离散数学导论
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w w
w .
k h
d a
课
后
答
w . c o
案
网
m
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w w
w .
k h
d a
课
后
答
w . c o
案
网
m
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w w
w .
k h
d a
课
后
答
w . c o
案
网
m
离散数学习题解答
∧∨∩∪∈┐→
练习1.1
是则形式化。
w w
w .
q ：有人不怕死。 p ∧q
(5) p：我明天去杭州。
q ：我后天去杭州。 p ∨q
(6) p：我明天去杭州。
k h
课
(3)不是命题。
(4) p：所有人都是要死的。
d a
后
答
(2)不是命题。
案
网
解：(1)不是命题。
w . c o
m
1. 判断下列命题是否是命题，若
q ：我后天去杭州。 ┐(p∨q)
(7) p：我明天去北京。
r ：我后天去北京。
w w
或q→r
w .
┐p→┐q
(9)p：他余款多。
q ：我出门。 r ：他买书。
(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)
k h
q ：我出去。
课
(8)p：我买到飞机票。
d a
后
答
(p∨q)∨(r∨s)
案
网
s ：我后天去天津。
w . c o
m
q ：我明天去天津。
(10)p：你陪伴我。 q ：你代我雇车。 r ：我去。
(11)p：你充分考虑了一切论
w w
w .
q ：我了解柏拉图。
(q→p)→┐q
q ：他去。 r ：我去。
(p→r)∧(┐p→r)∧(q
k h
(12)p：我懂希腊文。
(13)p：你去。
课
(p→q)∧(q→p)或p q
d a
后
答
q ：你得到可靠见解。
案
网
证。
w . c o
m
(p∨qr)
→r)∧(┐q→r)或r
(14)p：你奢侈。 q ：你懒惰。
((p∧q→r))∧((┐p
w w
w .
s ： 驽马行千里。
m ：你雕刻。 n ： 你放弃。 o ： 将朽木折断。 v ： 金石可雕刻。 (p→┐q)∧(r→s)∧((m∧n)
k h
r ： 驽马不断奔跑。
课
q ： 骐骥一跃十步。
d a
后
答
(15)p：骐骥一跃。
案
网
∧┐q)→┐r)
w . c o
m
r ：你贫困。
→┐o) ∧((m∧┐n)→v) 2. 判断下列符号串是否为公
式，若是，请给出真值表，并请注意
解：
w w
w .
k h
(3)
p p ∨q (p∨q) →p
01 00 11 11 (4)
p p ∨q p →(p∨q) 01
d a
课
后
答
(2)不是公式。
案
网
(1)不是公式。
w . c o
m
这些真值表的特点。
011(5)
1 1 (6)
p →p ∧(p→
1 1 1
d a
q 0 0 0 1 q
后
答
q q) 1 1 0 (7)
k h
q)
课
┐p →p ∧(p→p →┐p ∧(p→q) ∧(p
q
q
→┐q)
w w
w .
w . c o
0 0 p ∧(p→q) →
1 1 1 1
p ┐∨┐p ┐(p∨┐p)
案
网
m
1 1 0 1 (8)
0 0 0 1
1 1 1 0
0 0 0 0
q ┐p ┐∨┐(p∨┐q ∧┐┐(p∨q) ┐q
w .
q
q) 0 1 1 1
k h
1 0 0 0
p
(9)
d a
p 1 0 0 0
课
后
答
w w
1 0 1 0
w . c o
┐p
q ┐p ┐→q ┐q →┐(p→q) ( ┐q →┐p
网
1 1 1 1
案
m
1
1 1 1
(10)
┐p ∨q (p →q)
1 1 1 1
1 1 0 1 (11)
1 1 0 1
┐p ┐p ∨→q
d a
r) 1 1 0 1 0 0 0 1
课
后
p →→→→q) ∧(q→(p→q) ∧(q
r) →(p→r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
w w
w .
