1.1集合的概念教案

【教学过程】 教学过程】 *复习： 复习： 复习

1、集合间的包含（子集）关系、真包含（真子集）关系、相等关系，如何正确使用符号“ ” 、 “ ”“ ” 、 。 2、讲解作业中的问题。

*练习： 练习： 练习

学习与训练 P6-7 A 组

*核对： 核对： 核对

【课堂小结】 课堂小结】

【作业布置】 书 P10（3） 作业布置】 布置

【教学后记】 教学后记】

教

复习知识 揭示课题

学

过

程

前面学习了集合的并运算和交运算相关问题，试着回忆下面的知识点： 1．集合的并集和交集有什么区别？（含义和符号）

A U B = {x x ∈ A 或 x ∈ B}

A I B = {x x ∈ A且x ∈ B}

2．在进行集合的并运算和交运算时各自的特点是什么？ 并运算是将两个集合所有的元素进行合并，交运算是寻找两个集合都有的共同元素． 3．集合用列举法和描述法表示时进行运算需要注意的问题是什么？ 列举法求解时要不重不漏，描述法求解时要利用好数轴并注意端点的处理． 完成下面的练习： １．设 A = {−1,0,1, 2} ， B = {0, 2, 4, 6} ，求 A U B ， A I B ． ２．设 A = { x | −2

4} ，求 A U B ， A I B ．

下面我们将学习另外一种集合的运算． *创设情景 兴趣导入 创设情景 问题 某学习小组学生的集合为 U={王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹， 钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为 P={王 明，曹勇，王亮，李冰，张军}，那么没有获得金奖的学生有哪些？ 解决 没有获得金奖的学生的集合为 Q={赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}． 结论 可以看到，P 、Q 都是 U 的子集,并且集合 Q 是由属于集合 U 但不属于集合 P 的元素所 组成的集合． *动脑思考 探索新知 动脑思考 概念 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素， 在研究过程中， 可以将这个集合叫 做全集 全集，一般用 U 来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． 全集 在研究数集时，常把实数集 R 作为全集． 如果集合 A 是全集 U 的子集，那么，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合叫做 A 在全 集 U 中的补集 补集． 补集 表示

教

学

过

程

集合 A 在全集 U 中的补集 补集记作 ð U A ， “ A 在 U 中的补集”即 ð U A = { x | x ∈ U 且x ∉ A} ． 读作 ． 补集

如果从上下文看全集 U 是明确的，特别是当全集 U 为实数集 R 时，可以省略补集符号中 的 U，将 ð U A 简记为 ðA ，读作“ A 的补集” ． 集合 A 在全集 U 中的补集的图形表示，如下图所示：

求集合 A 在全集 U 中的补集的运算叫做补运算 补运算． 补运算

*巩固知识 典型例题

例 1 设 U = {0,1, 2

,3, 4,5, 6, 7,8,9} ， A = {1,3, 4,5} ， B = {3,5,7,8} ． 求ðU A及ðUB ． 分析 集合 A 的补集是由属于全集 U 而且不属于集合 A 的元素组成的集合． 解

