模块第二讲 电场中的运动与平衡

电场中的运动与平衡

【知识链接】

1、牛顿第二定律的表达式是

2、动能定理的表达式是3、（1）平抛运动的特点：速度沿方向，受力作用，受力方向与速度方向 ，运动轨迹为抛物线。

（2）处理平抛运动的方法：分解为水平方向的 ，竖直方向的 （3）运动规律：经过时间，

速度关系：V X = V y V 合

速度偏转角正切值tan θ=

位移关系：x= y=

【学习过程】

一、带电粒子的受力特点

1、对于基本粒子，如电子、质子、α粒子、正负离子等，除有说明或明确的暗示以外，在电场中运动时均不考虑重力。（但并不忽略质量）

2、对于宏观带电体，如液滴、小球、尘埃等，除有说明或明确的暗示以外，必须考虑重力。

二、带电粒子的加速

例1 图为两个带小孔的平行金属板，板间电压为U ，一带电粒子质量为m 、电荷量为－q ，从左孔以初速度V 0

进入板间电场，最终从右孔射出。不计粒子重力。求：粒子从右孔射出时的速度V ？

（1）由动力学知识求解（先求加速度，再根据运动学公式求V ） （2）由功能关系求解。（动能定理） （3）比较两种解法有什么不同？

思考：若粒子初速度为零，则从左孔进入，到右孔的速度是多少？

尝试应用：

1、如上图，氢核（1H ）、氘核（2、氚核（31H ）1H ）分别由左孔由静止释放，后由右孔射出，则： ⑴ 射出时的动能之比为________________ ⑵ 射出时的速度之比为________________

三、带电粒子的偏转

如果带电粒子垂直电场方向进入匀强电场，受力有什么特点？会做什么运动呢？（不计重力）

例2 如图，平行板间电压为U ，板间距离为d ，板长为L 1。一带电粒子质量为m ，电荷量为q ，以初速度v 0垂直于场强方向射入电场中，离开电场中沿直线打在光屏上。光屏到平行板近端的距离为L 2。不计粒子重力。求

（1）粒子在电场中运动的时间。 （2）图中的偏转距离y 。 （3）速度的偏转角θ 的正切值。 （4）光屏上对应偏距y ′（选做）。

尝试应用：

2、如上图，两质子分别以速度 v 和 2v 垂直场强方向射入同一匀强电场中，则两质子 ⑴ 在电场中运动时间之比为_______

⑵ 离开电场时沿场强方向偏移的距离之比为________

1

【课堂精讲】

题型一、带电粒子（物体) 在电场中的平衡问题

(1)带电粒子在电场中的平衡问题，实际上属于力学平衡问题，其中仅多了一个电场力而已。

(2)求解这类问题时，需应用有关力的平衡知识，在正确的受力分析的基础上，运用平行四边形定则、三角形法则或建立平面直角坐标系，应用共点力作用下物体的平衡条件去解决。

（例1）. 如图所示，在一电场强度沿纸面方向的匀强电场中，用一绝缘细线系一带电小球，小球的质量为m 、电荷量为q ，为保证当细线与竖直方向的夹角为θ＝60°时，小球处于平衡状态，则匀强电场的电场强度大小可能为( )

mg tan60°mg cos60°mg sin60°

C.

q q q

解析：取小球为研究对象，它受到重力mg 、细线的拉力F 和电场力Eq 的作用。因小球处于平衡状态，则它受到的合外力等于零，由平衡条件知，F 和Eq 的合力与mg 是一对平衡力，根据力的平行四边形定则可知，当电场力mg sin θ3mg