(12)
k h
1 1 1 1 0 1 0 1
答
w . c o
案
网
m
r p ∨p ∨q →→→→r) ∧(p∨q →q
0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
(q→r)
(p→r) ∧(q
设p:你说真话。q:我向右走去首都。
w w
则问：p q?
当回答”是(真)”,你选泽向右走; 当回答”不(假)”时, 你选择向走. 因为p q 真, 当且仅当p 真且q 真(士兵说
w .
k h
1 1 1 1 1 1 1 1
3. 解：
d a
课
后
答
w . c o
案
网
m
真话且应当向右走)
或p 假且q 假
(士兵说假话且应当向左走);
兵说真话且应当向右走)
w w
w .
解：(1)不是。 (2)是。 (3)是。 (4)是。 (5)不是。 (6)不是。
k h
1. 判断以下各式是否是重言式。
课
练习1.2
d a
后
答
(士兵说假话且应当向右走) 。
w . c o
案
网
或p 真且q 假
m
p q 假, 当且仅当p 真且q 假(士
2. 试用真值表验证E 6 , E8 , E10 , E 11 , E23。
证：(1) (A∨B) ∨C A ∨(B∨C) 0 0 1 1 1 1 1 1 C)
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
E 61 1 1 1 1 1 1 1
w w
w .
(2) A∧(B ∨C) (A∧B) ∨(A∧
B ∨∧(B ∨∧∧0 1
0 0
0 0
0 0
k h
d a
课
后
答
w . c o
案
网
m
A ∨∨B) ∨∨∨(B∨C)
1 1 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1
w w
k h
1 0 0 0
B
∨B) A B ┐B
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0 1 1 1 1
w .
(4) ┐(A∧B) ┐A ∨┐B
d a
课
A ∨┐(A┐┐┐A ∧E 10
后
答
案
网
(3) ┐(A∨B) ┐A ∧┐B
w . c o
m
B
1 1 1 0
w .
k h
A ∧┐(A┐┐┐A ∨E 11
∧B) A B ┐B
1 1 1
1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 0
w w
d a
课
后
A ∧∧B →→→
答
案
网
(5) (A∧B →C) →(A →(B→C))
w .
c o
m
111
0 0 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 0 1
11101
3. 不用真值表，用代入、替换
d a
后
答
证：(1) E12: A∨(A∧B)
案
证明E 12 , E13 , E24。
k h
A ∧tA
A ∧(A∨B)
t ) ∨(A∧B)
课
A ∨(A∧B)
w w
w .
(t∨B)
(2)E13: A∧(A∨B A
(A∨
f )∧(A∨B)
w . c o
A
网
m
(A∧ A∧
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A ∨
(f∧B)
A →B ┐A ∨B B A ∨f A
(3)E24: A→B ┐B →┐A
∨┐A
A →∧(A →∧(A →B) →B w .
1 1 0 1
k h
证：(1) I3 : A∧(A →B) →B 0 0 0 1
1 1 1 1
w w
(2) I4 : (A →B) ∧┐B →┐A
d a
课
后
4. 试用真值表验证I 3 , I4 , I5 , I6。
答
w . c o
网
┐B →┐A
案
m
课
A →B ┐B (A →B) ┐A I 4w w
w .
k h
1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0
A B ┐A ∨┐A ∧(AI 5A B B) 0
d a
后
答
案
∧(A∨B) →A
网
(3) I 5:┐A ∧(A∨B) →B, ┐B
w . c o
∧┐B
m
B B (A →C)
∨B) 1 0 0
I 5(4) I6: (A→B) ∧(B →C) →
w w
w .
k h
d a
课
后
答
w . c o
0 0 1 0
案
网
m
A B ┐A ∨┐B ∧(A
d a
后
答
B
C
案
网
A →B →A →(A→I 6
C
∧(B →
1 1 0 1 0 0 0 1 C)
课
1 1 1 1 0 0 1 1
w w
w .
k h
w . c o
1 1 1 1 0 1 0 1
m
5. 不用真值表，用代入、替换证明I 7 , I8。 C) →(B∧D)
w w
w .
