高三数学 不等式.平面向量总复习
不等式
一、 知识结构
⎧一元二次不等式及其解法⎪
1、不等关系与不等式⎨二元一次不等式(组)与平面区域→简单线性规划问题
⎪基本不等式→最值问题⎩
2、主要学习分类讨论思想方法和结合函数的思想方法。
3、不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式、简单线性规划. 二、 不等式基本知识点
1. 不等(等)号的定义:a -b >0⇔a >b ; a -b =0⇔a =b ; a -b
4. 同解不等式与不等式的同解变形. 5. 性质
(1)a >b ⇔b b , b >c ⇒a >c (传递性) (3)a >b ⇒a +c >b +c (加法单调性) (4)a >b , c >d ⇒a +c >b +d (同向不等式相加) (5)a >b , c b -d (异向不等式相减) (6)a . >b , c >0⇒ac >bc
(7)a >b , c
(8)a >b >0, c >d >0⇒ac >bd (同向不等式相乘)
(9)a >b >0,0
a b
>(异向不等式相除) c d
(10)a >b , ab >0⇒
11
(11)a >b >0⇒a n >b n (n ∈Z , 且n >1) (平方法则) (12)a >b >0⇒a >b (n ∈Z , 且n >1) (开方法则)
三、 几个重要不等式 (1)若a ∈R , 则|a |≥0, a 2≥0
(2)若a 、b ∈R +, 则a 2+b 2≥2ab (或a 2+b 2≥2|ab |≥2ab ) (当仅当a=b时取等号) (3)(基本不等式)如果a , b 都是正数,那么
极值定理:若x , y ∈R +, x +y =S , xy =P , 则:
1如果P 是定值, 那么当x=y时,S 的值最小; ○
2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. ○
利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等
a +b
. (当仅当a=b时取等号)
2
(4)若a 、b 、c ∈R +, 则
a +b +c a=b=c时取等号) 3
b a
(5)若ab >0, 则+≥2(当仅当a=b时取等号)
a b
(6)a >0时,|x |>a ⇔x 2>a 2⇔x a ;
(7)若a 、b ∈R , 则||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |。 四、 几个著名不等式
|x |
a +b (当仅 (1)平均不等式: 如果a , b 都是正数,那么
112+a b
2
当a=b时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数):
a +b 2a 2+b 2a +b 2a 2+b 2
) ==ab ) ) ≤特别地,ab ≤((当a = b 时,(2222
a 2+b 2+c 2⎛a ++b +c ⎫
≥ ⎪(a , b , c ∈R , a =b =c 时取等)
33⎝⎭
222
⇒幂平均不等式:a 1+a 2+... +a n ≥
2
1
(a 1+a 2+... +a n ) 2 n
常用不等式的放缩法:
1111111①-=
n n +1n (n +1) n n (n -1) n -1n
=
若a 1, a 2, a 3, , a n ∈R , b 1, b 2, b 3 , b n ∈R ; 则
2222222
(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+ +a n b n ) 2≤(a 1+a 2+a 3+ +a n )(b 12+b 2+b 3+ b n )
a 3a n a 1a 2
当且仅当=== =时取等号
b 1b 2b 3b n 5. 不等式证明的几种常用方法:
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6. 不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论;
②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0) 解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f (x )
>0⇔f (x ) g (x ) >0; g (x )
⎧f (x ) g (x ) ≥0f (x )
≥0⇔⎨
g (x ) ≠0g (x ) ⎩
(3)无理不等式:转化为有理不等式求解
1
⎧f (x ) ≥0⎫
⎪⎬⇒定义域 >⎨g (x ) ≥0⎭⎪f (x ) >g (x ) ⎩
⎧f (x ) ≥0⎧f (x ) ≥0
⎪f (x ) ≥0⎧ ○2f (x ) >g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0 ○3f (x ) [g (x )]
(4)指数不等式:转化为代数不等式
a f (x ) >a g (x ) (a >1) ⇔f (x ) >g (x ); a
f (x )
a f (x ) >a g (x ) (0
>b (a >0, b >0) ⇔f (x ) ⋅lg a >lg b
(5)对数不等式:转化为代数不等式
⎧f (x ) >0
⎪
log a f (x ) >log a g (x )(a >1) ⇔⎨g (x ) >0;
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x )(00
⎪f (x )
(6)含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值、应用数形思想应、用化归思
想等价转化
(7)恰成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立, 则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ; 若不等式f (x )
简单的线性规划问题
1、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式. 2、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
3、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(x , y ),所有这样的有序数对(x , y )构成的集合.