ð U A = {0,2,6,7,8,9} ； ðU B= {0,1,2,4,6,9} ．

例 2 设 U＝R， A = { x | −1

解

说明

ðA = { x | x „ −1或x > 2} ． 通过观察图形求补集时，要特别注意端点的取舍．本题中，因为端点−1 不属于集合 A，

所以−1 属于其补集 ðA ；因为端点 2 属于集合 A，所以 2 不属于其补集 ðA ． 由补集定义和上面的例题，可以得到： 对于非空集合 A：

A∩( ð U A )=∅，A∪( ð U A )=U， ð U U =∅，

ð U ∅ =U， ð U ( ð U A )=A． *运用知识 强化练习 运用知识 教材 练习 1.3.3

教

学

过

程

，7} 1．设 U = {小于10的正整数} ， A = {14， ，求 ð U A ．

2．设 U = R ， A = { x | −2 剟 x

4} ，求 ðA ．

*课堂小结：这节课主要理解全集、补集的概念，掌握补集的运算。 课堂小结：

*作业布置: 练习册 P10 *教学后记： 教学后记：

学生对于交、并、补得混合运算比较困难。

教

*复习： 复习： 复习 思考并回答下面的问题：

学

过

程

1．什么是集合交运算？如何用符号表示？如何用图形表示？ 什么是集合并运算？如何用符号表示？如何用图形表示？ 什么是集合补运算？如何用符号表示？如何用图形表示？

2．在进行集合的交、并、补运算时各自的特点是什么？

3．集合用列举法和描述法表示时进行集合运算需要注意的问题是什么？ *巩固知识 典型例题 巩固知识 例 1 设全集

U = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} A = {1,3, 4,5}

UB

，集合

，

B = {3,5,7,8}

．求 ð U A ， ð U B ，

(痧 A) I ( U

)，

(痧 A) U ( U

解

UB

) ， ðU ( A I B) ， ðU( A U B) ．

；

这些集合都是用列举法表示的，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合． 分析 这些集合都是用列举法表示的，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合．

ð U A = {0,2,6,7,8,9}

UB UB

ðU B= {0,1,2,4,6,9}

；

(痧 A) I ( U (痧 A) U ( U

因为

) = {0,2,6,9} ； ) = {0,1,2,4,6,7,8,9} ；

，所以 ；

A I B = {3,5}

ð ( A I B ) = {0,1, 2, 4,6,7,8,9} U

因为

A U B = {1,3, 4,5, 7,8}

，所以

ðU ( A U B) = {0,2,6,9}

．

AU B ． 例 2 设全集 U =R，集合 A={x|x≤2}，B={x|x>-4}，求 ð U A , ð U B ， A I B ， ， ≤ ， ，

在理解集合运算的含义基础上，充分运用数轴的表示来进行求解． 分析 在理解集合运算的含义基础上，充分运用数轴的表示来进行求解． 解 因为全集 U =R，A={x| x≤2}，所以 ð U A ={x| x>2}； ， ≤ ， ； 因为全集 U =R，B ={x| x>-4}，所以 ð U B ={x| x≤-4}； ， ， ≤ ；

A I B = {x −4

；

*运用知识 强化练习 运用知识 练习册 P11

教

*问题引领 深入探究 问题引领 问题

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1.由条件 p ： x = 1 是否可以推出结论 q ： x 2 − 1 = 0 是正确的？ 2.由条件 p ： ( x − 3)( x − 1) = 0 是否可以推出结论 q ： x = 1 是正确的？ 3. 由条件 p ： x

2 x − 4

解决 问题 1 中，由条件 p 成立能推出结论 q 成立；但是由结论 q 成立不能推出条件 p 成立． 问题 2 中，由条件 p 成立不能推出结论 q 成立；但是由结论 q 成立能推出条件 p 成立． 问题 3 中，由条件 p 成立能推出结论 q 成立；由结论 q 成立能推出条件 p 成立． *动脑思考 探索新知 动脑思考 概念 设条件 p 和结论 q ． （1）如果能由条件 p 成立推出结论 q 成立，则说条件 p 是结论 q 的充分条件，记作 p ⇒ q ． 充分条件， 充分条件 如问题 1 中， “条件 p ： x = 1 ”是“结论 q ： x 2 − 1 = 0 ”的充分条件． （2）如果能由结论 q 成立能推出条件 p 成立，则说条件 p 是结论 q 的必要条件，记作 p ⇐ q ． 必要条件 必要条件， 如问题 2 中， “条件 p ： ( x − 3)( x − 1) = 0 ”是“结论 q ： x = 1 ”的必要条件． （3） 如果 p ⇒ q ， 并且 p ⇐ q ， 那么 p 是 q 的充分且必要条件， 简称充要条件， “ p ⇔ q ” 记作 ． 如问题 3 中， “条件 p ： x

q 的必要条件．

说明 可以看到，由“p 是 q 的充分条件”并不一定能够得到“p 是 q 的必要条件”的结论，

教

学

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程

同样由“ p 是 q 的必要条件”也不一定能够得到“p 是 q 的充分条件”的结论． 例 2 指出下列各组结论中 p 与 q 的关系． （1） p ： x > 3 ， q ： x > 5 ； （2） p ： x − 2 = 0 ， q ： ( x − 2 )( x + 5 ) = 0 ； （3） p ： −6 x > 3 ， q ： x