Eq 的方向与细线的拉力方向垂直时，电场力最小，如图所示，则Eq ＝mg sin θ得E ＝q 2q 场的场强大小可能值为E ≥

答案：ACD

（例二）、两平行金属板A 、B 水平放置，一个质量m ＝5×10

－

mg

q

3mg

。 2q

6

kg 的带电微粒以v 0＝2

m/s的水平初速度从两板正中央位置射入电场，如图1－5所示，A 、B 两板间的距离d ＝4 cm，板长L ＝10 cm。

(1)当A 、B 间的电压U AB ＝1 000 V时，微粒恰好不偏转，沿图中 图 1－5 直线射出电场，求该粒子的电荷量。

(2)令B 板接地，欲使该微粒射出偏转电场，求A 板所加电势的范围。

解析：(1)当U AB ＝1 000 V时，重力跟电场力平衡，微粒沿初速方向做匀速直线运动，由qU AB /d ＝mg 得：q ＝mgd /U AB

＝2×109 C。因重力方向竖直向下，故电场力方向必须竖直向上。又电场强度方向竖直向下(U AB >0)，所以微粒带负

－

电。

(2)当qE >mg 时，带电微粒向上偏。设微粒恰好从上板右边缘飞出时A 板电势为φ1，因φB ＝0，所以U AB ＝φ1。此时，微粒在水平方向做匀速运动，在竖直方向做加速度a ＝qφ1/(md ) －g 的匀加速运动，由d /2＝at 2/2和t ＝L /v 0得φ1

222

＝(m v 20d ＋mgdL )/qL ＝2 600 V。

当qE

答案：(1)2×109 C (2)600 V

φ

A

－

题型二、带电粒子(物体）在匀强电场和重力场的复合场中的运动

(1)由于带电粒子在匀强电场中所受的电场力与重力都是恒力，因此处理方法有两种： ①正交分解法：

处理这种运动的基本思想与处理偏转运动是类似的，可以将此复杂的运动分解为两个互相正交的比较简单的直线运动，而这两个直线运动的规律是可以掌握的，然后再按运动合成的观点去求出复杂运动的有关物理量。

②等效“重力”法：

F 合

将重力与电场力进行合成，如图所示，则F 合等效为重力场中的“重力”，a F 合的

m 方向等效为“重力”的方向，即在重力场中的竖直向下的方向。应用等效“重力”法解题时，要 注意灵活运用重力场中已熟知的一些结论。

(2)研究带电粒子在电场中运动的两种方法：

带电粒子在电场中的运动，是一个综合性的问题，研究的方法与质点动力学相同，它同样遵循运动的合成与分解、牛顿运动定律、动量定理、动能定理等力学规律，处理问题的关键是要注意区分不同的物理过程，弄清在不同的物理过程中物体的受力情况及运动性质，并选用相应的物理规律。在解题时，主要可以选用下面两种方法：

①力和运动关系——牛顿第二定律：根据带电粒子受到电场力，用牛顿第二定律找出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等，这种方法通常适用于在恒力作用下做匀变速运动的情况。

②功和能的关系——动能定理：根据电场力对带电粒子所做的功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理研究全过程中能量的转化，研究带电粒子的速度变化、经历的位移等。这种方法同样也适用于不均匀的电场。

(例）如图所示，在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ。现给小球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。试问：

(1)小球在做圆周运动的过程中，速度最小值多大？ (2)小球在B 点的初速度多大？

mg [解析] 小球在做圆周运动的过程中，所受的重力和电场力均为恒力，这两个力的合力的大小为F ＝cos θF g

力场与电场的叠加场叫做等效重力场，F 叫做等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g 效＝，其方向

m cos θ斜向右下方，且与竖直方向成θ角。小球在竖直面内做圆周运动的过程中，由于只有等效重力做功，细线的拉力不做功，所以动能与等效重力势能可以相互转化，且总和保持不变。与重力势能类比可知，等效重力势能E p ＝mg 效h ，其中h 为小球距等效重力势能零势能面的高度。

(1)设小球静止时的位置B 为零势能点，根据动能与等效重力势能的总和不变可知，小球位于与B 点对应的同一直径上的A 点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小。设小球在A 点时速度为v A

