立体几何知识梳理:线面的位置关系
立体几何知识梳理：线面的位置关系
一．基础知识：
（1）公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
作用：证明直线在平面内。
（2）公理2：经过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面。（确定一个平面） 作用：如何确定一个平面。
①推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
作用：证明点在直线上。
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
作用：证明直线与直线平行。
二．直线与平面的位置关系：
（1）直线与直线的位置关系：
（2）直线与平面的位置关系：
（3）平面与平面的位置关系：
例1．已知：三条直线两两相交，由三个交点，求证：这三条直线共面。
例2．已知：平面、，直线a 、b 、c 且，，，，，求证：与是异面直线。
证明
三．有关平行的判定：
1．直线与直线平行：
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平 行；
（3）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
（4）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；
2．直线与平面平行：
（1）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；
3．平面与平面平行：
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（2）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
例3．若三个平面两两相交有三条交线，则这三条交线平行或共点。
例4
．已知：正方体
，求证： 平面中，
、
。 分别为
、
上的点，四．有关垂直的判定
1．直线与直线垂直：
（1）如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条直线也垂直于第三条直线；
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线；
（3）三垂线定理：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也
与这条斜线垂直；
三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在这个平面内的射影垂直；
2．直线与平面垂直：
（1）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；
（3）两个平面垂直，如果一个平面内的一条直线垂直于交线，那么这条直线垂直于另一个平面；
3．平面与平面垂直：
（1）如果两个平面相交所成的二面角为直二面角，那么么这两个平面垂直；
（2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直；
例5．已知：ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为PC 、AB 的中点，求证：MN ⊥AB 。
五．有关成角问题：
1．异面直线所成的角：（00
经过空间任意一点，分别引两条异面直线a 、b 的平行线a ’、 b ’， a ’、 b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 、b 所成的角。
2．直线与平面所成的角：（00≤θ≤900）
平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做斜线与平面所成的角；
当线面垂直时，垂线与平面所成的角为直角；线面平行或线在面内，规定线面角为零角。
3．平面与平面所成的角：
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这6
两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（00
各种角都用空间向量来求大小。
例6．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC,EF ∥AC,AB=
，CE=EF=1. （1）求证：AF ∥平面BDE ； （2）求证：CF ⊥平面BDE ； （3）求：二面角A-BE-D 的大小。 证明：
（
例7．已知：三棱锥
AB 上一点，中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，，M 、S 分别为PB 、BC 的中点， ，N 为
（1）求证：CM ⊥SN ；
（2）求：SN 与平面CMN 所成角的大小。