2015高考数学(理)真题分类汇编:专题11 排列组合.二项式定理(Word版含解析)
1. 【2015高考陕西，理4】二项式(x +1) n (n ∈N +) 的展开式中x 2的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
2. 【2015高考新课标1，理10】(x +x +y ) 的展开式中，x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60
3. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个
4. 【2015高考湖北，理3】已知(1+x ) n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 212 B ．211 C ．210 D ．29
5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
2
5
5
2
⎛386. 【2015高考重庆，理12
】 x 的展开式中的系数是________(用数字作答). x ⎝
7. 【2015高考广东，理9】在(x -1) 4的展开式中，x 的系数为.
8. 【2015高考四川，理11】在(2x -1) 的展开式中，含x 2的项的系数是 （用数字作答）.
5
5
1⎫⎛2
9. 【2015高考天津，理12】在 x -⎪ 的展开式中，x 的系数为4x ⎭⎝
10. 【2015高考安徽，理11】(x 3+) 7的展开式中x 5的系数是. （用数字填写答案） 11. 【2015高考福建，理11】(x +2) 的展开式中，x 2的系数等于．（用数字作答） 12. 【2015高考北京，理9】在(2+x )的展开式中，x 3的系数为4
5
6
1x
5
（用数字作答）
13. 【2015高考新课标2，理15】(a +x )(1+x ) 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．
3
2
14. 【2015高考湖南，理6
】已知的展开式中含x 的项的系数为30，则a =（ ）
5
B. C.6 D-6
1⎫⎛
15. 【2015高考上海，理11】在 1+x +2015⎪的展开式中，x 2项的系数为．
x ⎝⎭
16. 【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
10
1. 【2015高考陕西，理4】二项式(x +1) n (n ∈N +) 的展开式中x 2的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C
2r r
【解析】二项式(x +1)的展开式的通项是Tr +1=C n x ，令r =2得x 2的系数是C 2n ，因为x 的系数为15，所以2C 2n =15，即n -n -30=0，解得：n =6或n =-5，因为n ∈N+，所以n =6，故选C ．
n
【考点定位】二项式定理．
【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n ∈N+”，否则很容易出
k n -k k 现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式(a +b )的展开式的通项是Tk +1=C n a b ．
n
2. 【2015高考新课标1，理10】(x +x +y ) 的展开式中，x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C
2552
【解析】在(x +x +y ) 的5个因式中，2个取因式中x 2剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y, 故x y 的系数
212为C 5C 3C 2=30，故选 C.
2552
【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.
3. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】
33据题意，万位上只能排4、5. 若万位上排4，则有2⨯A 4个；若万位上排5，则有3⨯A 4个. 所以共有332⨯A 4+3⨯A 4=5⨯24=120个. 选B.
【考点定位】排列组合.
【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏. 在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.
4. 【2015高考湖北，理3】已知(1+x ) n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）
A. 212 【答案】D
B ．211 C ．210 D ．29
37
【解析】因为(1+x ) n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C n ，解得n =10， =C n
所以二项式(1+x ) 10中奇数项的二项式系数和为【考点定位】二项式系数，二项式系数和.
110
⨯2=29. 2
012n n C +C +C +⋅⋅⋅+C =2n n n n 【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：，024135n -1
C +C ++C +⋅⋅⋅=C +C ++C +⋅⋅⋅=2n n n n n n 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.
5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．
【考点定
位】排列问题．
【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．
⎛38
6. 【2015高考重庆，理12
】 x 的展开式中x 的系数是________(用数字作答).
