可变样本容量和抽样区间的质量控制图
第17卷 第2期2000年5月
工 程 数 学 学 报
JOURNAL OF ENGINEERING M ATHEM AT ICS
Vol. 17No. 2M ay 2000
文章编号:1005-3085(2000) 02-0031-05
可变样本容量和抽样区间的质量控制图
张维铭
(浙江工程学院, 杭州310033)
摘 要
常规控制图是每隔固定时间从过程抽取固定容量的样本对过程进行监督。本文根据Prabhu 等的联合可变样本容量和抽样区间的-x 图的模型设计可变样本容量和抽样区间的中位值~x 和极差R 控制图, 计算了在可变样本容量和抽样区间下发信号前的平均时间, 并同常规、可变样本容量与可变抽样区间图作比
~较。所设计的x 和R 图能缩短过程失控时间而减少不合格品数。关键词 中位值, 极差, 控制图, 可变样本容量, 可变抽样区间, 平均链长分类号 A M S(1991) 62N 10 中图分类号:O213. 1 文献标识码:A
1 引 言
在直观上, 利用可变样本容量和抽样区间的控制图(CVSI 图) 较之固定样本容量和抽样区间的控制图(FSS 图) 更为合理。若样本点接近控制限, 自然怀疑其后的点子可能超出控制限。这时为了较快地发现过程的变化, 在下一次抽样时自然倾向于抽取更大容量的样本并缩小抽样间隔。这样, 关于点子靠近控制限的疑点能更快地被证实或否认。另一方面, 若现时
的点子靠近目标值, 表示过程稳定, 则在下一次抽取较小样本同时增大抽样间隔也是合理的。样本容量和抽样区间的大小取决于现时样本的观测值。若样本点超出控制限, 则与常规控制图一样发出信号。
2 CVSI 控制图的描述
设观测值x i 服从正态分布N ( , 2) , 以 0和 0分别表示平均值和标准差的目标值。当过程处于控制状态时, 其平均值为 0, 标准差为 0; 当过程发生变化时, 平均值从 0变至 , 标准差从 0变至 。将控制图上的界限分为控制限和警戒限, 警戒限位于中心线和控制限之
~0±r ~x , 警戒限为 0±r ′间。x 图的中心线为 0, 控制限为 x ~, 0
--用关系式:E (~x ) = 0, c m = ~x / x , x = /
n , 控制限可写成 0±r c m /
[1]
n , 警戒限为 0
±r ′c m /
n 。R 图的控制限为E (R ) ±r R =(d 2±rb 2) 0, 记作D 2 0, D 1 0; 警戒限为(d 2
:
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[1]
2 0, D ′1 0。±r ′b 2) 0, 记作D ′式中c m 、d 2和b 2同样本容量n 有关。
~- 0) 为了便于表述, 将统计量V =(x n /(c m ) 和Z =(R / 0-d 2) /b 2描在控制图
上, 因此V 和Z 的控制限和警戒限分别简记为±r 和±r ′。记
I 1=(-r ′, r ′) , I 2=(-r , -r ′]∪[r ′, r ) , I 3=(-∞, -r ]∪[r , ∞) 若前一样本统计量V i -1或Z i -1∈I 1, 则现时样本取较小容量(n 1) , 且等待较长时间(t 2) ; 若V i -1或Z i -1∈I 2, 则现时样本取较大的容量(n 2) , 且等待较短时间(t 1) 。因此, 有关系式
(n 2, t 1) , 若r ′≤V i -1
(n (i ) , t (i ) ) =
(n 1, t 2) , 若-r ′
(n 2, t 1) , 若-r
若V i -1或Z i -1∈I 3, 应采取措施, 消除异常原因。当r ′=r , n 1=n 2=n 0, t 1=t 2=t 0时, 就成
~和R 图。为常规的x
3 CVSI 控制图的设计
欲将CVSI 图同常规图作比较, 当过程位于目标值时, CVSI 图必须满足下列两个要求: E [n (i ) -r
(1) (2)
这保证两图伪警报比率相等。为方便, 用V 表示V i -1, Z 表示Z i -1。当 = 0时, (1) 成为1122(3)
P {V ∈I 1}+P {V ∈I 2}
同样地, t 0亦可表成t 2和t 1的加权平均值。对Z 图, 亦有与(1) 、(2) 和(3) 式相同的表示式。
设总体服从正态分布N ( , ) n =2s +1时, 文[3]给出~x 的分布函数为
n 0=E [n (i ) V ∈(-r , r ) ]=
s s
t (1-t ) d t (4) 0B (s +1, s +1)
