解：⑴ y =[60(1+0.5x ) -40(1+x )]⨯1000(1+0.8x ) y =-8000x 2+6000x +20000=2000(-4x 2+3x +10) 其中0(60-40) ⨯1000

∴-4x 2+3x >0

∴0x

33

，∴x 的取值范围为

得y 1=1(c +4), y 2=1(c -4) , 依题意：

3

3

⎡1(c +4) -1⎤⎡1(c -4) -2⎤

(y 1-1)(y 2-2)

§3.5 一元二次不等式的综合问题

1. C ; 2. C; 3. D; 4. D; 5．m m

2]， 7．解：构造函数：f (x ) =x 2+m x +4, x ∈[1，

2) 时，不等式x 2+m x +4

{

810. 解：30 (以(±5, 0) 、(0，±3）为顶点的菱形面积).

§3.7 二元一次不等式组表示的平面区域

1. A; 2. B; 3. C; 4. C 5. 6π； 6. 解：如图知区域是△OAB 去掉 一个小直角三角形△CDB . ∴阴影部分面积=S O AB -S C D B =1⨯2⨯

2-12

2

7. 4

则f (1)≤0, f (2)≤0，即1+m +4≤0, 4+2m +4≤0。

解得：m ≤-5。

8．解：（1）当a =1时，有不等式f (x ) =x 2-3x +1≤0

2

2

∴(x -1x -2) ≤0，∴不等式的解集为：{x |1≤x ≤2}

2

2

7. 3

2

（2）∵不等式f (x ) =(x -1)(x -a ) ≤0

a

8．解：令u =x +y

当0a ，

a

{v =x -y

u ≤1⎧⎪

∴⎨u +v ≥0⎪⎩u -v ≥0

∴不等式的解集为{x |a ≤x ≤1； 当a >1时，有1

a

a

作出区域是等腰直角三角形，可求出面积s =1⨯2⨯1=1.

2

9．解：由已知得

+3>0⎧t -2⨯1

⎪t +4⨯1+8>0 ⎨⇒

3t +1-4

{x x +-y +4>0

x +2y +1>0

或{

x -y +4

∴不等式的解集为{x |1≤x ≤a }；

a

当a =1时，不等式的解为x =1。

9．解：将两式分子都化为3，则只要比较分母的2m 2+m +1和 3m 2-3m +6大小.

2

（m -2）+1>0， 3m 2-3m +6-(2m 2+m +1) =m 2-4m +5=

故3m 2-3m +6>2m 2+m +1

且易知3m 2-3m +6与2m 2+m +1均恒为正数，

⎧t >-1

-1-12⇒⇒t =0 ⎨t

⎪⎩t ∈Z

{

10. 解: 不等式等价于

3331

>> 即. 222

2m +m +13m -3m +62m +m +1m -m +2

2

10. 解：设f (x ) =a x 2+bx +c (a ≠0) f (x ) >-2x 的解集为（1，3） ∴f (1)=a +b +c =-2 ① f (3)=9a +3b +c =-6 ②

又 f (x ) +6a =a x 2+bx +c +6a =0有两个相等的实数根， ∴∆=b 2-4a (c +6a ) =0 ③ 由①②③解得：a =-

1

或a =1 5

其图象如图所示:

§3.8 简单的线性规划(1)

1. C; 2. A; 3. A; 4. C; 5. 1； 6. P (-1, -1) ; 7. 50x +40y ≤2000

7] 8. [-5，

9. 解：在坐标系中画出图象，如图. 三条线的交点分别是A (0，1) ， B (7，1) ，C (3，7) ，在△ABC 中满 足z =2y -x 的最大值是点C ，代入 得最大值等于11.

10．解: 区域D 如图所示∆ABC 所在区域（包含边界） （1）令z =2x +y ，显然z 在点

取得最大值，∴(2x +y ) m ax =（2）点O 到直线2x -y -2=0 的距离r 又 f (x ) >-2x 的解集为（1，3），∴a

163163

∴a =-, b =-, c =-, ∴f (x ) =-x 2-x -.

5

5

5

5

5

5

§3.6 二元一次不等式表示的平面区域

1. B; 2. B; 3. C; 4. C; 5. R , S ；

2

6. {t |t >; 7. P (-5,1)

3

8．解：先画出直线－x ＋2y －4＝0（画出虚线） 取原点（0，0）代入－x ＋2y －4, 因为 0＋2 × 0－4＜0

所以原点在－x ＋2y －4＜0 表示的平面区域内，

不等式－x ＋2y －4＜0表示的区域如图.

9．解法1：

+)[2⨯(-2) -3⨯c ]2+

解法2：将A 、B 两点横坐标分别代入直线L 的方程，

，由区域D

及题意知，以点O r 的圆满

x -y +2 足条件， ∴S 最大

4

=π=π

52

.