，此时细线拉力为零，等效

重力提供向心力，即

2m v mg 效＝

l

解得小球的最小速度为： v A ＝lg 效＝

① cos θ

(2)设小球在B 点的初速度为v B ，根据能量守恒定律有： 1212m v 2l ② B ＝m v A ＋mg 效·22将①式代入②式解得：v B [答案] (1)

(2) cos θ

cos θ cos θ

题型三、带电粒子（物体）在交变电场中的运动问题

带电粒子在交变电场中运动情况一般比较复杂，由于不同时段受力不同，运动也不同，若用常规方法分析，将会很烦琐，较好的分析方法是画出带电粒子的速度－时间图像帮助分析，画图像时，应注意v —t 图中，加速度相同的运动一定是平行的直线，图线与坐标轴所夹面积表示位移，图线与t 轴有交点，表示此时速度反向，当然，有的规律不太一样的运动，则要分段进行分析。

（例）如图甲所示的平行板电容器A 、B 两板上加上如图乙所示的交变电压，开始B 板的电势比A 板高，这时两板中间原来的静止的电子在电场力作用下开始运动，设电子在运动中不与极板发生碰撞，则下述说法正确的是(不计

电子重力)( )

A ．电子先向A 板运动，然后向B 板运动，再返向A 板做周期性来回运动

B ．电子一直向A 板运动 C 电子一直向B 板运动

D ．电子先向B 板运动，然后向A 板运动，再返回B 板做来回周期性运动

解析：由运动学和动力学规律画出如图所示的v —t 图像可知，电子一直向B 板运动，C 正确。

答案：C

题型四、带电粒子在电场中运动轨迹的判断

①粒子受到的电场力方向一定沿________________的切线方向。 ②判断电性根据___________________________； ③判断a 、E 、F 根据__________________________； ④判断v 、

EK 的大小根据________________________；

⑤判断Ep 的大小________________________；

⑥判断电势的高低根据______________________________．

（例）. 如图所示，虚线a 、b 和c 是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为ϕa 、ϕb 和ϕc ，ϕa ＞ϕb ＞ϕc . 一带正电的粒子射入电场中，其运动轨迹如实线KLMN 所示，由图可知

A 、粒子从K 到L 的过程中，电场力做负功 B. 粒子从L 到M 的过程中，电场力做负功 C 、粒子从K 到L 的过程中，电场能增加 D. 粒子从L 到M 的过程中，动能减少

解析：由粒子运动轨迹可以判断，场源电荷是正电荷。根据正电荷电场线的分布可知K 到L 是逆着电场线方向运动，做负功，电场能增加。

答案：A C

【随堂精练】

1．如图所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A 、B ，上、下细线

受力分别是T A 、T B 。现在使A 、B 带同号电荷。此时上、下细线受力分别

为T A ’、T B ’，则：

A ．T A ’=TA ，T B ’>TB B．T A ’=TA ，T B ’

C ．T A ’TB D．T A ’>TA ，T B ’

2. 如图所示，用绝缘细绳悬吊一质量为m 、电荷量为-q 的小球，在空间施加一水平方向的匀强电场，使小球保持静止时细线与竖直方向成θ角，则电场强度的大小和方向为

A．

m g sin θm g cos θ

，向左 B．，向右 q q

C ．

m g tan θm g cot θ

，向左 D．，向右 q q

3．水平放置的充电平行金属板相距为d ，其间形成匀强电场，一质量为m ，带电量为+q 的油滴从下板边缘射入，路

径如图直线所示，则

A. 场强方向竖直向下

B. 由此可求得油滴的初速度v 0

C . 两板间电势差为

m gd

q

D. 油滴的电势能增加了2mgd

4．竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A 、B 带有同种电荷。现用指向墙面的水平推力F 作用于小球B ，两球分别静止在竖直墙和水平地面上，如图所示，如果将小球B 向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较

A ．推力F 将变大

B ．竖直墙面对小球A 的弹力变大 C ．地面对小球B 的支持力不变 D ．两小球之间的距离变大

5．质量相同的小球A 、B 分别带有+3q 和-q 电量，两段等长绝缘细线悬挂在O 点如图（a ）所示，当系统处于水平向右的匀强电场中并静止时，可能出现的状态应是

