2015北京中考质量分析报告(数学)

2015年中考分析报告

数 学

海淀区教师进修学校数学教研室 张鹤

第一部分 2015年中考试题特点及分析

随着2015年的中考的结束，不论是初三数学教师反思数学复习工作，还是初一、初二的同行们对照中考试题检查我们的日常教学都是非常必要的. 我们要思考的问题是：从近处看，2015年的北京中考数学试题带给我们的启示是什么？从远处想，随着北京市中考改革的不断深入，数学中考试题给我们带来的是什么样的数学教学理念呢？从小处看，每一节的数学课要教给学生的是什么？从大处想，中学数学的教育价值要体现在哪里呢？

2015年北京市中考数学试题变化显著，特点鲜明，在总体难度降低的情况下，命题者精心设计各个题目，不仅实现了以水平性为主兼顾选拔性的考试功能，而且很好的发挥了对中学数学教学的正确导向作用。

试题的命制从考生实际出发，立足考生发展的需要，正确反映时代对数学教育改革的要求。考查面向全体考生，关注基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，坚持能力立意，追求对学科本质的考查，并突出对创新精神和实践能力的考查；在内容和呈现方式等多方面，不断渗透新课程理念。

2015年北京市中考数学试卷，有利于调动考生学习数学的积极性与提高学好数学的信

心，有利于促进教师教学理念的更新与实践的不断深入，有利于促进义务教育质量的提高，为实现减负发挥积极促进作用。

（一）试题整体难度降低，凸显中考数学以水平性为主的功能

2015年中考数学试卷有以下两个突出的变化：1. 题量的变化。由25道题增加到29道题；2. 题目考查形式的变化。新颖灵活、解答方式多样化。不过，虽然题目的数量增加了，但增加的试题多为基础题。变化的内容主要体现在解答方法的多样性或结论的开放性，这样的变化增加了考生解答的选择性，分散考生的考试压力，促进考生全面而有个性的发展。

2015年北京中考数学卷在诸多试题的命题形式上进行了调整，和往年相比，增加了中档题的比例，减少了最难最易的试题，使得全卷显得灵活而包容，既突出了对基础知识，基本技能的考查，又关注了基本思想，基本活动经验的的调研，实现了从2014年向2015年的平稳过渡。

对2015年海淀区参加北京市中考的17340名有效考生数据进行统计分析：

表1 总分分析表

表25分段部分人数统计表

由表1看出，海淀区今年试卷的平均分是93.10分，难度系数为0.78，优秀率是42.38%，

及格率是86.97%，是近几年的最高值；由表2看，约53%的考生成绩集中在95分到110分之间，相对比较集中，说明试卷面向全体考生，基础性试题考查充分，实现了水平性考试的功能。

表3 2014—2015年中考数学分数段人数百分比分布表

进一步结合表3数据，可以看出，相对于前两年100分以上的考生比例有明显提高，所以优秀率比14年上升了13个百分点，及格率也实现了增加，低分率也有2014年的6.14%降为2015年的5.41%，特别是满分率，逐年上升到了0.46%，人数由2014年的30人上升到2015年的80人，说明2015年试题难度大幅降低，凸显中考水平性考试的功能有利于消除考生的畏难心理，有利于调动考生学习数学的积极性，为考生树立学好数学的信心。从以上海淀区的数据分析不难看出：严格控制整卷难度，合理安排试题难度，让所有的学生都能有自我展示的平台在这份中考试卷中基本得以实现。

（二） 试卷为了体现考查内容的广度和宽度，结构上进行了调整

2015年试题为了体现考查内容的广度和宽度，结构上进行了调整，加大了打破试题模式化的力度，不仅增加了题目的总量，而且考查的方式更加灵活，使试卷在平稳的过渡中充满活力与新意。