1 ． 2

解 （1）由条件 x > 3 成立，不能推出结论 x > 5 成立，如 x = 4 时，4>3，但是 4 不大于 5； 而

由 x > 5 成立能够推出 x > 3 成立．因此 p 是 q 的必要条件，但 p 不是 q 的充分条件． （2） 由条件 x − 2 = 0 成立， 能够推出结论 ( x − 2 )( x + 5 ) = 0 成立； 而由结论 ( x − 2 )( x + 5 ) = 0 成立不能推出条件 x − 2 = 0 成立，如 x = −5 时， ( x − 2 )( x + 5 ) = 0 也成立．因此 p 是 q 的充分 条件，但 p 不是 q 的必要条件． （3）由条件 −6 x > 3 成立，能够推出结论 x 3 成立．因此 p 是 q 的充要条件． *运用知识 强化练习 运用知识 教材练习 1.4 指出下列各组结论中 p 与 q 的关系． （１）p： a = 0 ，q： ab = 0 ； （２）p： a = b ，q： ( a − b ) = 0 ；

2

1 1 成立，并且由结论 x

（３）p： a = 1 ， q： a = 1 ； （４）p： a = 0 ，q： a = 0 ．

教

*创设情景 兴趣导入 创设情景 问题

学

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程

2006 年 7 月 12 日，在国际田联超级大奖赛洛桑站男子 110 米栏比赛中，我国百米跨栏运动 员刘翔以 12 秒 88 的成绩夺冠，并打破了尘封 13 年的世界记录 12 秒 91，为我国争得了荣誉． 如何体现两个记录的差距？ 解决 通常利用观察两个数的差的符号，来比较它们的大小．因为 12.88−12.91= −0.03＜0，所以得 到结论：刘翔的成绩比世界记录快了 0.03 秒． 归纳 可以通过作差，来比较两个实数的大小. *动脑思考 探索新知 动脑思考 概念 对于两个任意的实数 a 和 b，有：

a−b >0 ⇔ a >b； a−b =0 ⇔ a =b； a−b

因此，比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可． *巩固知识 典型例题 巩固知识 例 1 比较 解 例2 解

2 5 与 的大小． 3 8

2 5 16 − 15 1 2 5 − = = > 0 ，因此， > ． 3 8 24 24 3 8

当 a > b > 0 时，比较 a 2 b 与 ab 2 的大小． 因为 a > b > 0 ，所以 ab > 0 ， a − b > 0 ，故

a 2b − ab2 = ab(a − b) > 0 ，

因此 a 2b > ab 2 ．

*运用知识 强化练习 运用知识 教材练习 2.1.1 比较下列各对实数的大小：

4 5 与 ； 7 9 *动脑思考 探索新知 动脑思考

（1 ）

3 （2） 1 与 1.63 ． 5

教

不等式的基本性质

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（不等式的传递性） 性质 1 如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c ． 证明

a > b ⇒ a − b > 0 ， b > c ⇒ b − c > 0 ，于是

a − c = ( a − b) + (b − c) > 0 ，因此 a > c ．

性质 2 如果 a > b ，那么 a + c > b + c ． 性质 3 如果 a > b ， c > 0 ，那么 ac > bc ； 如果 a > b ， c ”或“ b ， a − 3 （2） 设 a > b ， 6a （3） 设 a

b − 3； 6b ；

−4b ；

5 − 2b ．

解 （1） a − 3 > b − 3 ，应用不等式性质 2； （2） 6a > 6b ，应用不等式性质 3； （3） −4a > −4b ，应用不等式性质 3； （4） 5 − 2a > 5 − 2b ，应用不等式性质 2 与性质 3． 例 4 已知 a > b > 0 ， c > d > 0 ，求证 ac > bd ． 证明 因为 a > b, c > 0 ，由不等式的性质 3 知， ac > bc ， 同理由于 c > d , b > 0 ，故 bc > bd ． 因此，由不等式的性质 1 知 ac > bd ． *运用知识 强化练习 运用知识 教材练习 2.1.2 *课堂小结： 课堂小结： 课堂小结 *作业布置： 作业布置： 作业布置 *教学后记： 教学后记： 教学后记