6、如图所示，在电场线与水平方向夹角为θ的匀强电场中，有一质量为m 、带电量为q 的小球，用长为L 的细绳悬挂于O 点，当小球静止时，细绳恰好呈水平状态，现将小球沿虚圆弧线缓慢拉到竖直方向最低点，此过程小球带电量不变，则外力所做的功为

sin(45︒+θ)

A ．mgL ( －1) B ．mgL

sin θ

C ．mgL cot θ D ．mgL tan θ 7、如右图所示，A 、B 为平行金属板，两板相距为d ，分别 与电源两极相连，两板的中央各有一小孔M 和N 。今有一带电 质点，自A 板上方相距为d 的P 点由静止自由下落（P 、M 、 N 在同一竖直线上），空气阻力忽略不计，到达N 孔时速度恰

好为零，然后沿原路返回，若保持两极板间的电压不变，则 A 、把A 板向上平移一小段距离，质点自P 点自由下落后仍能返回

B、把A 板向下平移一小段距离，质点自P 点自由下落后将穿过N 孔继续下落 C 、把B 板向上平移一小段距离，质点自P 点自由下落后仍能返回

D 、把B 板向下平移一小段距离，质点自P 点自由下落后将穿过N 孔继续下落

8．一质量为m ，带电量为+q 的小球，用长为L 的绝缘线悬挂在水平向右的匀强电场中，开始时把悬线拉到水平，小球在位置A 点。然后将小球由静止释放，球沿弧线下摆到α=60°的B 点（如右图所示），此时小球速 度恰好为零，则匀强电场场强大小为

A ．E =

mg mg

B．E = q 3q

C．E =

m g 3mg D．E = 2q 2q

提示：由动能定理得：mgL sin 60︒-qEL (1-cos 60︒) =0，解得E =9、一个带正电的微粒，从A 点射入水平方向的匀强

电场中，微粒沿直线AB 运动，AB 与电场线的夹角为α， 已知带电微粒的质量为m ，带电量为q ，A 、B 相距L 。则 （1）带电微粒在电场中做什么运动？ （2）电场强度的大小和方向？

（3）要使微粒从A 点恰能运动到B 点，微粒进入电场时 的速度是多大？ 解答：（1）做匀减速直线运动

（2）带电微粒在电场中受力如图所示： 所以：Eq ＝mg cot α

mg

． q

A

mg cot α⇒E =

q

方向：水平向左

（3）根据动能定理：W 合＝ΔE K -mgL sin α-EqL cos α=0-

12mv 02

v 0=

2gL

sin α

4

10．如图所示，隔ab 、cd 为一时水平放置的平行金属板，两板间距d ＝0.1m ，板长L=2.0m，两板间电势差U=1.0×10V 。一带负电荷的滴以初速度v 0=10m/s，由两板中央沿垂直电场强度方向射入板间电场区，设电场区域仅限于两平行板之间。

（1）说明在带电油滴荷质比不同时，该油滴射入 电场后的几种典型运动情况，指出运动性质。

（2）求出上述几种典型情况中荷质比应满足

2

的条件。（取g=10m／s ）

解：(1)滞电抽滴在电场中受重力G=mg和电场力F=qE，有以下三种典型的运动情况：

①F ＞G 时，油滴向上偏转。当电场力F 大于一定值时，油滴打在上极板上而无法飞出偏转电场。

②F ＝G 时，油滴不发生偏转而沿

v 0

方向直线通过电场区域。

③F

力F 与G 均为恒力，F 与G 的合力方向必定沿竖直方向，离子在电场中作匀变速曲线运动（第②种情况除外）。

121qE -mg l 2d （2）当离子沿竖直方向的位移为y =at =⋅⋅2≥时，离子打在上极板上此时

22m v 02

2

q d dv 0

≥(2-g ) =1. 25⨯10-4C /Kg m U l

11．如图所示，在绝缘水平面上，相距为L 的A 、B 两点处分别固定着两个等量正点电荷。a 、b 是AB

连线上两点，

其中Aa =Bb =L /4，O 为AB 连线的中点。一质量为m 带电量为+q 的小滑块（可视为质点）以初动能E 0从a 点出发，沿AB 直线向b 运动，其中小滑块第一次经过O 点时的动能为初动能的n 倍（n >1），到达b 点时动能恰好为零，小滑块最终停在O 点。求：