表4 2014—2015年有关数据对比

由表4看出，2015年试题的变化比较大。首先是题量的变化，由原来的25道题增加到29道题，增加了2个选择题和2个填空题；其次是阅读量增大，增加了1313个字，增长率为69%；再有开放题增多，由14年的1个增加到6个；考查运算能力的题目分值减少，同时相关的计算量在减少，没有繁难的计算，体现了数学试题多考思维少考运算的特征；思维的复杂度降低，关注了宽和广，增加了灵活性。这些变化有利于不同层次的考生展示自己真实的数学水平，有利于引导课堂教学重视基础落实、关注能力提升；试题的变化使得中考数学以水平性考试为主的功能体现充分；同时引导教师在教学时关注数学本质的教学，关注方法的教学，摒弃“题型教学”与“题海战术”，打破思维定势。

（三）试卷突出数学学科的学科特点、学科的基本思想

2015年中考数学试卷中的大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法, 试题的起点低，入手容易，难易适中；在考查数学传统的主干知识的同时，注意体现新课改之后新增知识的考查要求. 注重学科的内在联系和知识的综合运用，对能力的考查强调探究性、应用性，多视点，多角度，多层次地考查了考生学习数学所具备的素养和潜力。这种命题的思路既有利于正确引导初中数学教学的方向，揭示数学概念的本质，倡导用数学的思维进行教学，引导学生掌握用数学的思维解决数学问题，感受数学的思维过程；有利于为进一步实施新课改的实验起到了良好的促进作用。

数学思想是以基础知识为载体的，是数学知识在更高层次上的抽象与概括。试卷对数学思想进行了重点考查。例如，第23题通过一次函数的系数k 的变化，研究直线在以点P 为中心旋转的过程中与x 轴，y 轴交点的问题，考查考生分类与整合的思想；再如第27题通过二次函数a 的变化，研究抛物线形状的变化，考查考生分类讨论的数学思想；对于推理思想的考查，第20、22、24题要求考生严格写出推理的过程，考查考生的演绎思想；对于建模思想的考查，第13、21题考查考生依据题意列出方程解决问题，考查方程的思想，这些题目引导学生在学习知识的过程中，通过反复思考和长时间的积累，感悟到知识的本质和事物变化的规律，逐步感悟数学思想，形成对事物的理性认识。

考试的关注点不仅仅是静态的知识“现状”，也关注动态的知识形成过程。例如第26题（“探究函数的图象与性质”）再现学生学习函数的过程，回归到对学习的基本过程和基本的学习经验的考查，从最基本的描点、作图开始，运用学习函数所积累的知识经验和思维经验，再现课堂学习的过程。而上述学习过程的回放，都是初中在学习一次函数、二次函数、反比例函数三者中所共有的过程。学生升入高中以后，会用到类似的研究函数问题的方法与经验去学习与研究指数函数、对数函数、三角函数等知识，这也体现了初高中数学思想方法的连续性。

2015年数学试题更加注重开放性试题的命制，增加思维考查的广度与宽度。例如第14题，写出一组a , b 的值，使方程有实数解；第15题，预测2015年北京市轨道交通日均客运量；第

25题，选择合适的统计图表直观表示数据信息；第26题，根据函数图象写出函数的一条性质；第28题，通过“数学味”的解答写出探究思路。这些题目都是开放性的试题，主要是从“解决问题的入手点多”、“解决问题的途径多”、“问题的答案不唯一”三个方面，引发考生的思考，激起考生思维的碰撞。

不同的考生思考问题的出发点不一样，想问题的方式也不一样，所以应充分让考生从解决问题的不同思路上去思考，引发思维的碰撞。只要考生解决问题的方法言之有据、自圆其说，就符合答题的要求。

（四）2015年试题命制注重对中国传统数学文化的考查，加强考生对数学文化底蕴的积累

2015年试题试题的设计贴近学生生活，用符合学生思维的方式考查学生. 从命题背景来看惹人喜爱。如第4题剪纸窗花；第8题故宫建筑分布；第13题《九章算术》方程术，秀出中华传统数学文化吸引力；第15题谈轨道交通；第21题自行车低碳出行；第25题清明小长假赏花，秀出北京市民生活好风景等。

第二部分 2015年中考数据分析

（一）题型分析

试题包括选择题、填空题、解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题）三类，共29道大题，满分120分，每个题组、每道试题都承担着各自的功能，涉及的内容及深度均不相同。

表5 海淀区2014年与2015年题组难度对比分析

由表5看出，相对于2014年的试题，2015年三类试题的难度系数均有所增加，说明今年试题总体比去年容易，保持了自去年开始的逐步降低难度的趋势，凸显水平性为主的考试功能.