4、在平面直角坐标系中,已知直线Ax +By +C =0,坐标平面内的点P(x 0, y 0). ①若B>0,Ax 0+By 0+C >0,则点P(x 0, y 0)在直线Ax +By +C =0的上方. ②若B>0,Ax 0+By 0+C
①若B>0,则Ax +By +C 0>表示直线Ax +By +C =0上方的区域;
Ax +By +C
②若B表示直线Ax +By +C =0下方的区域;
Ax +By +C
6、线性约束条件:由x ,y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是x ,y 的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ,y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为x ,y 的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解(x , y ). 可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
例1. 已知1≤a +b ≤5, -1≤a -b ≤3,求3a -2b 的取值范围。
例2. 若a >b >0, 比较a b 与(ab )
a
b
a +b 2
的大小。
(1) 解关于x 的不等式-x 2+3x -3
(2) 解关于x 的不等式(x -2)(ax -2)>0。
⎧7x -5y ≤23⎪
(3) 求非线性目标函数的最值问题,已知⎨x +17y ≤11,
⎪4x +y ≥-10⎩
x -1
>2。 x -3
i. ii.
求z =4x -3y 的最大值最小值; 求u =x 2+y 2的最大值最小值.
例3. (1)若a >0, b >0. 且a +b =1,证明:
(2)已知x >0, y >0且 基础练习
1. 设a 、b 是正实数,以下不等式 ①
11
+≥4. a b
19
+=1,求x +y 的最小值。 x y
a 2+b 2>4ab -3b 2,④
恒成立的序号为( )
(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④ 2. 若00的解集为 ( ) 3. A .a
1111 B .x >或x a a a a a
已知-1≤x +y ≤1,1≤x -y ≤3,则3x -y 的取值范围是________________.
c
已知a >b >c ,且a +b +c =0, 则的取值范围是______________.
a 1t +1
设a >0且a ≠1, t >0,比较log a t 和log a 的大小_____________.
22
21
设a >2,p =a +,q =2-a +4a -2,试比较p , q 的大小________________.
a -2
下列命题中正确的是( )
1
A、y =x +的最小值是2
x 2 B
、y =的最小值是2
4
C、y =2-3x -(x >
0) 的最大值是2-
x 4
D、y =2-3x -(x >
0) 的最小值是2-
x
若x +2y =1,则2x +4y 的最小值是______________.
1a
9.
10. (1)不等式(x -1)(x +2) 2≥0的解集_________________________。
(2
)不等式(x -≥0的解集是______________.
11. (1) 若不等式|3x +2≥||2x +a 对|x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为
________________.
(2) 不等式x -4+x -3>a 对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围
12. mn
13. 若n
∈N *
(n +1)
14. 若
a 、b 、c 是不全相等的正lg a +b b +c c +a 2+lg 2+lg 2
>lg a +lg b +lg c .
⎧x -y +2≤0
15. 满足约束条件⎪
⎨x +y -7≤
0, .
⎪⎩
x ≥1
16.