⎝
【答案】
5
5
2
k 5
35-k
【解析】二项展开式通项为T k +1=C (x )
2
为() 2C 5=
1k k 15-72k 7k
=() C 5x ，令15-=8，解得k =2，因此x 8的系数
22k
1
25. 2
【考点定位】二项式定理
k
【名师点晴】(a +b ) 的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指C n ，它仅是与二项式的
n
幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别. 7. 【2015高考广东，理9】在(x -1) 4的展开式中，x 的系数为. 【答案】6．
【解析】由题可知T r +1=C
r
4
4-r
(-1)
r
=C (-1)x
r 4
r
4-r 2
，令
4-r
=1解得r =2，所以展开式中x 的系数为2
2C 4(-1)=6，故应填入6．
2
【考点定位】二项式定理．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即
r n -r r 展开式的第r +1项为：T r +1=C n a b n ∈N *且n ≥2, r ∈N ．
()
8. 【2015高考四川，理11】在(2x -1) 5的展开式中，含x 2的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】-40. 【解析】
(2x -1) 5=-(1-2x ) 5，所以x 2的系数为-C 52⨯(-2) 2=-40.
【考点定位】二项式定理.
【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.
1⎫⎛29. 【2015高考天津，理12】在 x -⎪ 的展开式中，x 的系数为4x ⎭⎝
【答案】
6
15
16
6
r
r
1⎫1⎫⎛1⎫r 6-2r ⎛r 6-r ⎛【解析】 x -展开式的通项为，由6-2r =2得r =2，所以T =C x -r +16⎪ ⎪= -⎪C 6x 4x 4x 4⎝⎭⎝⎭⎝⎭1515⎛1⎫
T 3= -⎪C 62x 2=x 2，所以该项系数为.
1616⎝4⎭
【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.
【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用. 应用二项式定理典型式的通项，求出当r =2时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.
10. 【2015高考安徽，理11】(x 3+) 7的展开式中x 5的系数是. （用数字填写答案） 【答案】35
r
【解析】由题意，二项式(x 3+) 7展开的通项T r +1=C 7(x 3) 7-r () r =C 7r x 21-4r ，令21-4r =5，得r =4，则x 5的
4
系数是C 7=35.
2
1
x
1x 1x
【考点定位】1. 二项式定理的展开式应用.
【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的
计数原理去解决，而不是一味利用公式. 另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.
5
11. 【2015高考福建，理11】(x +2) 的展开式中，x 2的系数等于．（用数字作答）
【答案】80
232
【解析】(x +2) 的展开式中x 2项为C 52x =80，所以x 2的系数等于80．
5
【考点定位】二项式定理．
【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．
12. 【2015高考北京，理9】在(2+x )的展开式中，x 3的系数为【答案】
40
【考点定
位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.
【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题, 要求正确使用通项公式
5
（用数字作答）
T r +1=C n r a n -r b r ，准确计算指定项的系数.
13. 【2015高考新课标2，理15】(a +x )(1+x ) 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3
【解析】由已知得(1+x ) =1+4x +6x +4x +x ，故(a +x )(1+x ) 的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，
4
2
3
4
4
4
4ax 3，x ，6x 3，x 5，其系数之和为4a +4a +1+6+1=32，解得a =3．
【考点定位】二项式定理．
【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．
3
2
14. 【2015高考湖南，理6
】已知的展开式中含x 的项的系数为30，则a =（ ）
5
B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】
试题分析：T r +1=C (-1) a x 【考点定位】二项式定理.
【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握(a +b ) 的二项展开式的通项第
r n -r r
a b ，即可建立关于a 的方程，从而求解. r +1项为T r +1=C n
r 5
r r
5-r 2
，令r =1，可得-5a =30⇒a =-6，故选D.
n
1⎫⎛
15. 【2015高考上海，理11】在 1+x +2015⎪的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．
x ⎝⎭
【答案】45
10
1⎫1⎫1⎛⎛1
【解析】因为 1+x +2015⎪= (1+x ) +2015⎪=(1+x ) 10+C 10(1+x ) 92015+ ，所以x 2项只能在(1+x ) 10展
x ⎭x ⎭x ⎝⎝
828
x ，系数为C 10=45. 开式中，即为C 10
1010
【考点定位】二项展开式
【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等) ，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
16. 【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120
55
-C 6=126-6=120. 【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：C 9
【考点定位】排列组合
【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．