表6 海淀区题组整体分析

选择题、填空题以及解答题的前五道题多为容易题，以水平性测试为主要任务，保证了整卷的平均分，起到了稳定考生情绪的作用；解答题的后面几道题多为中高档题，以水平性为主兼顾选拔的作用。由表6可以看到，三部分有机组合，难度系数由高到低，体现试题设置合理，由易到难，逐步递进；此外，相关系数的值由低到高，说明随着试题的难度加大，对学业水平不同的考生区分越来越显著。

1. 选择题

表72015年选择题难度系数分析表

选择题主要考查考生对数与代数、图形与几何、统计与概率部分最基础的知识与基本的技能的掌握情况。前9道题是基础性试题。第10题本属于中档试题，但是由于与前几年的最后一个选择题的考查内容和形式基本一致，所以海淀区的中考数据显示难度系数达到了0.88；选择题总难度为0.96。难度适宜的试题有利于考生保持良好的答题情绪，保证考试的信度。

2．填空题

表82015年填空题各题难度分析表

填空题主要考查考生对因式分解、多边形的外角和、二元一次方程组的应用、一元二次方程根的判别式、折线统计图、尺规作图等知识和方法的理解和运用. 由表8可以看出，海淀区填空题总体难度为0.83，比2014年增加了3个百分点，但是和北京市的数据相比，低0.03个百分点。表8中还可以看出：无论是北京市的数据还是海淀区的数据，第14题的难度系数低于第15题的难度系数，这两道题都是开放性试题，但是第15题的开放度比较大，考生根据折线图的变化趋势，填入数据，答案不唯一，只要考生说出支持自己结论的理由即可；而第14题是条件开放性试题，涉及的知识不仅仅是根的判别式，还要结合不定方程的知识确定数值，所以

难度相对于15题增大, 对结果的准确性的要求较高。 3．解答题

表9解答题各题难度分析表

解答题作为全卷的核心，组合内涵丰富，多角度、多层次的考查了基础知识、基本技能、

基本思想方法和基本活动经验，深入考查数学能力和数学素养，为不同水平的考生提供了展现自己思维的平台。

2015年的解答题没有像往年一样按难易度再明确的分为三组，而是统一为一道大题，但实质还是分为易中难三个层次。

由表9看出，解答题大部分是遵循由易到难的顺序安排，但是23题的难度系数显然低于除了29题以外的其他试题，作为中档题，显然不是很合适，这主要是由于23题的第2问，通过一次函数k 的变化，考查直线在以点P 为中心旋转的过程中与x 轴，y 轴交点的问题，首先需要考生根据题意画出正确的示意图，然后利用图形借助几何中相似的有关知识求线段长度，继而转化为点的坐标，属于一道代几综合题，不仅仅是对知识的考查，而且是对分类与整合的思想、数形结合以及抽象思想的考查，需要考生具有较强的分析解决问题的能力以及严密的思维能力.

（二）知识组块考查情况分析

试卷围绕数与代数、图形与几何、统计与概率三个领域的内容进行设计，并对各领域进行合理组合，从不同角度、不同水平考查考生的基础知识、基本方法、基本思想和基本活动经验.