教

*创设情景 兴趣导入 创设情景 问题

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资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断提高．运行时速达 200 公里以上的旅客 列车称为新时速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的，设计运行时速达 350 公里的 京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在 200 公 里/小时与 350 公里/小时之间． 如何表示列车的运行速度的范围？ 解决 不等式：200

4} 表示的区间是闭区间， 用记号 [2, 4]

A U B = (−1, 5] ，

A I B = [0, 4) ．

教

*运用知识 强化练习 运用知识 教材练习 2.2.1

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程

1.已知集合 A = (2, 6) ，集合 B = ( −1, 7 ) ，求 A U B ， A I B ． 2.已知集合 A = [ −3, 4] ，集合 B = [1, 6] ，求 A U B ， A I B ． 3. 已知集合 A = ( −1, 2] ，集合 B = [0, 3) ，求 A U B ， A I B ． *动脑思考 明确新知 动脑思考 问题 集合 {x | x > 2} 可以用数轴上位于 2 右边的

一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？ 解决 集合 {x | x > 2} 表示的区间的左端点为 2， 不存在右端点， 为开区间， 用记号 (2, +∞) 表示． 其 中符号“+ ∞ ” （读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数． ） 类似地， 集合 {x | x

例 3 设全集为 R，集合 A = (0,3] ，集合 B = (2, +∞ ) ， （1）求 ðA ， ðB ； （2）求 A I ðB ． 解 观察如下图所示的集合 A、B 的数轴表示，得 (1) ðA = (−∞, 0] U (3, +∞ ) , ðB = ( −∞, 2] ； (2) A I ðB = (0, 2] ．

教

* 复习： 复习：

学

过

程

（1） 提问——用区间表示数集的方法？ ） （2）讲解作业中的错误之处。 ）

*理论升华 整体建构 理论升华 下面将各种区间表示的集合列表如下（表中 a、b 为任意实数，且 a

区间 集合 区间 集合 ( a, b) {x | a a} [ a, b] {x | a ≤ x ≤ b} (−∞, b) {x | x

R

*运用知识 强化练习

教材练习 2.2.2 １. 已知集合 A = [ −1, 4 ) ，集合 B = ( 0, 5] ，求 A U B ， A I B . ２．设全集为 R，集合 A = ( −∞, −1) ，集合 B = (0,3) ，求 ðA ， ðB ， B I ðA ．

* 课堂小结： 课堂小结：

* 作业布置： 作业布置：

* 教学后记： 教学后记：

教

*回顾思考 复习导入 回顾思考 问题

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程

一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？ 解决 观察函数 y = 2 x − 6 的图像：

方程 2 x − 6 = 0 的解 x = 3 恰好是函数图像与 x 轴交点的横坐标；在 x 轴上方的函数图像所 对应的自变量 x 的取值范围，恰好是不等式 2 x − 6 > 0 的解集 {x | x > 3} ；在 x 轴下方的函数图 像所对应的自变量 x 的取值范围，恰好是不等式 2 x − 6 0) 的解是 x0 ，那么函数 y = ax + b 图像与 x 轴的交点坐标 为 ( x0 , 0) ，并且 （1） 不等式 ax + b > 0 (a > 0) 的解集是函数 y = ax + b 的图像在 x

