平面曲线曲率半径的运动学探究
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平面曲线曲率半径的运动学探究
作者：张天天
来源：《求知导刊》2016年第15期
摘 要：以曲线和曲面为代表的几何特征在现代生活中随处可见，研究者对其在现代大型建筑设计、工业生产制造、物体运动学规律等诸多领域进行了广泛深入的探究。本文详细分析了平面曲线曲率几何学特征以及其对应的运动学规律，试图从多个角度对曲线曲率问题进行全方位的解读与探索，同时利用电脑编程求解，进一步研究了椭圆曲线在不同长短半轴比下的曲率半径变化规律。
关键词：平面曲线；曲率半径；运动学分析；椭圆曲线曲率；程序求解
一、概述
在现今社会生活中，以曲线和曲面为代表的几何特征处处可见。建筑设计中的直曲结合、汽车外形流线型曲面的制造加工以及各种物体的曲线运动等，都是生活中对曲线、曲面的应用。因此，在现实生活应用的基础上对各种曲线曲面几何特征的研究具有重要意义。其中，平面曲线的曲率半径在数学和物理学中具有相通之处，由此又激发了我们从不同的学科角度对一个概念进行深入理解的灵感。
平面曲线在各种领域得到广泛应用。在综合地质勘探的编录中，[1]地质学家利用曲率圆的某一段圆弧来近似地代表岩层的一段走向，即“以曲代直”；利用曲率半径来编录岩层走向变化大、有褶皱构造的坑道，并用这一编录结果与实际情况作比较。勘测结果显示，这种方法具有一定的实用价值。
另外，科研人员根据平面曲线曲率半径的运动学规律制造各种机器零件。例如，数控车床加工时，常常利用刀具切割多曲率圆弧面；在数控车床上加工多曲率圆弧面工件时，[2]不同曲率圆弧交接点的坐标值、加工工艺和刀具的应用非常重要，它不仅具备加工程序的简洁性，还会影响工件的加工质量和加工效率。在工业制造中，加工特殊管道时，也需要对刀具的曲线加工路径以及刀具自身曲率半径进行深入的研究，用于工厂生产。
本文系统地从数学几何定理以及物理学物体曲线运动的角度探讨了平面曲线曲率的数学物理意义，从而全面认识平面曲线的几何特征的数学和运动学规律。然后进一步以椭圆曲线为例，探讨了这一广泛存在于天体运动以及工业曲线加工领域的特征曲线的曲率半径变化规律，并通过数值程序的求解得到了不同位置的曲率半径，研究了椭圆曲线在不同位置的曲率半径大小。
二、平面曲线曲率半径的数学求解及运动学分析