近三年各知识块考查的分值分布基本保持不变，个别内容有微调，适当的调整保证了整卷在稳定的基础上体现灵活与变化。

表10 2015年各知识块测试细目表（北京市）

表12 2015年各知识块测试细目表（海淀区四组校）

可以看出，各知识领域中，数与代数占69分，图形与几何占37分，统计与概率占14

分，试卷中各知识块根据初中数学的教学内容合理分配，并且充分关注重点知识重点考查. 表中数据显示，数与式、方程与不等式、直线型、统计与概率这几部分的难度系数都比较高，各知识块的相关系数也较高，说明这些试题对海淀区考生的区分都较好；表中数据显示圆的难度系数较低，为0.63，试卷中仅涉及到一道单独考查圆的试题，但是由于问题的解决需要综合运用初中所学的几何知识，对考生能力要求较高，所以难度系数较低属于正常现象；函数的难度系数是各知识块中最低的，仅为0.55（北京市的数据是0.52），这与前面提到的23题第2问的难度系数过低有关，同时，涉及函数知识的试题26、27、29题，均承担选拔的功能，所以难度系数偏低，属于正常现象。函数考查的分值较多，共31分，需要考生运用函数思想、数形结合以及运动变化的观点分析与解决问题。函数试题对全体考生进行了区分，特别是对84分以上的考生区分显著，主要是由于29题第3问决定了对高端考生的区分. 从海淀区的各组校的数据看，

也支持上述结论。

（三）能力与主要数学思想组块考查情况分析

数学中考试卷将对数学思维能力的考查作为数学学科能力考查的核心。数学思维能力以数学知识为载体，通过抽象概括、空间观念、几何直观、数据分析、运算、推理论证、模型思想、发现和提出问题、分析和解决问题等方面，对数学知识的内在联系、数学与实际的联系进行思考，形成数学的思考方式，发展理性思维能力。数学思想是以基础知识为载体的，是数学知识在更高层次上的抽象与概括。

表13 各种能力与主要数学思想总分分析表（北京市）

表13显示各种能力及思想方法的难度数值由高到低依次为运算能力、实际背景下的阅

读能力、数据分析、模型思想、空间观念、推理能力、创新能力、几何直观、数学文本阅读能力、数形结合思想、分类讨论思想。其中运算能力的难度系数是所有能力中最高的，达到0.91，总分值为15分，在2014年减少13分的基础上又继续减少了2分，此处主要统计的是单独考查运算能力的题目，没有包括蕴含在综合题中的运算。试题对运算能力的考查侧重的是基础知识和基本方法，根据现在的发展趋势，在纸笔测试中，对运算能力的要求逐步降低，所以试卷中对运算能力的考查设置是合理的，体现了中考对运算能力的要求；表中显示分类讨论思想的难度系数最低，仅为0.24，因为蕴含分类讨论思想的试题对考生思维的严谨性要求很高，由鉴别指数看出，试题对高端考生和低端考生在分类讨论思想方面的考查区分显著，这与对思想方法方面考查的试题主要承载选拔性的功能吻合，表中数据说明试题基本实现了对考生各种数学能力的区分。上述数据对海淀区的考生各种能力及思想方法的考查分析有参考意义。

（四）典型试题分析

例题1：第26题. 有这样一个问题：探究函y=1/2x+1/x的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数y=1/2x+1/x的图象与性质进行了探究. 下面是小东的探究过程，请补充完成：

(1)函数y=1/2x+1/x的自变量x 的取值范围是___________； (2)下表是y 与

的几组对应值.

2

2

2

求m 的值；

(3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，格局描出的点，画出该函数的图象；

(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1,3/2），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：

本题是研究性试题，以一个新的函数为背景，通过问题设置引导考生经历列表、描点、画函数的图象、根据图象研究函数的性质等一系列研究函数的过程，回顾已有的研究经验，为后续高中进一步研究函数奠定基础。本题注重考查考生对函数基本概念的理解，以及基本技能、基础知识之间的内在联系。较好的还原了函数知识的形成过程，对考生学习能力的考查非常充分。

表14 第26题分析表

本题4问，第1问要求考生写出新函数的定义域，这是研究函数的第一步，属于基本问题，难度不大，由表14可以看出，海淀区考生解答此题第一问的难度系数0.81，说明对全体

