初中数学竞赛-因式分解(1)

初中数学竞赛专题培训 第一讲：因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法 ＝(a-b)+2c(a-b)+c =(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b) 7

52

25

7

2

2

2

22

22

和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2

-b2

=(a+b)(a-b)； (2)a2

±2ab+b2

=(a±b)2

； (3)a3

+b3

=(a+b)(a2

-ab+b2

)； (4)a3

-b3

=(a-b)(a2

+ab+b2

)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2

+b2

+c2

+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

；

(6)a3

+b3

+c3

-3abc=(a+b+c)(a2

+b2

+c2

-ab-bc-ca)；

(7)an

-bn

=(a-b)(an-1

+an-2

b+an-3

b2

+…+abn-2

+bn-1

)其中n为正整数； (8)an

-bn

=(a+b)(an-1

-an-2

b+an-3

b2

-…+abn-2

-bn-1

)，其中n为偶数； (9)an

+bn

=(a+b)(an-1

-an-2

b+an-3

b2

-…-abn-2

+bn-1

)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1yn

+4x

3n-1

yn+2-2xn-1yn+4

；

(2)x3

-8y3

-z3

-6xyz； (3)a2

+b2

+c2

-2bc+2ca-2ab； (4)a7

-a5b2

+a2b5

-b7

．

解 (1)原式=-2xn-1yn

(x4n

-2x2n

y2

+y4

) =-2xn-1yn

[(x2m)2

-2x2ny2

+(y2)2

] =-2xn-1yn

(x2m

-y2)2

=-2xn-1yn

(xn

-y)2

(xn

+y)2

． (2)原式=x3

+(-2y)3

+(-z)3

-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2

+4y2

+z2

+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2

-2ab+b2

)+(-2bc+2ca)+c2

- 1 -

=a5

(a2

-b2

)+b5

(a2

-b2

) =(a2

-b2

)(a5

+b5

)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4

-a3

b+a2b2

-ab3

+b4

) =(a+b)2

(a-b)(a4

-a3

b+a2b2

-ab3

+b4

) 例2 分解因式：a3

+b3

+c3

-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式

(a+b)3

=a3

+3a2

b+3ab2

+b3

的正确性，现将此公式变形为

a3

+b3

=(a+b)3

-3ab(a+b)．

这个

式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

解 原式=(a+b)3

-3ab(a+b)+c3

-3abc =［(a+b)3+c3

］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2

-c(a+b)+c2

]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2

+b2

+c2-ab-bc-ca)．

说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3

+b3

+c3

-3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3

+b3

+c3

=3abc；当a+b+c＞0时，则a3

+b3

+c3

-3abc≥0，即a3

+b3

+c3

≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a3

≥0，y=b3

≥0，z=c3

≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． 例3 分解因式：x15

+x14

+x13

+…+x2

+x+1．

分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，15

原式=x-9x+8 3

x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an

-bn

来分解． 解 因为

x16

-1=(x-1)(x15

+x14

+x13

+…x2

+x+1)， 所以

说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例4 分解因式：x3

-9x+8．

分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3

-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2

+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3

-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2

+x-8)．

解法3 将三次项x3

拆成9x3

-8x3

． 原式=9x3

-8x3

-9x+8 =(9x3

-9x)+(-8x3

+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2

+x+1) =(x-1)(x2

+x-8)． 解法4 添加两项-x2

+x2

．

=x3

-x2

+x2

-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2

+x-8)．

说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中

技巧性最强的一种． 例5 分解因式： (1)x9

+x6

+x3

-3； (2)(m2

-1)(n2

-1)+4mn； (3)(x+1)4

+(x2

-1)2

+(x-1)4

； (4)a3

b-ab3

+a2

+b2

+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x9

+x6

+x3

-1-1-1 =(x9

-1)+(x6

-1)+(x3

-1)

=(x3

-1)(x6

+x3

+1)+(x3

-1)(x3

+1)+(x3

-1) =(x3

-1)(x6

+2x3

+3)