右端积分是不完全贝塔分布函数, 记作I (s +1, s +1) 或简记作I , 有现成的表可查。
~
x -
不失一般性, 置 0=0, =1, 并令c =r c m /n , c ′=r ′c m /n 。
(5)
由于I 1-x (a , b ) =1-I x (b , a ) , 故由(4) 式得
~
这里P {~x
~
~
t 2=[t 0(n 1-n 2) -b -t 1d ]/(n 1-n 2-d ) 这里
b =2(t 0-t 1) (n 1-n 2) P {~x
, , (9) (8)
警戒限c ′或r ′可由所选取的(n 1, n 2) 或(t 1, t 2) 来决定。使n 1、n 2和t 1保持固定, 联立(7) 和(8)
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分布函数为G (x ) =P {R /
g (w ) d w 。置 =∫
x
1, 于是
P {Z ∈I 1}=P { Z
P {Z ∈I 2}=P {R
(10)
4 CVSI 控制图的平均链长
控制图的链长是指发信号以前抽取的样本数。当 = 0或 = 0时, 以N 0表示图形发信号前的样本数; 当 或 发生变化时, 以N 1表示发信号前的样本数。N 0应该很大, 使得伪警报的比率很小; N 1应该很小, 使得异常原因更早地被发现。因此平均链长E (N 0) 和E (N 1) 是控制图相对效率的度量。
链长亦可用发信号前的时间来度量, 即将每个样本的抽样区间长度相加。设E (T ) 表示过程平均值从 0变至 时发信号前的平均时间。应用马氏链的方法可以计算E (T ) 。将样本点位于区域I 1、I 2和I 3分别看作过程处于状态1、2和3。状态3是吸收状态。以p jk 表示平均值变至 时从前一区域j 转至现时区域k 的转移概率。剔除与吸收状态相联系的元素, 得到 Q =
p 11p 21
p 12p 22
n i /(c m )
n i /(c m )
(11) (12)
~- 0 其中 p i 1=P { V
p i 2=P {r ′
Prabhu 等求得CVSI 图的E (N ) 的表达式[2]为
E (N ) =P ′(I -Q ) -11
(13)
这里P ′=(p 1, p 2) 是初始概率向量, 满足p 1+p 2=1, I 是秩2的单位矩阵1是2×1单位列向量。对CVSI 方案, 样本之间的时间是变化的。从P ′(I -Q ) -1得到图形发信号前状态的平均转移数, 故平均样本数与相应的抽样区间之积决定了发信号前的平均时间。设t ′=(t 2, t 1) 是抽样区间的向量, 则
E (T ) =P ′(I -Q ) -1t
选择p 1和p 2使得当 = 0时分别为样本点位于区域I 1和I 2内的比率, 即
~0m p 1==
P { V
}P { x - 0 n /(c m )
n 1p 1+n 2p 2=n 0, t 2p 1+t 1p 2=t 0, p 2=1-p 1
将(15) 式中的V 换为Z , 同样可得到R 图的p 1和p 2的表达式。
(16) (14)
(15)
5
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控制图应在同一条件下进行比较, 换言之, 它们应有相同的伪警报概率和平均发信号时间E (T 0) 。
对FSS 图, r =3, n 0=5, t 0=1(小时) , 于是c m =1. 198, c =1. 6067。N 0和N 1均服从
~ ≥c }。参数为q 的几何分布, 这里q =P { x 当 = 0=0时, 由(4) 式得1-q 0=0. 9970, 因此E (T 0) =1/q 0=333. 33。对CVSI 图, 由(14) 式, E (T 0) =332. 76。
当 =0. 5时, 对FSS 图, 1-q 1=0. 9803, 因此E (N 1) =50. 76。
对CVSI 图, 首先, 当 = 0, n 0=5, n 1=3, n 2=7时, 由(7) 式得I (c ′) =0. 74925, 从而 (c ′) =0. 6401, c ′=0. 3589。由r ′c m /
n 0
=0. 3589得r ′=0. 67。当 = 0, n 0=5时, 由
(16) 式中第一式得p 1=0. 5, p 2=0. 5。当n =n 1=3时, c m =1. 160, c ′=0. 4486, c =2. 0092。当n =n 2=7时, c m =1. 212, c ′=0. 3069, c =1. 3743。当 =0. 5, n 1=3时, 由(11)
