平面应变状态下粘性土破坏时的中主应力公式
第23卷 第18期
岩石力学与工程学报 23(18)：3174～3177
2004年9月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept . ，2004
平面应变状态下粘性土破坏时的中主应力公式
李 刚 谢 云 陈正汉
(后勤工程学院军事土木工程系 重庆 400041)
摘要 从平面应变状态下破坏时金属和无粘性土的中主应力公式出发，针对粘性土提出：在破坏状态下中主应力
σ2使(σ1－σ2) 莫尔圆和(σ2－σ3) 莫尔圆有相同的摩擦发挥度和粘性发挥度。首先，推导出了粘性土的中主应力公
式，当c ，ϕ 分别取0时，公式分别退化成金属和无粘性土的形式，然后，得到了平面应变和三轴压缩两种应力状态下强度指标的关系。
关键词 土力学，粘性土，平面应变状态，三轴压缩状态，中主应力
分类号 TU 413 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(2004)15-3174-04
FORMULA OF INTERMEDIATE PRINCIPAL STRESS AT FAILURE FOR
COHERENT SOIL IN PLANE STRAIN STATE
Li Gang，Xie Yun，Chen Zhenghan
(Department of Civil Engineering，Logistical Engineering University， Chongqing 400041 China )
Abstract Based on the stress state at failure for coherent and frictional materials in plane strain state，it is hypothesized that the intermediate principal stress，σ2，makes the Mohr circles of (σ1－σ2) and (σ2－σ3) have the same effect degree of cohesion and friction，and then the intermediate principal stress formula at failure for coherent and frictional materials in plane strain state is obtained. When coherence，is equal to zero，the formula c ，becomes the one of frictional materials，and when frictional angle，ϕ，is equal to zero，the formula becomes the one of coherent materials. At last，the relationships of strength indexes in plane strain state and those in triaxial compressive state are gained.
Key words soil mechanics ，coherent soil，plane strain state，triaxial compressive state，intermediate principal stress
本文首先从平面应变状态下金属和无粘性土的中主应力公式出发，推出了粘性土类粘摩擦材料的中主应力公式，然后得到了两种应力状态下强度参
平面应变状态是岩土工程中常遇到的应力状态
数间的关系。
1 引 言
之一，在土石坝、边坡、地基、挡土墙工程中，土体一般处于平面应变状态。现代工程中采用的土体的抗剪强度参数大多由三轴压缩试验得到，而平面应变状态下由于中主应力的影响，土体的强度大于三轴压缩状态。建立两种应力状态下强度关系的一条途径就是确定土体破坏时的中主应力。
2002年11月19日收到初稿，2003年3月24日收到修改稿。
2 平面应变状态下破坏时的中主应力
对于金属等纯粘聚性材料，根据相关流动法则和Mises 准则可以推导出平面应变状态下的该类材料破坏时的中主应力为
作者 李 刚 简介：男，26岁，现为后勤工程学院博士研究生，主要从事土动力学方面的研究工作。E-mail ：[email protected]。
第23卷 第18期 李 刚等. 平面应变状态下粘性土破坏时的中主应力公式 • 3175 •
σ2=(σ1+σ3) /2 (1)
对于无粘性土类纯摩擦材料，根据相关流动法则和SMP 准则，可以推导出平面应变状态下的该类材料破坏时的中主应力[1
～3]
为
σ2=1σ3 (2)
图1，2分别显示了式(1)，(2)确定的中主应力σ2
在莫尔圆中的位置。从图1中可以看出，对于纯粘聚性材料，中主应力σ2使σ1-σ2莫尔圆和σ2-σ3莫尔圆有相同的粘聚性发挥度；从图2中可以看出，对于纯摩擦材料，中主应力σ2使σ1-σ2莫尔圆和
