2016全国卷I高考数学理科试题压轴题参考答案
2016全国卷（I）高考数学理科试题压轴题参考答案20（本小题满分12分）设圆x 2+y 2+2x -15=0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C , D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （1）证明：EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程。（2）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M , N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P , Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围。
解：（1）圆方程x 2+y 2+2x -15=0可化为(x +1)+y 2=162
∴圆心A(-1,0),半径r=4
由AC//EB,所以∠EBD=∠ACD...(1)
又AC=AD,所以∠ADC=∠ACD....(2)
由(1),(2)式，得∠EBD=∠ADC
得BE =DE
所以AE +BE =AE +DE =AD =4
所以点E 的轨迹是以A,B 为焦点，长轴为4的椭圆。
x 2y 2
+=1E 的轨迹方程为43
（2）（i）当直线MN 的方程斜率存在时
设直线MN 的方程为y =k (x -1)
则直线PQ 的方程为y =-
⎧x 2y 2
=1⎪+联立⎨4消y 得3⎪y =k (x -1)⎩1(x -1)k
(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0
MN =12(1+k 2)(4k 2+3)
直线PQ 方程y =-1(x -1)可化为x +ky -1=0k 点A 到直线PQ 的距离为：d PQ =S 四边形MPNQ 21112(1+k )=MN ⋅PQ =⋅⋅22(4k 2+3)=12
容易算得：
所以S 四边形MPNQ =1212≤S 四边形MPNQ
（II）设x 1, x 2是f (x ) 的两个零点，证明：x 1+x 2
（I ）由f (x ) =(x-2)e x +a (x -1) 2
得f '(x ) =(x-1) (e x +2a )
（i ）当a >0，时(e x +2a )>0
x>1 时,f '(x ) >0, f '(x ) 在（1+，∞）单调递增x
又f (2) =(2-2)e 2+a (2-1) 2=a >0
x →-∞, f (x ) →+∞
由零点定理可知，存在x 1∈(-∞，1)，x 2∈(1，2)为f (x ) =0的零点
（ii ）当a =0，时f (x ) =(x-2)e x , f '(x ) =(x-1)e x 显然f (2) =0
x>1 时,f '(x ) >0, f '(x ) 在（1+，∞）单调递增x
x →-∞, f (x ) →0
由零点定理可知，只存在x=2，为f (x ) =0的零点（iii ）当a
f (ln (-2a )) =(ln (-2a )-2)e ln (-2a )+a (ln (-2a )-1) 2(令t =ln (-2a ))
2=-2a (t-2) +a (t -1) 2=a ⎡⎣(t -1) -2(t-2) ⎤⎦
=a (t 2-4t+5)=a (t -2)+1
f (x ) 极大⋅f (x ) 极小=f(1) ⋅f (ln (-2a )) >0
所以f (x ) =0，只有一个零点。
综上所述：a >0
（II ）证明：
当a >0由（I ）可知f (x ) =0，存在两个零点x 1，x 2不妨设x 1
要证明：x 1+x2
即证x 1
又x 1f (2-x 2)
即证f (x 2) >f (2-x 2)[∵f (x 1) =f (x 2) ]
构造F (x ) =f (x )-f (2-x )(1
则F '(x ) =f '(x )+f'(2-x )
=(x-1) (e x +2a)+(2-x-1) (e 2-x +2a)
=(x-1) (e x +2a)-(x-1) (e 2-x +2a)
x 2-x =(x-1) ⎡e +2a-e +2a)⎤()(⎣⎦
x 2-x =(x-1) ⎡⎣e -e ⎤⎦
∵11, e x >e 2-x
∴F '(x ) >0，即F (x ) 在(1，2) 单调递增
F (x ) >F (1)
f (x )-f (2-x )>f (1)-f (2-1)=0
即f (x 2)>f (2-x 2)成立
f (x 1)>f (2-x 2)也就成立，
最终x 1+x2
证毕。