和(12) 式得p 11=0. 3912, p 12=0. 5962。同样, 当n 2=7时, p 21=0. 2973, p 22=0. 6742。取t 1=0. 1, 由(9) 式算得t 2=1. 9。将以上数值代入(14) 式, 得到E (T ) =31. 05。
FSSR 图和CVSIR 图的E (T ) 值可用同样方法算得。
表1和表2对不同的 和 值分别列出了中位值和极差的FSS 图和CVSI 图的E (T ) 值。从该两表看出, 当 = 0或 = 0时, 两图的E (T 0) 是相近的。当平均值或标准差发生变化时, CVSI 图比FSS 图能较快地发出过程变化的信号, 故利用CVSI 图能大大地提高FSS 图的灵敏度。
6 CVSI 图同VSS 图和V SI 图的比较
置t 1=t 2=t 0=1, 可设计抽样区间固定时可变样本容量(VSS) 的~x 和R 图。样本容量
n 1和n 2之间的转移依赖于前一样本统计量。若现时样本点接近控制限, 则在下一次抽取较大的样本(n 2) ; 若点子靠近目标值, 则在下一次抽取较小的样本(n 1) 。设VSS 图的控制限和警戒限与CVSI 图的界限相同。当 = 0或 = 0时, 由(1) 和(3) 式决定的平均样本容量E [n (i ) ]亦适用于VSS 图。因此VSS 图的平均样本数E (N 1) 或平均时间E (T ) 可用(13) 式来计算, 对不同的 和 值分别计算得VSS 的~x 和VSSR 图的E (T ) 值, 如表1和表2所示。~和CVSI 的R 图能较快地发现过程的由该两表知, 与VSS 的~x 和VSSR 图相比, CVSI 的x 变化。
文[3]设计了样本容量固定时可变抽样区间(VSI) 的~x 和R 图。若现时样本点接近控制限, 则提早(t 1) 抽取下一个样本; 若点子靠近目标值, 则等待较长时间(t 2) 抽取下一个样本。设VSI 图的控制限和警戒限与CVSI 图相同, 当 = 0或 = 0时, 由(2) 式决定的平均抽样区间E [t (i ) ]适用于VSI 图。因此, 当n 1=n 2=n 0时, VSI 图的发信号前的平均时间亦可用(14) 式来计算。文[3]中按其公式(3. 2) 对不同的 和 值分别计算了VSI 的~x 和VSIR 图的E (T ) 值。按公式(14) 计算VSI 图的E (T ) 值与按文[3]中其(3. 2) 式计算结果仅有微小的差异, 如表1和表2所示。从表看出, CVSI 图较之VSI 图能较快地发现 和 的较小或中等的变化(0. 5≤ ≤1. 5, 1. 25≤ ≤2) 。当 =2时, 两图的E (T ) 值是十分接近的。
7 CV SI 控制图的应用
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0=60, 0=6。88-0. 04mm 。为了计算简化, 各数据前均省略了15. 8, 并乘以1000。因此 为了
表1 中位值图的E(T ) 值(r=3, r ′=0. 67, 表2 极差图的E(T ) 值(r =3, r ′=0. 68,
n 1=3, n 2=7, t 1=0. 1, t 2=1. 9) FSS 0
n 0=5
CVSI (3. 7)
VSS t 0=1
V SI n 0=5
1
n 1=3, n 2=7, t 1=0. 1, t 2=1. 9)
F SS n 0=5
CV SI (3. 7)
V SS t 0=1
V SI n 0=5
t 0=1(0. 1, 1. 9) (3, 7) (0. 1, 1. 9)
333. 33332. 76333. 03333. 33
31. 056. 762. 291. 171. 04
43. 5313. 505. 501. 981. 33
37. 169. 703. 221. 211. 03
t 0=1(0. 1, 1. 9) (3, 7) (0. 1, 1. 9) 200197. 58198. 72200
18. 944. 812. 351. 67
22. 316. 663. 382. 30
19. 855. 252. 541. 72
0. 550. 760. 7518. 251. 01. 52. 0
7. 812. 381. 30
1. 2523. 261. 507. 191. 753. 672
2. 44
~图, 减少发现失控过程的平均时间, 采用方案:n 1=3, n 2=7, t 1=0. 1, t 2=1. 9。对CVSI 的x r =3, r ′=0. 67; 对CVSI 的R 图, r =3, r ′=0. 68。