考生来说此问适中；第2问给定自变量，求因变量的值，属于代数式的计算，难度不大；第3问命题者考虑到这个函数的图象的特殊性，考生只要按要求用平滑的曲线将已经给出的点连线即可，达到了降低难度的效果，此问海淀区考生的难度系数是0.55，说明还有一部分考生没有掌握函数图象的画法，特别是从函数的解析式中应该知道自变量x 0，但一些考生还是把图象画成和y 轴相交；第4问是利用函数图象说出一条函数的性质，开放的结论可以体现考生不同的思维，难度0.52，高于第3问。这个问题重在考查学生对函数性质的深层理解、思维的灵活性和广泛性，它给予了学生较大的认知空间，更符合北京中考改革的精神。

从海淀区考生26题的答题情况看，有如下问题需要在今后的教学中注意： ①学生对研究函数图象及性质的基本思维方法不清楚，对题目中的新函数束手 无策。在函数的图象与性质的教学中，要避免重结果轻数学思维过程的情况；要 重视数学思维过程的教学，重视获取核心知识的思维过程；

②对函数的相关概念不清楚：如混淆分段函数与函数的连续分支；混淆抛物线 与一般函数的图象等。应重视主要数学概念的教学；

③语言不规范。应重视用文字语言、符合语言、图形语言进行准确的数学表达的教学。 从上述问题可以看出，今后在函数的教学中，要提高学生的函数的思维特征的教学，要会用函数的思维也就是通过自变量的变化引起因变量的变化的角度来思考函数的问题；加强研究函数解析式的能力，要清楚函数的性质是由函数的解析式决定的，是先有函数的解析式后有函数的图象的。如果学生有研究函数的解析式的意识，也许用描点法画函数图象有更明确的思路，从函数图象中得到函数的性质就更自如。

表15 第26题分组分析表

结合表15可以看出，第26题设置的四个问题的难度系数由高到低，逐步递减，说明4问的设置是合理的。进一步结合表15看出，4个组学校之间对比，在这4问上的难度系数由低到高，说明对各组进行了很好的区分；每个组自身4问的难度系数由高到低，与表14中的规律一致。本题不仅有效的考查了考生对函数研究方法的掌握情况，而且对课堂教学关注研究内容和方法起到了很好的示范作用。

例题2：28题. 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上（与点C , D 不重合），连接AP ，平移∆ADP ，使点D 移动到点C ，得到∆BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于H ，连接AH ，PH .

(1) 若点P 在线段CD 上，如图1.

① 依题意补全图1；

② 判断AH 与PH 的数量关系与位置关系

并加以证明；

(2) 若点P 在线段CD 的延长线上，且

∠AHQ =152︒，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路. （可以不写出计算结果） ．．．．．．．．．

此题是几何综合题，融合了初中几何的重点知识编制而成，涉及到的知识有平移的概念和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，综合性强，不仅考查考生的画图技能还考查考生整体认识图形并对图形间元素关系进行分析的能力。

表16 第28题分析表

表17 第28

本题共3问，第1问仅要求考生根据文字语言画出相应的图形，主要考查考生对平移的理解以及画图技能，属于基本要求，由表16可以看到，海淀区考生在这一问的答题情况相对来说很好，但是从表17可以看出，第一问就把第一、二组的考生和第三、四组的考生区分出来了。

第2问是常规的线段之间数量关系与位置关系的判断，需要考生在直观感知、操作确认的基础上利用平移的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角度计算等知识进行推理论证，考查考生对图形的整体认识以及元素间关系的确定，对考生推理能力的要求较高，由

表16看出，此问对海淀区的全体考生来说，是中档题；从表17看出，这一问对于第一组校的考生来说难度并不是很大，但是对第二组校的考生来说就是中档题，而对于第三、四校的考生来说，就属于难题了. 这也反映出在相关知识的教学中的差距和考试的实际水平的客观差距。

第3问是常规的求线段长的问题，但是答题要求却非常规，不要求写出解答过程，而是写出探究思路，这是前所未有的，第3问的“别出心裁”，让很多考生由于遇到没见过的题目而心慌，没有信心面对新的挑战。由表17看出，此问将第一组考生区分出来，实现了对高端生的选拔。也反映出四组学生差距的真实状态。