⑴小滑块与水平面间的动摩擦因数μ。 ⑵Ob 两点间的电势差U ob 。 ⑶小滑块运动的总路程S 。

解：⑴由Aa=Bb=L/4 O为AB 连线的中点，得a 、b 关于O 点对称，则： Uab =0 设小滑块与水平面间摩擦力大小为f 小滑块由a 到b 0－E 0=－fL/2 +Uab q F=μN N=mg 故μ=2E0/(mgL)

⑵对小滑块由o 到b 0—nE 0=－fL/4 ＋U 0b q 故U 0b ＝（

1

－n ）E 0/q 2

⑶对小滑块从a 开始到最终O 点停下过程由动能定理得 Ua0q －fs=0－E 0 Ua0=－U ob =(n－

1

)E 0/q S=(2n+1)L/4 2

13、如图所示，A 、B 为带不同种电荷且大小相同的导体 小球，均可看作点电荷。B 球的带电量为A 球的三倍。现将 A 球固定于倾角为θ的绝缘斜面的底端，已知B 球的质量为 m 。则B 球在斜面上离A 球多远处能保持静止？若用绝缘工具将B 球与A 球接触后再放回原处，则B 球的加速度如何？

提示：设A 球带电量为Q ，A 、B 间距离为l 。由库仑定律可得B 球所受库仑力为

Q ⋅3Q

F =k 2，由平衡条件可得mgsin=F，从而l =

l

3kQ 2

。

mg sin θ

若用绝缘工具将B 球与A 球接触，由于两球为大小相同的导体小球，将平分电量，A 、B 各带电量

Q '=

Q +3Q

=2Q 。将B 球放回原处后所受库仑力变为 2

Q '⋅Q '4Q 244F '=k =k =F =mg sin θ 22

33l l

由牛顿第二定律可得B 球的加速度a =

F '-mg sin θ1

=g sin θ，方向沿斜面向上。

m 3

13、如图所示，平行金属板与水平方向成θ角，板间 距离为d ，板间电压为U ，一质量为m 的带电微粒，以水 平初速度v 0从下板左端边缘进入板间，结果正好沿水平直 线通过从上板右端上边缘处射出，求：（1）微粒带电量 （2）微粒离开电场时的动能。

解：（1）微粒做直线运动，故合力在水平方向上， 电场力方向只能是斜向上。微粒带正电。受力如图。

qE cos θ=mg

q =

mg E cos θ

（2）重力不做功（高度不变），电场力做功，由动能定理可得：

1212qU =E k 2-mv 0E k =qU +mv 0

22 即：

qE

14、如图所示，用长为l 的绝缘细线拴一个质量为m 、带电量为 +q 的小球（可视为质点）后悬挂于O 点，整个装置处于水平向右的匀强电场E 中。将小球拉至使悬线呈水平的位置A 后，由静止开始将小球释放，小球从A 点开始向下摆动，当悬线转过60︒角到达位置B 时，速度恰好为零。求： （1）B 、A 两点的电势差U BA ； （2）电场强度E ；