σ2-σ3莫尔圆有相同的摩擦发挥度。
τ c
图1 纯粘聚性材料的莫尔圆 Fig.1 Mohr circle of coherent material
图2 纯摩擦材料的莫尔圆
Fig.2 Mohr circle of frictional material
对于粘性土类粘聚-摩擦材料，其强度与粘聚力c 以及摩擦角ϕ有关，由M-C 准则可知
τ=c +σn tan ϕ (3)
由前面的分析可以假设，平面应变状态下粘性土破坏时的主应力σ2使(σ1-σ2) 莫尔圆和(σ2-σ3) 莫尔圆有相同的粘聚性发挥度和摩擦发挥度。在
τ-σ平面上，如果σ1-σ2莫尔圆和σ2-σ3莫尔圆公切线与τ轴的截距为c ′，与σ轴的夹角为ϕ′，则上述假设意味着：
c ′c =tan ϕ′tan ϕ
(4)
于是M-C 准则可表示为
σσ2⎛ϕ⎞⎛
ϕ⎞1=3tan ⎜⎝45o +2⎟⎠+2c tan ⎜⎝
45o +2⎟⎠ (5)
由σ1-σ2莫尔圆可得 σ⎛ϕ⎞⎛
ϕ′⎞1=σ2tan 2⎜⎝45o +2⎟⎠+2c ′tan ⎜⎝45o +2⎟⎠ (6)
由σ2-σ3莫尔圆可得 σ⎛ϕ′⎞⎛
ϕ′⎞2=σ3tan 2⎜⎝45o +2⎟⎠+2c ′tan ⎜⎝45o +2⎟⎠ (7)
由式(4)，(6)，(7)可以解得σ2。 令
c c tan ϕ=′tan ϕ′
=k 则
tan ⎛
⎜ϕ′⎞cos ϕ′⎝45o +2⎟⎠=1−sin ϕ′=k k 2+c ′2−c ′
(8)
令
tan ⎛
⎜⎝
45o +ϕ′⎞2⎟⎠=α (9)
式(6)化为
σ1=σ2α2+2c ′α (10)
由式(8)，(9)得
2c ′α=(α2−1) k (11)
将式(11)代入式(10)得
σ1+k
=α2
(12) σ2+k 同理可得
σ2+k
(13)σ=α2
3+k
由式(12)，(13)可知，平面应变状态下粘性土破坏时的中主应力为
σ2+k =(σ1+k )(σ3+k ) (14)
当c =0或ϕ=0时，式(14)可分别退化成式(2)或式(1)。
3 两种应力状态下的c ，ϕ间的关系
图3是式(14)确定的中主应力σ2在莫尔圆中的位置示意图。从图可知，σ1-σ2莫尔圆和σ2-σ3莫尔圆的公切线与σ轴的交点和库仑线的延长线与
σ轴的交点重合。从几何关系可知，交点与坐标原
• 3176 • 岩石力学与工程学报 2004年
点的距离为k 。比较图(2)，(3)，可以认为：具有粘聚力c 的粘性土类粘聚-摩擦材料与存在附加各向同性正应力k 的纯摩擦材料，在平面应变条件下有相同的破坏应力条件。
图3 粘聚-摩擦材料的莫尔圆
Fig.3 Mohr circle of coherent-frictional material
3.1 ϕPS 与ϕTC 之间的关系。
文[4，
5]从SMP 准则和式(2)出发得到了纯摩擦材料平面应变应力状态下摩擦角ϕPS 和三轴压缩应力状态下摩擦角ϕTC 的公式。 令
σ1
σ=R PS 3
1+R 1/21/22
1/2
ϕ
SMP =tan −1⎛⎜
⎜(PS +R PS ) −9⎞TC
⎟⎝
8⎟⎠ (15)
ϕ−1
PS =sin −1
R PS R +1
(16) PS 另外，由三剪切角(TSA)强度理论[6～8]
和式(2)
可得
ϕTSA 1TC =sin −⎜⎛⎜
1
⎞
⎝2f ⎟⎟⎠
(17) 其中，
⎛21/2
f =⎜⎛⎜⎜⎜R ⎜PS −1⎞2⎟+⎛⎜R PS −R PS ⎞⎛1−R ⎞2⎞⎜⎟⎜PS ⎟⎟R +R ⎟+
⎜1+R ⎟⎟
⎝⎝R PS +1⎟⎠⎝PS PS ⎠⎝PS ⎠⎟⎠
对于粘聚-摩擦材料，只需用i =σi +k (i =1，
2， 3) 代替σi ，相应的PS 代替R PS ，就可以计算粘聚-摩擦材料平面应变状态下内摩擦角ϕPS 与三轴压缩状态下内摩擦角ϕTC 的关系。从图4可以看出，对于在0°＜ϕ的范围内，ϕSMP TC ＜90°PS ＞ϕTC
；而对
于三剪切角强度准则，ϕPS ＞ϕ
TSA
TC
仅在0°＜ϕTC ＜65°
时成立。ϕSMP TC
，ϕTSA
TC 在[0°，50°]范围内相差不大。产生差别的原因可能是在中主应力公式的推导过程
中一直沿用的是SMP 准则。不过在岩土类材料内摩
擦角的变化范围内，两者的结果已经足够接近，近似可取ϕPS ≈1. 1～1. 15ϕTC 。该结论与岩土工程中的经验一致，通常认为[9]：工程中的内摩擦角取值一般比三轴压缩试验大0°～5°。
S C P ϕT
ϕTC /(°)
图4 平面应变与三轴压缩下内摩擦角放大系数 Fig.4 Amplification coefficient of friction angle in plane
strain state and triaxial compressive state
3.2 c PS 与c TC 之间的关系
平面应变状态下，粘聚-摩擦材料的粘聚力可表
示为
c PS =k tan ϕPS (18)
