2015年高考解三角形全部题型分类
教学过程
一、课堂导入
如下图所示,固定∆ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。
思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系?显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?
二、复习预习
复习:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如下图所示,在
Rt ∆ABC 中,设BC =a , AC =b , AB =c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,
有a c =sin A ,b c =sin B ,又sin C =1=c a b c a b c c , 则sin A =sin B =sin C =c , 从而在直角三角形ABC 中,sin A =sin B =sin C
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?
预习:正弦定理、余弦定理的内容
三、知识讲解
考点1 利用正弦、余弦定理解三角形
考点2 三角形形状的判定
判断三角形的形状的基本思想是:利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形.如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外,在变形过程中要注意A ,B ,C 的范围对三角函数值的影响.
考点3 与三角形面积有关的问题
正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用;在解决三角形问题中,面11
积公式S =absin C==acsin B最常用,因为公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
1
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考点4 应用举例、生活中的解三角形问题
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①) .
2.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②) .
四、例题精析
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 在△ABC中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c. 角A ,B ,C 成等差数列. (1)求cos B的值;
(2)边a ,b ,c 成等比数列,求sin Asin C的值.
1
【规范解答】(1)由已知2B =A +C ,A +B +C =180°,解得B =60°,所以cos B=.
2(2)由已知
b 2=ac ,及
1
cos B,
2
3c 2+a 2-b 2
根据余弦定理得cos B=,解得a =c ,所以B =A =C =60°,故sin Asin C=
42ac
【总结与反思】应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.
考点二 三角形形状的判定
例2 △ABC 满足sin B=cos Asin C,则△ABC 的形状是( ) . A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形
D .等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【规范解答】∵sin B=cos A·sin C,
b 2+c 2-a 2
∴b=·c.∴b2+a 2=c 2.
2bc
∴△ABC为直角三角形,选A .
【总结与反思】判断三角形的形状的基本思想是:利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形.如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外,在变形过程中要注意A ,B ,C 的范围对三角函数值的影响.
考点三 与三角形面积有关的问题
例3 在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c =2,C =π
3(1)若△ABC 的面积等于
3,求a ,b ;
(2)若sin C+sin(B-A) =2sin 2A,求△ABC 的面积.
【规范解答】(1)由余弦定理及已知条件,得a 2+b 2-ab =4,又因为△ABC的面积等于
3,所以absin C2
1
3,得
⎧⎪a =2,
ab =4.联立方程组解得⎨(2)由题意得sin(B+A) +sin(B-A) =4sin Acos A,即sin Bcos A=2sin Acos A.
⎪⎩b =2. ππ433123
当cos A=0时,A =,B =,a =b =的面积S ==;当cos A≠0时,得sin B
263323
⎧2a =123⎪⎪3=2sin A,由正弦定理得b =2a ,联立方程组解得⎨。所以△ABC的面积S =absin C2343⎪b =
⎪3⎩
的面积为
3
3
【总结与反思】正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用;在解决三11
角形问题中,面积公式S ===acsin B最常用,因为公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦
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定理联系起来.
考点四 应用举例、生活中的解三角形问题
例4 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.
【规范解答】依题意画出图,某人在C 处,AB 为塔高,他沿CD 前进,CD =40米,此时∠DBF=45°,从C 到D 沿途测塔的仰角,只有B 到测试点的距离最短,即BE⊥CD时,仰角才最大,这是因为tan∠AEB=
AB BE
AB 为定值,BE 最
小时,仰角最大.
40sin 30°
在△BCD中,由正弦定理,得=,∴BD==sin∠DBCsin∠BCDsin 135°15°=CD
BD
2;在Rt△BED中,∠BDE=15°,BE =BDsin
10
3)(米) .∴所求的塔高为3
10
3-1) .在Rt△ABE(3-
3
3) 米.
【总结与反思】测量距离问题,需注意以下几点:
(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型; (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解
五、课堂运用
【基础】
1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC =32,则AC =( ) . A .4
3 .2
3 C .
3 D .
32
B
【答案】B
【规范解答】由正弦定理得
=,解得AC =sin Asin Bsin 60°sin 45°BC
AC
3
2
AC
3.
2.在△ABC 中,cos 2B 2a +c 2c ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边) ,则△ABC 的形状为( ) .
A .等边三角形
B .直角三角形
C .等腰三角形或直角三角形
D .等腰直角三角形
【答案】B
【规范解答】∵cos2B 2=a +c 2c ,
∴2cos2B a +c 21=c 1,
∴cos B=a c ∴c 2+a 2-b 2a 2ac =c ,∴c2=a 2+b 2.
bsin B3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若a ,b ,c 成等比数列,A =60°,则=( ) . c
A B .1 12
C .2
2
.32 D
【答案】D
【规范解答】∵b2=ac ,∴b . c b a bsin Basin B3∴==sin A= c
故选D .
b 2
4.如图,为了测量隧道AB 的长度,给定下列四组数据,无法求出AB 长度的是( ) .
A .α,a ,b B .α,β,a
C .a ,b ,γ D .α,β,γ
【答案】D
【规范解答】利用余弦定理,可由a ,b ,γ或α,a ,b 求出AB ;利用正弦定理,可由a ,α,β求出AB , 当只知α,β,γ时,无法计算AB .
【巩固】
1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. 若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos 2B =( ) .
A 1 B .122 C .-1 D .1
【答案】D
【规范解答】根据正弦定理a b sin Asin B2R 得,a =2Rsin A,b =2Rsin B,
∴acos A=bsin B可化为sin Acos A=sin 2B .
∴sin Acos A+cos 2B =sin 2B +cos 2B =1.
2.在△ABC 中,(a+b +c)(a+b -c) =3ab ,且acos B=bcos A,则△ABC 的形状为__________.
【答案】等边三角形
【规范解答】∵(a+b +c)(a+b -c) =3ab , ∴(a+b) 2-c 2=3ab .
∴a2+b 2-c 2=ab .
∴cos C=a2+b2-c22ab 12.∴C=π3.
∵acos B=bcos A,
∴sin Acos B=sin Bcos A.
∴sin(A-B) =0.
∴A=B .
故△ABC为等边三角形.
【拔高】
π1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c. 若a =2,B =c =63,则b =______.
【答案】2
【规范解答】∵b2=a 2+c 2-2accos B=4+12-2×2×2
∴b=2. 3×32=4,
2.在△ABC中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. 已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.
(1)求证:a ,b ,c 成等比数列;
(2)若a =1,c =2,求△ABC的面积S.
【规范解答】在△ABC中,由于sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,
sin Asin Csin A sin C (+)所以sin B=·sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, cos Acos Ccos A cos C
所以sin Bsin(A+C) =sin Asin C,又A +B +C =π,所以sin(A+C) =sin B,因此sin 2B =sin Asin C.
由正弦定理得b 2=ac ,即a ,b ,c 成等比数列.
(2)解:因为a =1,c =2,所以b =
17c 2+a 2-b 232,由余弦定理得cos B==,因为0<B <π,所以sin B=故△ABC442ac 177的面积S =acsin B=×1×2×= 2244
课程小结
(1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ⇔a >b ⇔sin A>sin B.
(2)在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:①已知两角及任一边,求其它边或角;②已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况②中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.
余弦定理可解决两类问题:①已知两边及夹角求第三边和其他两角;②已知三边,求各角.
(3)根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
①化边为角;②化角为边,并常用正弦(余弦) 定理实施边、角转换.