(Ⅰ)求使不等式f (x ) 数,求证:
17. 已知曲线C :y =4x , C n :y =4x +n (n ∈N *) ,从C 上的点Q n (x n , y n ) 作x 轴的垂线,
交C n 于点P n ,再从点P n 作y 轴的垂线,交C 于点Q n +1(x n +1, y n +1) ,设
(1)求数列{x n }的通项公式; (2{
c n }的前n 项和为S n ,试比较S n
(n ∈N *) ; (3{d n }的前n 项和为T n ,试证明:
平面向量
知识点归纳
一. 向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行
③单位向量:模为1个单位长度的向量④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量
2、向量加法:设AB =a , BC =b ,则a +b =AB +BC =AC
(1)0+a =a +0=a ;(2)向量加法满足交换律与结合律;
AB +BC +CD + +PQ +QR =AR ,但这时必须“首尾相连”.
3、向量的减法:
① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量
②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差,③作图法:a -b 可以
表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点)
4、实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)λa =λ⋅a ; (Ⅱ)当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ
时,λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λa =05、两个向量共线定理:
向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =λa 6、平面向量的基本定理:
如果e 1, e 2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,
有且只有一对实数λ1, λ2使:a =λ1e 1+λ2e 2,其中不共线的向量e 1, e 2叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底二. 平面向量的坐标表示
1平面内的任一向量a 可表示成a =xi +yj ,记作a =(x,y)。
2
(1)若a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则a ±b =(x 1±x 2, y 1±y 2)
(2)若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1)
(3)若a =(x,y),则λa =(λx, λy)
(4)若a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则a //b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0
(5)若a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则a ⋅b =x 1⋅x 2+y 1⋅y 2
若a ⊥b ,则x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0
三.平面向量的数量积 1两个向量的数量积:
已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ
叫做a 与b 的数量积(或内积) 规定0⋅a = a ⋅b
2 向量的投影:︱b ︱cos θ=∈R ,称为向量b 在a |a |
对值称为射影
3数量积的几何意义: a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:a ⋅a =a 2=|a |5乘法公式成立:
2 2 2 2
a +b ⋅a -b =a -b =a -b ;
()() (a ±b )=a ±2a ⋅b +b
2
2
2
2 2=a ±2a ⋅b +b
6平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:a ⋅b =b ⋅a
②对实数的结合律成立:(λa )⋅b =λa ⋅b =a ⋅λb (λ∈R )
()()))
③分配律成立:a ±b ⋅c =a ⋅c ±b ⋅c =c ⋅a ±b
()
(
特别注意:(1)结合律不成立:a ⋅b ⋅c ≠a ⋅b ⋅c ;
()(
(2)消去律不成立a ⋅b =a ⋅c 不能得到b =c ⋅
(3)a ⋅b =0不能得到a =0或b =0
7两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ,则a ·b =x 1x 2+y 1y
8 向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b , 则∠AOB=θ
(0≤θ≤180)叫做向量a 与b 的夹角 a ∙b
cos θ=cos =
a ∙b 0
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=0,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,
同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 0
9垂直:如果a 与b 的夹角为90则称a 与b 垂直,记作a ⊥b
10.两个非零向量垂直的充要条件:
a ⊥b ⇔a ·b =O ⇔x 1x 2+y 1y 2=
11. 若P 1P =λPP 2,则称点P 分有向线段P 1P 2所成的比为λ。
注意:“定比”不是“比”,点分有向线段所成的比,是用数乘向量定义的,而不是两个向量的比。
当P 为外分点时λ为负,内分点时λ为正,直线P 1P 2外一点o ,有
=
→→→
λλ+1
OP 1+
1
OP 2. λ+1
P 为中点时λ=1,若起点P 1(x1,y 1) ,终点P 2(x2,y 2) ,则分点P (x0,y 0) 的坐标为:x 0=
x 1+λx 2y +λy 2
,y 0=1。 1+λ1+λ
由此推出:中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC 中,若A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、
x +x +x y +y 2+y 3
C (x 3,y 3),则⊿ABC 的重心G (123,1)。
3312. 关注点、函数图象(曲线)按某向量平移导致的坐标、解析式(方程)的变化;点M(x,y)按向量a (m,n)平移得到点M ‘(x+m,y+n);曲线C :f(x,y)=0按向量(m,n)平移得到曲线C /:f(x-m,y-n)=0。函数图象(曲线)按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左(右)、向上(下)平移,再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。[注意]:向量无论怎样平移,其坐标都不发生变化。
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例1.