三轴压缩状态下，粘聚-摩擦材料的粘聚力可表示为
c TC =k tan ϕTC (19)
所以，粘聚力放大系数为
β=
c PS c =tan ϕPS
(20) TC tan ϕTC
将式(15)，(16)或式(16)，(17)代入式(20)就可以
计算β。图5显示的是β随ϕTC 变化曲线。不固结不排水条件下ϕTC =0°，此时β=1. 15。
需要指出的是：当ϕϕSMP
TC 取TC 时，式(20)与文[6]
的结论相同。
4 结 语
本文的主要结论如下：
(1) 结合已有知识，并假设平面应变状态下粘聚-摩擦材料破坏时的中主应力σ2使σ1-σ2莫尔圆和σ2-σ3莫尔圆有相同的粘性发挥度和摩擦发挥度，得到平面应变状态下粘性土破坏时的中主应力
第23卷 第18期 李 刚等. 平面应变状态下粘性土破坏时的中主应力公式 • 3177 •
1.5
接近破坏时才是中主应力。今后，将对本文导出的式(14)进行试验验证。
参 考 文 献
1
Satake M. Stress-deformation and strength characterist-ics of soil under three difference principal stresses (discussion)[J]. Proc. of Japan Society of Civil Engineers，1976，246：137～138 2
史宏彦，谢定义，汪闻韶. 平面应变条件下无粘性土的破坏准则[J].土木工程学报，2001，34(1)：79～83
5060703
80
90
4
史宏彦，刘保健. 确定平面应变条件下无粘性土中主应力的一个经验公式[J]. 西安公路交通大学学报，2001，21(1)：19～22 罗 汀，姚仰平，松岗元. 基于SMP 准则的土的平面应变强度公式[J]. 岩土力学，2000，21(4)：390～393 5
史宏彦，谢定义. 无粘性土的应力矢量本构模型(Ⅰ) ——理论[J]. 应用数学与力学，2002，23(3)：299～308 6
沈珠江. 理论土力学[M]. 北京：中国水力水电出版社，2000，42～43 7
Shen Zhujiang. A stress-strain model for sands under complex loading[A]. In：Proc. of Advances in Constitutive Laws for Engi- neering Materials[C]. New York：Pergamon Press，1989，303～308 8
Satake M. A proposal on yield condition of granular materials[A]. In：Proc. of (28th) Annual Meeting of JSCE[C]. [s. l. ]：[s. n. ]，1973，Ⅲ：91～92 9
钱家欢，殷宗泽. 土工原理与计算[M]. 北京：中国水利水电出版社，2000，269～270 10
李广信，黄永男，张其光. 土体平面应变方向上的主应力[J]. 岩土工程学报，2001，23(3)：358～36
1.4
1.3
β
1.21.11.00 ϕ/(°
) TC
图5 平面应变与三轴压缩下粘聚力放大系数 state and triaxial compressive state
10 203040
Fig.5 Amplification coefficient of cohesion in plane strain
公式(14)。
(2) 由SMP 准则和TSA 准则得到了平面应变和三轴压缩两种应力状态下的c 以及ϕ之间的关系；而且SMP 准则比TSA 准则结果的变化趋势更为合理，这可能因为中主应力是基于SMP 准则得到的。但是在岩土材料的ϕ值范围内，这两个准则得到的结果基本相等。一般可取ϕPS ≈1. 1～1. 15ϕTC ，c PS ≈1. 15c TC 。
应当指出：由于式(2)是基于SMP 准则推出的，因而式(2)以及在它基础上得到的式(14)只在破坏时成立。另外，文[10]指出，在加载过程中，平面应变方向的主应力可能是大主应力、小主应力，只在
“西电东送”进程加快——西北最大水电项目正式立项建设
我国西北地区最大的水电项目——青海拉西瓦水电站，目前经国务院批准正式立项建设。
拉西瓦水电站位于青海省贵德县和贵南县交界的黄河干流上，装机容量420万千瓦，年平均发电量102.23亿千瓦时，是由中国电力投资集团公司控股的西北最大的水电项目，也是黄河流域装机容量和发电量最大的水电站。
据介绍，拉西瓦电站已于2004年1月9日实现河床截流，计划2008年首台机组投产发电。电站工程枢纽建筑物由混凝土双曲拱坝、坝身泄表孔澡孔和地下水电发系统等组成，最大坝高250 m。电站建成后主要承担西北电网调峰和事故备用，同时实现西北电网向区外华北电网“西电东送”。
拉西瓦水电站项目的批准，标志着西北750千伏电网建设和“西电东送”进程加快。
(摘自2004年6月17日《中国矿业报》