第三部分 教学建议

在目前的数学复习课上，学生的思维活动还常常受制于教师，缺乏独立解决数学问题的思维过程，缺乏独立解决一个数学问题的体验，学生还不习惯自己对解决问题的策略和方法做出选择和判断，也没有形成自己的思维方式. 许多数学基础稍弱的学生更喜欢按着老师教给的步骤去理解问题和解决问题；更喜欢通过“套”公式得到问题的答案、通过背结论甚至背题型所对应的解法去解决数学问题. 这种在老师后面亦步亦趋的学生不会去自己思考数学问题的实质，不理解掌握数学各个单元的不同思维特点的重要意义. 以上这些现象都是在数学复习中存在的主要问题. 而阻碍学生进一步提高数学成绩的最大的障碍是研究数学问题的意识的淡漠. 很多学生总是将数学问题的解决归结为计算，甚至把数学成绩不好的原因简单归结为是在计算上出现了马虎、做题的数量还不够、计算的熟练程度还有欠缺等等.

教师在复习课上给学生留出思维活动的时间和空间，不等于放弃教师的主导作用，相反，教师在课堂上对所交流的问题的选取以及对学生思维活动的引导与评价是非常重要的. 在学生的思维活动中，有些方法可能根本解决不了他所面临的数学问题，但是作为教师要善于分析学生思维活动中合理的部分，帮助学生寻找到最终能够解决问题的方法. 也许教师给学生讲一个解法不需要很长的时间，但效果未必有效！而学生独立思考出来的方法，哪怕不是最佳的、甚至是行不通的，但这种思维的状态却是目前最为需要的. 作为教师一定要保护学生思考数学问题的积极性，充分认识到学生独立思考的价值，创造条件鼓励自学生积极思考. 只有学生的思维活动充分展开了，必然会使学生感受到数学复习的真正目的，也一定会体验到积极的数学思维是提高数学成绩的必由之路.

学生解决数学问题的自信心不是源于教自己的老师多么的优秀，也不是源于自己做了多少数学题目，而是在于他是否掌握了独立思考数学问题的方法. 而这也正是我们在中考复习中给学生留出思维空间的原因.

具体的建议是：

①复习要能够揭示数学概念的本质，扎扎实实地把基础知识和基础方法落实好！要让学生

真正地理解数学问题. 即使进入到复习的最后阶段，也要重视数学思维的教学. 在每节课的复习中，都要揭示数学的思维过程，不断地渗透思考数学问题的基本方法，让学生逐步领会用数学的思维解决数学问题的思维方法；

②把握核心知识、核心思想、核心方法的复习！复习要抓住教学内容的重点、核心，不要强调记忆型的复习，不要片面追求知识点的全面覆盖. 教师的主导作用要发挥，教师对中考的理解与对中考复习策略的把握至关重要；

③练习、测试要有针对性，不要盲目地用大量的时间做各区的模拟试题！要针对自己学生的问题重新设计整合考试卷，不要以练代替复习；对于中考的重点又是学生的难点问题，如阅读操作问题（22题）、函数综合题（23题）、几何综合题（24）、代数几何综合题（25题），要查找在学生思维层面上存在的问题，要通过必要的有针对性的例题分析或练习最终加以解决； ④教师要帮助学生不断地概括思维方法，要能够揭示出解决数学问题的一般思维的方法，不要讲题型，要讲知识的本质！作为教师，要明确提高学生成绩的最有效的方法不是记忆大量的结论或公式，不是依赖大量重复的练习就能够实现的. 要教给学生如何思考问题！要让学生的思维具有逻辑性，要给学生思维的空间.

我们要坚信，思考是一种力量！因为只有思考，才能够使得学生的思维充分地活动起来，也只有如此，数学的复习才最接近数学知识学习的本质；只有思考，才能够让我们的学生变得越来越聪明、智慧！我们要自信思考是一种安静的力量！