B 是y 轴上的动点,过B 作AB 的垂线l 交x 轴于点Q ,若
AP +AQ =2AB , M (4,0).
(1)求点P 的轨迹方程;
(2)是否存在定直线x =a ,以PM 为直径的圆与直线x =a 的相交弦长为定值,若存在, 求出定直线方程; 若不存在, 请说明理由。
例2. 在∆ABC 中,角
→
A , B , C 的对边分别为a , b , c , 向量
→
(A s (A n m =(c o -B ), s i -B )),n =(cos B , -sin B ),
(1)求sin A 的值;
(2
b =5, 求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影.
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−−→−−→
基础练习
1. 如图,在∆ABC 中,AD ⊥
AB AD =
1 )
2. 若|a +b |=|a -b |=2|a |,则向量a +b 与a 的夹角为( )
A .
π
6
B.
π
3
C.
3
3. 在△ABC 中,sin A =,AB ⋅AC =8,则△ABC 的面积为( )
5
12
A.3 B.4 C.6 D.
5
4. 设x ∈R ,向量a =(x ,1), b =(1,-2), 且a ⊥b ,则|a +b |=( ) A B C D.10
2π5π D. 36
5. 在△ABC 中,M 是AB 边所在直线上任意一点,若CM =-2CA +λCB ,则λ=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6. 已知a 、b 是平面向量,若a ⊥(a -2b ) ,b ⊥(b -2a ) ,则a 与b 的夹角是
7. 已知|a |=|b |=|a -2b |=1,则|a +2b |=( )
A .9 B.3 C.1 D.2
8. a 与b 共线,则实数λ= ( ) A. -1 B.1 C.-3 D.3
9. 已知点A (1,2)、B (4,2),向量AB 按a =(1,3)平移后所得向量的坐标为( )
A (3,0) B(4,3) C(-4,-3) D(-4,3)
π
10. 若把一个函数的图象按a =(-,-2)平移后得到函数y=cos x 的图象,则
3
原图象的函数解析式为 ( )
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→
→
ππ
) -2 B.y=cos(x -) -2 33ππ
C .y=cos(x+)+2 D.y=cos(x -)+2
33
11. 如图所示,已知点G 是∆ABC 的重心,过G 作直线与AB ,AC 两边分别交
A.y=cos(x +
于M ,N 两点,且AM =xAB ,AN =y AC ( )
A .3
.2
12. 已知平面向量a 与b 的夹角为60°,|a|=1,
则|b|= . 13. 如图,在∆ABC 中,D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点,
yA E ,x , y ∈R ,则x +y 的值为 .
且AB =3AF ,若A D =xA F +
14. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形,P 为边BC 上一点,满足PC =2BP ,
则AB ·AP =
b c 满足a +b -c =0,向量a 与b 的夹角为120︒,且|a |=|b |,15. 已知非零向量a 、、
则|a -b |与|c |的比值为 .
16. 已知向量, , 的模长都为1,且=1200,若正数λ, μ满足
=λ+μ, 则λ+μ的最大值为17. 已知向量a=(2,﹣1),b=(3,﹣2), 则(3a -b )(a -2b )=_________.
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综合训练
1
1. 已知∆ABC 外接圆O 的半径为1,且OA ⋅OB =-.
2
(Ⅰ)求AB 边的长及角C 的大小;
(Ⅱ)从圆O 内随机取一个点M ,若点M 取自∆
ABC 内的概率恰为4π
断∆ABC 的形状.
2. 已知点A (4,0)、B (0,4)、C (3cos α, 3sin α) (1)若α∈
(0, π) =,求α的大小;
,求2sin 2(2)⊥α+sin 2α1+tan α
的值.