2

§3.9 简单的线性规划（2）

1. A; 2. B; 3. B; 4. D;

5． 5； 6．3； 7．0

2

法2：1+1=(1+1) ⋅(m +

n ) =2+n +m ≥2+4.

m

n

m

n

m

n

8．解：作出其可行域，

约束条件所确定的平面区域的四个顶点为 （1，5），（1，5），（3，1），（5，1），

3 作直线l 0：2 x + y = 0，

再作与直线l 0平行的直线l ：2 x + y = z， 由图象可知，当l 经过点（1，5）时

3 使z =2x +y 取得最小值，z min

511

=2⨯1+1⨯=

33

§3.11 基本不等式的应用（1）

1. D; 2. B; 3. C;

4. A; 提示：法一： ab ≤(a +b ) 2=4，

2

当且仅当a =b =2时取等号，

又c +d ≥4，

当且仅当c =d =2时取等号， 故选A.

法二：由右图可知， 对x , y ∈R +, xy ≥x +y 当且仅当x =y =2时取等号， 故选A.

当l 经过点（5，1）时使z =2x +y 取得最大值，

=2⨯5+1⨯1=1 z m a x . 1

9. 解：每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，日产值到达最 大值117万元. （提示：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品 y 号，则7x +3y ≤56，2x +5y ≤45，x 、y ≥0，目标函数z =8x +11y ， 作出线性约束条件所表示的平面区域，即可求得当 x =5，y =7 时，z 取最大值117万元）

10. 解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张， 每天所获利润为z 千元，则

⎧x +2y ≤8, ⎪

⎨3x +y ≤9,

x ≥0, ⎪

⎩y ≥0.

5. 4 ； 6．

2-.

7． 3；提示：以CA 、CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐

y

标系，则直线AB 的方程为x +=1. 设P (a , b ) ，则a +b =1

4

3

43

目标函数为z =2x +3y

如图，作出可行域， 把直线l ：2x +3y =0 向右上方平移至l '的 位置时，直线经过可 行域上的点M ，直线

的纵截距最大，此时z ＝2x ＋3y 取得最大值． 解方程组

a b +

(a >0, b >0), ab =12⋅a ⋅b ≤12(2=3，

432

3

当a =b =1，即a =2, b =时，(ab ) max =3.

2432

8．解 当x =0时，y =0 当x ≠0时，

y =

34

x +

x

=

34x +

x

34

，当且仅当x =4

x

33

即x =±2时，等号成立. ∴y min =-, y max =.

4

4

{x +2y =83x +y =9

得

{x =2y =3

，即M (2, 3)，

9．解：已知不等式(x +y )(1+a )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，

x

y

ax a +1

≥≥9，∴

≥2

≤－4(舍去) ， 答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获最大利润. 则1+a ++

x y

所以正实数a 的最小值为4.

§3.10 基本不等式及其证明 10．解：设矩形温室的左侧边长为a m ，

后侧边长为b m ，则ab =800m2. ∴蔬菜的种植面积 1

1. A 2. D 3. B 4. B 5. 6. ①②③⑤

16b -2=) a b -2a -4b +8=80-8a 2+(b S =(a -4) (， x +3z

⇒ 7. 3 提示：由已知得y =

2

y

∵a >0, b >0, ab =800，

∴a +2b ≥80

∴S ≤808-2⨯80=648（m 2）， 222

y x +9z +6xz 6xz +6xz =≥=3（当且仅当x =3z 取“= 当且仅当a =2b ，即a =40m , b =20m 时，S m ax =648m 2. xz 4xz 4xz

答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬

8. 证明： a 2+b 2≥2ab ①

菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.

22

b +c ≥2bc ②

22

c +a ≥2ca ③ §3.12 基本不等式的应用（2） ①＋②＋③⇒a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca

1. A;

又 a , b , c 不全相等，

a +b -c a +b -2a +b r ===-11， 2. B;

提示：222

.

∴a +b +c >ab +bc +ca

2

2

2

9.

解：Q

P ∴P ≤Q .

10. 解：函数y =a 1-x (a >0, a ≠1) 的图象恒过定点A (1,1)，

⋅n -1=，0m +n =1，m , n >0， 1⋅m +1

法1

：m +n ≥2

当且仅当a =b

r min 1，故选B. 3. C;

4. D; 提示：设第一年的产量为A ， A (1+x ) 2=A (1+p 1)(1+p 2) ∴(1+x ) 2=(1+p 1)(1+p 2) ≤( ∴x ≤

.

p 1+p 2

2

⇒x ≤

p 2

2+p 1+p 2

2

) 2=(1+

p 1+p 2

2

) 2

，当且仅当p 1=p 2取“=”号，

，

11+≥m n 2⋅2=4 故选D.