（3）小球到达B 点时，悬线对小球的拉力T 。 解．（1）根据动能定理： mgl sin60︒ - qU BA = 0，

B 、A 两点的电势差 U BA =

mgl sin 60︒3mgl

=

q 2q

（2）电场强度 E =

U BA 32q 3mg

==

d l 1-cos 60︒q

（3）小球到达B 点时，悬线对小球的拉力T 、重力

沿半径方向的分力mg cos30︒、电场力沿半径方向的分力 qE cos60︒的合力是向心力：

2mv B

T -mg cos 30︒-qE cos 60︒=

l

因为 v B = 0 解得 T = 3mg

E

图答 - 3

15．如图所示的绝缘轨道ABC ，其中AB 部分是倾角为37°、长为2.0m 的光滑斜面，BC 部分是动摩擦因数μ=0.3的水平面，现有一质量为1.0kg 的小物块m ，从A 处无初速开始沿轨道下滑，滑到C 处恰好停止（忽略小物块由斜面滑至水平面时的能量损失）。求：

（1）小物块沿水平面从B 滑行到C 的距离l 多大？

-5

（2）若在BC 水平面上距离A 点及B 点等距的D 位置，固定一电荷量为Q=5.0×10C 的点电荷, 并让小物块也带等量同种电荷．如果选无穷远处的电势为零，两相距为r 的点电荷Q 1、Q 2间的电势能公式为：E p =

k Q 1Q 2

，r

k =9.0⨯109N ⋅m 2/C2．现用平行于轨道的外力，将小物块从C 推至A 位置，为求此过程中外力至少需做的功W ，甲、

乙两位同学分别列出了下面两个式子：

甲： W -μmgl -mgl AB sin37-E pA +E pC =0； 乙：W -μmgl -mgl AB sin37-E pA -E pC =0。

请判断哪位同学的列式是正确的，并求出正确的结果（g 取10m/s）。

解答：（1）小物块从A 运动

到C 过程，由动能定理得

2

︒

︒

mgl AB sin37︒-μmgl =0 l =

l AB sin 37︒

μ

=4m

（2）甲同学的列式是正确的

l AB Q 2

=1.25m ， 小物体在C 电势能为E pC =k B 到D 位置的距离 r =，在A 处时的电势能为

2cos37︒(l +r )

2

E =k Q pA

r

W -μmgl -mgl ︒AB sin37-E pA +E pC =0

代入数据可得 W =37.7J

16、如图所示，两块平行金属板A 、B 带

有等量异种电荷，竖直固定在光滑绝缘的小车 上，小车的总质量为M ，整个装置静止在光滑 的水平面上。质量为m 、带电量为q 的小球以 初速度v 0沿垂直金属板的方向从B 板底部小 孔射入，且恰好不与A 板相碰，求A 、B 金属 板间的电势差？

解：由于水平面光滑，所以小车与小球系统水平方向动量守恒，即mv 0=（m ＋M ）v 设两板间电势差为U ，两板间距为d ， 对车据动能定理：q U 12

d S=2 M v

对小球据动能定理：q U d （S ＋d ）=12 212

022

由上式联立解得：U=Mmv 0

2q （M+m）

17、如图所示，在竖直向下的匀强 电场中，使一个带负电的小球从斜轨道

上的A 点由静止沿轨道滑下，若使小球

通过半径为R 的圆轨道顶端的B 点时不 落下来，求至少应使A 点在斜轨道上

的高度h 为多少？（设轨道光滑绝缘，

小球的重力大于所受的电场力）

E 图16

解：设小球的电量为-q ，质量为m, 场强为E ，小球通过圆环最高点B 时有：

11 / 13

mg -Eq v 2

R mg -Eq ≤m v 2≥

m R

小球在从A 到B 过程，根据动能定理W =∆E k 可得

mg -Eq 12

R mv -0其中v 2≥

m 2

15

所以 h -2R ≥R 即 h ≥R

22

(mg -Eq ) ∙(h -2R )=

28. 当滑片P 从a 缓慢滑向b 时，处在光滑绝缘的

半圆（半径为R ）形碗底部的质量为m 的带电小球， 从碗底部M 缓慢运动至碗口N ，在此过程中电场力对 小球做了 的功，碗对小球作用力的最小值为 。(平行板与水平方成37°角)

答案：mgR, 3mg/5

19、带有等量异种电荷的两个平行金属板A 和B 水平放置，相距为d (d远小于板的长和宽) ，一个带正电的油滴M 浮在两板正中央，处于静止状态，其质量为m , 带电量为q ，如图15所示. 在油滴正上方距A 板高度为d 处有另一质量为m 的带电油滴N 由静止开始释放，可穿过A 板上的小孔进入两板间并与M 相碰，碰后结合成一个大油滴. 整个装置放置在真空环境中，不计油滴M 和N 间的万有引力和库仑力以及金属板的厚度，要使油滴N 能与M 相碰且结合后又不至于同金属板

B

(1)金属板A 、B 间的电势差是多少?