3. 在锐角∆ABC 中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、
m ⊥n . (1)求角A 的大小;
(2)若a =7,b =8,求∆ABC 的面积.
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b 、c .知
向量
已
平面向量高考题练习
ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB =(2,4) ,
AC =(1,3), 则BD =( )
A .(-2, -4) B .(-3, -5) C.(3,5) D .(2,4)
a =(1,2),b =(-2, m ) ,且a //b ,则2a +3b =( )
A 、(-5, -10) B、(-
4, -8) C、(-3, -6) D、(-2, -4)
a ,b 共线的充要条件是( )
A. a ,b 方向相同 B. a ,b 两向量中至少有一个为零向量
C. ∃λ∈R , b =λa D. 存在不全为零的实数λ1,λ2,λ1a +λ2b =0
a =(1,-3),b =(4,-2),λa +b 与a 垂直,则λ是( )
A. -1
B. 1 C. -2 D. 2 ABCD 的三个顶点A (0,2) ,B (-1,-2) ,C (31),,
且BC =2AD ,则顶点D 的坐标为( )
⎛7⎫A . 2⎪
⎝2⎭
1⎫⎛
B. 2,-⎪
2⎭⎝
C.(3,2)
D.(1,3)
△ABC 中,AB =c ,AC =b .若点D 满足 BD =2DC ,则AD =
2 1 5 2 2 1 1 2 A .b +c B.c -b C.b -c D .b +
c
33333333
a =(2, -3), b =(3,λ) ,若a //b ,则λ等于
( )
292
(A ). (B )-2. (C )-. (
D )-
323向量a =(1,,2) b =(2,3) ,若向量λa +b 与向量
c =(-4,-7) 共线,则λ=
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a = ,b =, 则向量a +b ( ) (-x , x 2)(x ,1)A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C. 平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
P 是△ABC 所在平面内的一点,BC +BA =2BP ,则
( )
A. PA +PB =0 B.PC +PA =0 C.PB +PC =0 D.PA +PB +PC =0 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则
c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上且满足学
PA =2PM , 则科网PA ⋅(PB +PC ) 等于
(A )
4444 (B ) (C )- (D) - 933
9
a =(1,1),b =(2,x ), 若a +b 与4b -2a 平行,
则实数
x 的值是( )
A .-2 B .0
C .1 D .2
,=1,+平行于x
轴,
=(2, -1) ,则= .
向量积运算
∆ABC 中,AB =3, AC =2,BC =AB ⋅AC = ( )
2332
B.- C. D.
32
23
π
a 与
b 的夹角为,则a +
λb 与λa -b
3
A .-
互相垂直的充要条件是( ) A .λ=11λ= B.λ=-或λ= 22
C .λ=-1或λ=1 D.λ为任意实数
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a 与b 的夹角为120 ,且a =b =4,那么
b (2a +b ) 的值为
0, b 的夹角为120,a =1, b =3,则5
a -b = 。
A (1,2)、B (3,-2) 、C (9,7),若E 、F
为线段BC 的三等分点,则AE ⋅AF = .
∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上且满足学
PA =2PM , 则科网
PA ⋅(PB +PC ) 等于
(A )
4444
(B ) (C )- (D) - 9339
a =(2,1)
, a ⋅b =10,|a +b |=,则|b |=( )
C. 5
D.
25
a 与b 的夹角为600,a =(2,0)b =1 则a +2b =
(A (B) 图,在平行四边形ABCD 中,
A C =(1, 2=(
-3), ,则2AD ⋅AC = . ), B D
a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a -c ) ⋅(b -c ) =0, 则c 的最大值是( ) (A )1 (B )2 (C )
2 (D )
2
2
B
b -c
a 、b 、c 是单位向量,且a ·b =0,则
(a -c )∙(的最小值为 ( )
(A )-2 (B
2 (C )-1 (D)1
业精于勤,荒于嬉
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)