5．20； 6．2240 7

．2 8．解: 如图为轴截面，令圆柱的高为h ，

底面半径为r ，侧面积为S ， 则(h ) 2+r 2=

R 2，即h =

2

S =2π9．解：使用x 年时，年平均费用最少，由于“年维 修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”， 可知汽车每年的维修费构成以0.2万元为首项， 0.2万元为公差的等差数列. 因此，汽车使用x 年 总的维修费用为0.2+0.2x x 万元. 设汽车的年

2

≤4π=2πR 2

2=4π

平均费用为y 万元，则有：

9．解：设M (t , 0) (t >5) ，

，高为

则直线l 的方程为4x -(6-t ) y -45=0 它与y =4x 相交得点Q 的纵坐标为4t ，

t -5

0. 2+0x . 2

x

10+x +0x . 212y ==

x x

10x =1++≥1+3

x 1010+0. x 9+

当且仅当10=x ，即x =10时，y 取最小值.

x

10

从而∆O Q M 的面积为

S =

(t -52) +1t 0-(+5) 2514t t 22

t ⋅==2⋅2t -5t -5t -5

50

=2(t -5) ++20≥40

t -5

答：汽车使用10年时，年平均费用最少. 10. 解：设每间虎笼的长xm 、宽ym ，

则由“有可围36米长的材料”，得4x +6y =36， 即2x +3y =18, 设面积为S =xy ，

由于2x +3y ≥

所以18，得xy ≤27，即S ≤27

2

2

当且仅当2(t -5) =50，即t =10时，

t -5

∆O Q M 的面积最小值为40， 此时直线方程为x +y -10=0. 10．解：（1）由已知得： 即

50v

>1， 2

v -50v +1600

2

当且仅当2x =3y 时，等号成立. 解方程组

x =3y x =4.5

，得{ {22x +3y =18y =3

450v

>9， 2

v -50v +1600

答：每间虎笼设计长、宽分别为4.5m , 3m 时，面积最大.

而分母v -50v +1600恒大于零，∴解之得：200

∴y =

45v 0450

= 2

v -50v +1600v +1600-50

v

§3.14 不等式单元测试题

1. B; 2. B; 3. D; 4. C; 5.C; 6. C; 7.C; 8. C; 9. D; 10. A 11．{x x >3或x

2

2

∵v +

1600

≥80， ∴y ≤15， v

3

13．8 5

31

14．, （提示：区间根与线性规划方法：数形结合列出

1600

当且仅当v =，即v =40（千米／小时）时，

v

a 、b 满足的二元一次方程组）

21 车流量最大，最大值为15（千辆／小时） 15．A ={x 3x 2-4x -41 33 答：在该时段内，当汽车的平均速度为40（千米/小时）时，

21车流量最大，最大值为15（千辆/小时）． A B =x -

2

16．解：（1） a x -3x +2>0的解集为{x |x b }

{}{}

{}

§3.13 基本不等式的综合问题

1.A; 2. C; 3. C; 4. D; 5．32 6

．+∞)

7．[9, +∞

) ；解：法一：ab =a +b +3≥3

∴2-3≥0

3

∴ab ≥9（仅当a =b =3时） 法二：设S =ab ，Q ab =a +b +3

a +3

∴b =，由b >0，知a >1，

a -1

⎧1+b =3⎪a ∴⎨

⎪1⋅b =2⎩a

⇒a =1, b =2；

（2）不等式a x 2-(ac +b ) x +bc

① 当c >2时，其解集为{x |2

11x t s i n 6︒0=⨯(a 22 ) 22 ∴S =a ⋅

a +3a 2+3a 4

==(a -1) ++5≥9 a -1a -1a -1

19

+=1，则 a b

16，

当且仅当(a -1) 2=4，即a =3时取等号，此时b =3. 8．解：Q a , b , c 都是正实数，且

19

(a +b ) +=)

a b

b 9a 1++≥a b

2a 2

∴t =

x

+1 在∆ADE 中，由余弦定理得

2

+A 2E -2A ⋅D c A o E s A D E 2=A D

2a 222a 2

-2x ⋅⋅cos 600 ∴y =x +(x x

2

2

当且仅当

b 9a

=，即b =3a 时“=”号成立， a b

∴a +b ≥16

此时a =4, b =12,

故y (a ≤x ≤2a )

若a +b ≥c 恒成立⇒0

（2

） x 2+4a 2≥4a 2

x

4

当且仅当x 2=

4a 2即x =时取等号

4x

∴y min

即AD =AE , ED min 答：（1）用x 表示的y 的函数为

y (a ≤x ≤2a )

（2

）线路最短时，AD =AE ，此时DE ∥BC ；

.

18．解：设应供应洗衣机x 台，空调y 台，利润z ＝8x ＋6y ．

⎧20x +30y ≤300⎪10x +5y ≤110⎪ 则⎨

x ≥0⎪⎪⎩y ≥0

由图知当目标函数 的图象经过M 点时 能取得最大值， ⎨

⎧2x +3y =30⎩2x +y =22

⎧x =9⎩y =4

，

解得⎨

, 即M (9，4) ，

所以z ＝8×9＋6×4＝96(百元) 答：应供应洗衣机9台，空调6台，可使得利润最多达到9600元.

高级中学课程标准教科书教辅用书（配江苏实验版）

高中数学5

课课练 单元测试★参考答案

（2009年3月）

远方出版社