平面向量数量积的概念和物理意义导学案
华山中学 高一数学◆必修4◆导学案 编写： 校审：
§2.4.1平面向量的数量积的
1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；
2. 掌握数量积的运算式及变式； 3. 掌握模长公式.
⑷a =b ，即ab ⋅=aa ⋅
a =
⑸因为cos θ≤1，所以a ⋅b .
※ 典型例题
例1 已知a =6，b =8，且a //b ，求a ⋅b .
变式：若a ⊥b ，则a ⋅b 是多少？
小结：a ⋅b 的几何意义是数量积a ⋅b 等于a 的长度
a 与b 在a 的方向上的投影b cos θ的乘积.
例2 在平行四边形ABCD 中，AB =4，BC =2，
∠
BAD
=120 ，求AB ⋅AD .
1
⑵求下列特殊角的余弦值: 0,
πππ2π5π
632, , , 3, 6
, π
二、新课导学 ※ 学习探究
问题1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功 ，其中θ是F 与s 的夹角.
思考：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？
a b 新知：已知两个非零向量和，我们把数量
a b cos θ叫做a 和b 的数量积（inner product）（或
内积），记作a ⋅b ，即a ⋅b =a b cos θ.
其中θ是a 和b 的夹角，a cos θ叫做向量a 在b 方
c s θ叫做向量b 在a 方向上的投影（projection ）b o
向上的投影. 如图，OB 1=b cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
结论：⑴θ=0，a ⋅b
⑵θ=90，即a ⊥b ，a ⋅b ；
⑶θ=180，a ⋅b
※ 动手试试
练1. 已知p =8，q =6，p 和q 的夹角是30 ，
求p ⋅q ；夹角是45 呢？90 呢？.
练2. 判断下列命题的真假，并说明理由.
⑴在∆ABC 中，若AB ⋅BC
⑵在∆ABC 中，若AB ⋅BC >0，则 ABC 是钝角三角形；
⑶∆ABC 为直角三角形，则AB ⋅BC =0.
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 向量数量积的定义； 2. 由定义推出的相应结论.
※ 知识拓展
对比向量的线性运算，同学们能发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是
2
及其夹角有关.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设a =12，b =9，a ⋅b =-，则a 与b 的夹角θ为（ ）
A. 45 B. 135 C. 60 D. 120
2. 已知 ABC ，AB =a ，AC =b ，当a ⋅b =0时， ABC 为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
3. 已知平面内三个点A (0, -3), B (3,3), C (1, -1)，则
向量AB 与BC 的夹角为（ ）
A. 0 B. 90 C. 60 D. 180
4. 已知a =3，b =5，且a ⋅b =12，则向量a 在
向量b 的方向上的投影为 .
2
5. 已知向量a 满足a =8，则a =.
1. 若a , b , c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是（ ）
A. a +b +c =a +b +c
B. a +b ⋅c =a ⋅c +b ⋅c
C. m a +b =ma +mb
D. a ⋅b ⋅c =a b ⋅c
2. 已知a =6, a 与b 的夹角为60 ，且 a +2b ⋅a -3b =7-2b 为（ ） ，则
(())
()
()
())(
()
()
A. 16 B. 6 C. 5 D. 4
3.
已知a =1, b =，且a -b 与a 垂直，则a 与
b 的夹角为（ ）
A. 60 B. 30 C. 135 D. 45
4. a =3, b =4，且a 与b 的夹角为150 ，则
()
2
a +b .
5. 已知a =2, b =5, a ⋅b =-3，则a +b
a -b .
()
6非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a +b |，则a ，b 的夹角为 .
7、已知a =3，b =5，且a ⋅b =12，则a 在b 方向上的投影为 .
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8、已知a =10，b =12，a 与b 的夹角为120︒. 求：
（1）a ⋅b ；
（2）(3b -2a ) ⋅(4a +b ) .
9、已知a =2，b =3，a 与b 的夹角为60 ，求：
2 2
⑴a ⋅b ；⑵a -b ；⑶2a +b ⋅a +3b ；⑷a +b .
()()
10、 已知a =3, b =4，且a 与b 不共线，k 为何
值时，向量a +kb 与a -kb 互相垂直？
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