I 8:(AB) ∧(B C) A C (AB) ∧(B C)
(A→B) ∧(B→A) ∧(B→C)
k h
┐C ∨D)
(┐A ∨┐C) ∨(B∧D)
┐(A∧C) ∨(B∧D) (A∧C) →(B∧D)
d a
课
后
(┐A ∨┐C ∨B) ∧(┐A ∨
答
(┐A ∨B) ∧(┐C ∨D)
案
网
(A→B) ∧(C →D)
w . c o
m
证: I7:(A→B) ∧(C →D) (A∧
∧(C→B)
((A→B) ∧(B→C)) ∧((C→B) ∧(B→A))
A C
B)
w . w w
A B (A→B) ∧(B→A)
(┐A ∨B) ∧(┐B ∨A) (┐A ∧(┐B ∨A)) ∨(B
∧(┐B ∨A))
((┐A ∧┐B) ∨f) ∨(f
k h
(1) AB (A∧B) ∨(┐A ∧┐
d a
课
后
等价式。
答
6. 用三种不同方法证明下列逻辑
w . c o
案
网
m
(A→C) ∧(C→A)
∨(B∧A))
(┐A ∧┐B) ∨(B∧A) (A∧B) ∨(┐A ∧┐B)
(2) A→(B→C) A →(B→C) C)
k h
w . w w
B) B
(3) A→(A→B) A →(A→B)
d a
课
后
答
w . c o
B→(A→C) A →B
B →(A→C)
网
┐A ∨(┐B ∨C) ┐B ∨(┐A ∨
案
┐A ∨(┐A ∨B) ┐A ∨(┐A ∨ (┐A ∨┐A) ∨
m
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┐A ∨B A→B
(4) A→(B→C) →C)
A →(B→C)
C
(A→B) →(A
答
k h
(┐A ∨A)) ∨C
w . w w
A ∨C (┐A ∨C)
A)) ∨C
(┐B ∧A) ∨┐
d a
课
后
w . c o
┐A ∨(┐B ∨C)
案
网
(┐A ∨┐B) ∨
((┐A ∨┐B) ∧
(┐A ∨(┐B ∧
┐(B∨┐A) ∨
m
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(A→B) →(A→
C)
7. 用三种不同方法证明下列逻辑蕴涵式。
∨A
w . w w
B) A (AB) ∨A) ∨B
k h
(A→B) →A ┐(┐A ∨B)
d a
课
后
(2) (A→B) →A A
答
A B
案
网
A ∧B (A∧B )∨(┐A ∧┐B)
(3) A→B ((AB) →A) →B ((AB) →A) →B
┐(┐
w . c o
(1) A∧B A B
A ∨(A∧┐
m
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((┐A ∨B)
∧(┐B ∨A) ∧┐A) ∨B
((┐A ∨B)
案
网
∧(┐A ∧┐B)) ∨B
课
B) ∨B
d a
后
答
k h w w w .
C
(4) (A∨B) ∧(A→C) ∧(B→C)
(A∨B) ∧(A→C) ∧(B→C)
(A∨B) ∧(┐A ∨C) ∧(┐B ∨C) (A∨B ∨(┐C ∧C)) ∧(┐A ∨C ∨
w . c o
┐A ∨B A →B
((┐A ∨B)
(┐A ∧┐
m
∧(┐A ∧┐B)) ∨B
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(┐B ∧B)) ∧(┐B ∨C ∨(┐A ∧A))
(A∨B ∨C) ∧(┐A ∨┐B ∨C) ∧(┐A ∨B ∨C) ∧(┐A ∨┐B ∨C)
w w
w .
k h
C
d a
课
后
C ∨(┐A ∨A)
答
(A∨C) ∧(┐A ∨C)
案
网
((┐A ∨B) ∧(┐A ∨┐B)))
w . c o
(C∨((A∨B) ∧(A∨┐B))) ∧(C∨
m