生产开始时, 在8∶00抽取容量为7的第一个样本, 其观测值、中位值和极差如表3第1
行。当n 2=7时, c m =1. 212, d 2=2. 7044, b 2=0. 8332, V =2. 55, Z =-0. 65。因此, V ∈[0. 67, 3) , Z ∈(-0. 68, 0. 68) 。为了统一起见, 抽取第二个样本时, 对两图均取n 2=7。
抽样时间8:008:0610:00
705865
676168
表3 罗拉外径的数据、中位值和极差
罗拉外径x R 656178
6270
7567
6760
7270
676168
131213
V 2. 550. 361. 99
Z -0. 65-0. 850. 53
在8∶06抽取第二个样本, 其观测值如表3第2行, 算得V =0. 36∈(-0. 67, 0. 67) , 而Z =-0. 85∈(-3, -0. 68]。Z
减少表示质量改进, 规定:若Z
图1 CVSI 和V SS 的V 图和Z 图
CVSI 图上的点子用圆圈表示。为比较在
同一坐标系中作出VSS 图, 其点用星号表示。所作CVSI 图和VSS 图如图1所示。从图看出, CVSI 的V 图比VSS 的V 图提早54min 发现过程的异常变化, 故其效率大于VSS 图。
~和R 描在图上, 可用两种刻度绘制图形。如果不用变换V 和Z 而直接将x 左边刻度代表
大样本n 2的~x 或R 值, 用圆圈描绘; 右边刻度代表小样本n 1的~x 或R 值, 用星号描绘。
24)
24
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因此有
G
-1
1
*n
(f , x ) -f (x )
2
1-x 1≥=
9n
(f , ) +‖f ‖∞
n 9n
参考文献
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2
The Rate of Weighted L -Convergence of a Kind of Quasi -G r nwald Interpolatory O perators
Xu Guiqiao Liu Yongping
(Beijing N orm al U niversity , 100875)
Abstract
In this paper w e first pr ove that t he sequence of the Gr nw ald inter polatory operator s based on the T cheby cheff nodes of t he second kinds is no t L 2-converg ence operator s sequence, then a kind of quasi-Gr nw ald inter polatory pr ocess and lts r ate o f weig hted L 2-co nv ergence ar e presented .
---------------------------------(上接35页)
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Q uality Control Charts with Variable Sample Size
and Sampling Interval
Zhang Weiming
(Zhejiang Instit ute of science and T echnology , Hangzhou 310033)
Abstract
M edian and range charts with variable sample sizes and sampling inter val ar e pr oposed based on the Pr abhu model o f the -x control chart, calculating the averag e time of the sig nal fo r ~x and R charts under the var iable sample sizes and sampling interval. In the meantime, these char ts are compared w ith the conv entio nal char ts , the variable sample size charts and the variable sampling interv al charts .