轴上方部分所对应的自变 量 x 的取值范围，即 {x | x > x0 } ； （2）不等式 ax + b 0) 的解集是函数 y = ax + b 在 x 轴下方部分所对应的自变量 x 的取值范围，即 {x | x 0 与 ax + b

ax 2 + bx + c > (… 或 )0 ax 2 + bx + c

( a ≠ 0) ．

*动手探索 感受新知

思考 二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存在着哪些联系？ 问题

教

已知二次函数 y=x2-x-6，问： 1.怎样画这个二次函数的草图？

学

过

程

2.根据二次函数的图像，能求出抛物线 y=x2-x-6 与 x 轴的交点吗？其交点将 x 轴分成几段？ 3.观察抛物线找出纵坐标 y=0、y>0、y0、y 3} 内的值，使得 y = x 2 − x − 6 > 0 ；在 x 轴下方的函数图像所对应的自变量 x

的取值范围，即 {x | −2

*动脑思考 探索新知

解法 利 用 一 元 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c

( a > 0 ) 的 图 像 可 以 解 不 等 式 ax 2 + bx + c > 0

或

ax 2 + bx + c

（1）当 ∆ = b 2 − 4ac > 0 时，方程 ax 2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数解 x1 和 x2 ( x1 0 的 解 集 是

(−∞, x1 ) U ( x2 , +∞) ；

（ 1）

（2）

（3）

（ 2）当 ∆ = b 2 − 4ac = 0 时，方程 ax 2 + bx + c = 0 有两个相等的实数解 x0 ，一元二次函数

y = ax 2 + bx + c 的 图 像 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 ( x0 , 0) （ 如 图 （ 2 ） 所 示 ） 此 时 ， 不 等 式 ． ax 2 + bx + c 0 的解集是 (−∞, x0 ) U ( x0 , +∞) ．

（3） ∆ = b 2 − 4ac 0 的解集是 R ．

教

* 复习二次函数的图像： 复习二次函数的图像：

学

过

程

讲评家庭作业中的

题目，强调图像不规范的地方。带领学生一起观察图像，看懂图像。 再次明确二次函数图像与解一元二次不等式的联系。 *理论升华 整体建构 理论升华 当 a > 0 时，一元二次不等式的解集如下表所示： 方程或不等式

ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c > 0

ax 2 + bx + c …0 ax 2 + bx + c

解集

∆>0 ∆=0 ∆

{ x1 , x2 }

(−∞, x1 ) U ( x2 , +∞)

{ x0 }

(−∞, x0 ) U ( x0 , +∞)

∅

R R

∅ ∅

( −∞, x1 ] U [ x2 , +∞ )

( x1 , x2 )

R

∅

[ x1 , x2 ]

{ x0 }

表中 ∆ = b 2 − 4ac , x1

*巩固知识 典型例题

例 1 解下列各一元二次不等式： （1） x 2 − x − 6 > 0 ； （2） x 2 0 ； 4） −2 x 2 + 4 x − 3 „ 0 ． （ 分析 首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写 出不等式的解集． 因为二次项系数为 1 > 0 ， 且方程 x 2 − x − 6 = 0 的解集为 {−2 ,3} ， 故不等式 x 2 − x − 6 > 0 解 （1 ） 的解集为 (−∞, −2) U (3, +∞) ． （2）x 2 0 ， 且方程 x 2 − 9 = 0 的解集为 {−3,3} ， 故 x 2 0 中， 5 二次项系数为 −3

2 2  于 方 程 3x 2 − 5 x + 2 = 0 的 解 集 为 { ,1} ． 故 不 等 式 3x 2 − 5 x + 2

2  5 x − 3x 2 − 2 > 0 的解集为  ,1 ． 3 

（4）因为二次项系数为 −2

∆ = ( −4 ) − 4 × 2 × 3 = −8

2

教

学

过

程

解集为 R ，即 −2 x 2 + 4 x − 3 „ 0 的解集为 R ． 例2

x 是什么实数时， 3x 2 − x − 2 有意义．

解 根据题意需要解不等式

2 3x 2 − x − 2 …0 ．解方程 3x 2 − x − 2 = 0 得 x1 = − , x2 = 1 ．由于二 3

2  次项系数为 3 > 0 ，所以不等式的解集为  −∞, −  U [1, +∞ ) ． 3  2  即当 x ∈  −∞, −  U [1, +∞ ) 时， 3x 2 − x − 2 有意义． 3 