=(x-1)(x2

+x+1)(x6

+2x3

+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m2

-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2

-m2

-n2

+1+2mn+2mn =(m2n2

+2mn+1)-(m2

-2mn+n2

) =(mn+1)2

-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2

-1)2

拆成2(x2

-1)2

-(x2

-1)2

． 原式=(x+1)4

+2(x2

-1)2

-(x2

-1)2

+(x-1)4

=［(x+1)4

+2(x+1)2

(x-1)2

+(x-1)4

]-(x2

-1)2

=［(x+1)2

+(x-1)2]2

-(x2

-1)2

=(2x2

+2)2

-(x2

-1)2

=(3x2

+1)(x2

+3)． (4)添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2

+1+ab-ab =(a3

b-ab3

)+(a2

-ab)+(ab+b2

+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2

+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2

+1) =[a(a-b)+1](ab+b2

+1) =(a2

-ab+1)(b2

+ab+1)．

说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过 说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式． 例9 分解因式：6x+7x-36x-7x+6． 解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x =6[(x-1)+2x]+7x(x-1)-36x =6(x-1)+7x(x-1)-24x 2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

4

2

2

4

3

2

程简明清晰．

例6 分解因式：(x2

+x+1)(x2

+x+2)-12．

分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2

+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x2

+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2

+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2

+x-2)(x2

+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)．

说明 本题也可将x2

+x+1看作一个整体，比如今x2

+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例7 分解因式：

(x2

+3x+2)(4x2

+8x+3)-90．

分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2

+5x+3)(2x2

+5x+2)-90． 令y=2x2

+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y2

+y-90 =(y+10)(y-9)

=(2x2

+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础． 例8 分解因式：

(x2

+4x+8)2+3x(x2

+4x+8)+2x2

．

解 设x2

+4x+8=y，则

原式=y2

+3xy+2x2

=(y+2x)(y+x) =(x2

+6x+8)(x2

+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2

+5x+8)．

- 3 -

=[2(x2

-1)-3x］［3(x2

-1)+8x] =(2x2

-3x-2)(3x2

+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明 本解法实际上是将x2

-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体． 解法2

原式=x2

[6(t2

+2)+7t-36]

=x2

(6t2

+7t-24)=x2

(2t-3)(3t+8) =x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8] =(2x2

-3x-2)(3x2

+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2

)．

分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式． 解 原式=[(x+y)2

-xy]2

-4xy[(x+y)2

-2xy]．令x+y=u，xy=v，则 原式=(u2

-v)2

-4v(u2-2v) =u4

-6u2

v+9v2

=(u2

-3v)2

=(x2

+2xy+y2

-3xy)2

=(x2

-xy+y2)2

．

练习一

1．分解因式

x2nxn

1y21

94

(2)x10

+x5

-2； 先十字相乘法再用公式法

难

(x2x)2(x23x2)24(x2x1)2

先对后两项利用平方差公式进行因式分解，然后提取公因式 x2

-x

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5

．

把前半部分分子分母同乘(x-1)2

变为(x61)2

(x1)

x5然后同分分子展

开整理即可

2．分解因式：

(1)x3

+3x2

-4； (2)x4

-11x2y2

+y2

；难-添项 若为x4

-11x2y2

+y4

则容易解 把-11x2

y2

分解为-2x2y2

-9x2y2

即可 (3)x3

+9x2

+26x+24； (4)x4-12x+323．

把26x分成20x+6x 原式变为 x4

36x232436x212x1

3．分解因式：

(1)(2x2

-3x+1)2

-22x2

+33x-1；

最后变为-11+10

(2)x4

+7x3

+14x2

+7x+1；

拆项成：

x47x312x2x23xx24x1

(3)(x+y)3

+2xy(1-x-y)-1；

换元之后再添项 例如(x

y)(xy2xy)(xy1)(xy1)也用换元法

(4)(x+3)(x2

-1)(x+5)-20．

把(x2

-1)展开再按照(x+3) (x+1)、(x-1) (x+5)重新组合

然后换元