(2)油滴N 带何种电荷，电量可能为多少? 解：(1)由M 油滴的平衡条件知

mg =

qU BA m gd

U AB ＝－ d q

(2)要使M 、N 相碰后不至于到B 板，N 应

带正电

设N 的带电量为Q ，则N 、M 所以Q ＞

mg (d +

111

d )-QU BA ＝mv ２＞0 222

3m gd

=3q U BA

1v 2

1d 1２

(2m ) v ′+2mg ＜(q +Q ) U BA 222

N 、M 相碰时 mv =2mv ′ v ′=N 、M 结合成大油滴不能到B

所以Q ＞

55

q ⇒q ＜Q ＜3q 33

20．如图所示，A 、B 、C 为三块水平放置的金属板，板的厚度不计，相邻两板的间距为d 。A 、B 两板的中心有小孔。电路中的三只电阻阻值均为R 电源的内阻也为R 。现有一个质量为m 的带负电液滴，在距A 板中央小孔正上方相距d 的P 点处，由静止开始下落，不计空气阻力。当它到达C 板时速度恰好减小为零。求：

⑴液滴通过B 板中央小孔时的速度大小。 ⑵液滴从P 处下落到B 板中央小孔的过程中 电势能变化量是多少？

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答案： ⑴7gd ⑵1.5mgd

21、如图所示，三块相同的金属板A 、B 、C 自上而下水平放置，间距分别为h 和d ，A 、B 两板中心开孔，在A 板的孔上有一金属容器P ，与A 接触良好，其内部盛有导电液体。A 板通过闭合的电键S 与电动势为U 0的电池的正极相连，B 板与负极相连并接地，容器P 内的导电液在底部O 处形成质量为m ，电量为q 的液滴后自由下落，穿过B 板的孔O ′落在C 板上，其电荷被C 板吸附，液体随时蒸发，接着容器底部又形成相同的带电液滴自由下落，如此继续，整个装置放在真空中，求：（1）第一个液滴到达C 板时的速度

-12

（2）C 板最终可达到的电势。（3）设液滴电量是A 板的·n ·倍（n=0.02），A 、B 板构成电容器的电容C 0=5×10F ，U 0=1000V，·· ·····

2m=0.02g，h=d=5cm，试计算C 板的最终电势值（g=10m/s）。（4）如果S 不始终闭合，而只是在第一滴形成前闭合一下，随即打开，其他条件与（3）相同，C 板最终能达到的电势值是多少？

2qU 0

答案：（1）U =2g (h +d ) +

m

（2）U =U 0+

mg (h +d )

q

5

P

（3）U =2. 01⨯10V

（4）1000V

22、测量电子荷质比e/m的精确的现代方法之一是双电容器法，装置如图，在真空管中由阴极K 发射电子，其初速度可以忽略不计。此电子被阴极K 与阳极A 间的电场加速后穿过屏障D 1上的小孔，然后顺序穿过电容器C 1、屏障D 2上的小孔（小孔足够小）和第二个电容器C 2而射击到荧光屏F 上。阳极和阴极间的电势差为U 。在电容器C 1、、C 2之间加有频率为f 的完全相同的正弦交流电压，C 1、C 2之间的距离为l 。两电容器的板长远小于l ，选择频率f 使电子束在

e 2f 2l 2

荧光屏上的亮点不发生偏转，试证明电子有荷质比为=2，其中n 为正整数。

m n U

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