*运用知识 强化练习

教材练习 2.3 解下列各一元二次不等式： （1） 2 x 2 − 4 x + 2 > 0 ； 2） − x 2 + 3x + 10 …0 ． （

*课堂小结： 课堂小结：

* 作业布置： 作业布置：

*教学后记： 教学后记：

教

*回顾思考 复习导入 回顾思考 问题

学

过

程

任意实数的绝对值是如何定义的？其几何意义是什么？ 解决 对任意实数 x ，有

 x, x > 0,  x = 0, x = 0, − x, x

其几何意义是：数轴上表示实数 x 的点到原点的距离． 拓展 不等式 x

和 x > 2 的解集在数轴上如何表示？ 根据绝对值的意义可知，方程 x = 2 的解是 x = 2 或 x = −2 ，不等式 x

(−2, 2) （如图（1）所示） ；不等式 x > 2 的解集是 (−∞, −2) U (2, +∞) （如图（2）所示） ．

（1 ）

（2 ） *动脑思考 明确新知 动脑思考 一般地，不等式 x 0 ）的解集是 ( − a, a ) ；不等式 x > a （ a > 0 ）的解集 是 ( −∞, − a ) U ( a, +∞ ) ． 试一试：写出不等式 x „ a 与 x …a （ a > 0 ）的解集． *巩固知识 典型例题 巩固知识 例１ 解下列各不等式： （1 ） 3 x − 1 > 0 ； （2） 2 x ? 6 ．

分析： 分析：将不等式化成 x a 的形式后求解． 由不等式 3 x − 1 > 0 ， x > 得 解 （1）

1 1 1   ， 所以原不等式的解集为  −∞, −  U  , +∞  ； 3 3  3  

教

学

过

程

（2）由不等式 2 x ? 6 ，得 x „ 3 ，所以原不等式的解集为 [ −3, 3] ． *运用知识 强化练习 运用知识 教材练习 2.4.1 解下列各不等式： （2） x 0 ． （1） 2 x …8 ； * 课堂小结： 课堂小结：

*作业布置： 作业布置： 作业布置

* 教学后记： 教学后记：

教 学 过 程

*复习： 复习： 复习 （1）绝对值号的意义？ （2）如何解绝对值不等式？ （3）讲评作业中的问题

*实际操作 探索新知 实际操作 问题 如何通过 x 0 ）求解不等式 2 x + 1

−3

利用不等式的性质，可以求出解集． 总结 可以通过 “变量替换”的方法求解不等式 ax + b c （ c > 0 ） ． *动脑思考 感悟新知 动脑思考 不等式 ax + b c （ c > 0 ）可以通过“变量替换”的方法求解．实际 运算中，可以省略变量替换的书写过程． 即 ax + b

ax + b > c ⇔ ax + b c

*巩固知识 典型例题 巩固知识 例 2 解不等式 2 x − 1 „ 3 ． 解 由原不等式可得 于是 即 所以原不等式的解集为 例 3 解不等式 2 x + 5 > 7 ． 解 由原不等式得 2 x + 5 7 ，整理，得

−3 剟2 x − 1 −2 剟2 x −1 剟 x

3，

4， 2，

[ −1, 2] ．

x

或

x >1，

所以原不等式的解集为 ( −∞, −6 ) U (1, + ∞ ) ． *运用知识 强化练习 运用知识 强化练习 教材练习 教材练习 2.4.2

解下列各不等式： （1） x + 4 > 9 ； （3） 5 x − 4

1 1 „ ； 4 2

（4）

1 x + 1 …2 ． 2

* 作业布置： 作业布置： 讨论 交流 总结 阅读教材本章阅读与欣赏《数学家华罗庚》 ， 小组讨论交流： 1. 我所知道的华罗庚； 2.

我要向华罗庚学习． * 教学后记： 教学后记：