如何判断两个集合相等
如何判断两个集合相等
集合相等是两个结合之间的一个重要关系，我们知道，对于两个集合是A和B，如果AÍB，同时BÍA， 我们就说这两个集合相等，记作A=B.从这个定义可知，集合A与集合B相等是指A的每一个元素都在B中而且B中的每一个元素又都在A中，因此，在判断两个集合相等时，应回到元素与集合的关系中去.下面举几例加以说明.
例1 设集合A=
集合A=B. {a|a=3n+2,n Z} 集合B={b|b=3k-1,k Z} 试证明
证明：先证AÍB设任一元素aÎA， 则
a=3n+2=3(n+1)-1
QnÎZ
\n+1 Z
\a B 故AÍB
再证BÍA， 设任一元素bÎB，则
b=3k-1=3(k-1)+2
QkÎZ
\k-1 Z
\b A.故BÍA
由此可知A=B.
很明显，这里在说明aÎA或aÎA的过程中，关键是先要变（或凑）形式，然后再推理. 例2 设集合 M={u|u=12m+8n+4l,m,n,l Z}， N={v|v=20p+16q +12r,p,q,r Z}
求证：M=N
证明：先证 MÍN任取uÎM， 则存在m,n,lÎZ
使u=12m+8n+4l=20m+16n+12(m-n-l)
Qm-n-l Z
\u Z，故MÍN
再证 NÍM任取vÎN 则存在
使v=20p+16q+12r=12r+8?(2q)
而2qÎZ,5pÎZ则必有 vÎM
\N M因此便有M=N 4 (5p)
两个有限集A=B 还有一种理解方法，就是这两个有限集A,B 中的元素全部相同，它在解题中也经常用到.
2例3 已知集合A={x,x+y,x+2y} ,B={x,xm,xm}其中x¹0且A=B 求m的
值.
分析：集合A,B中各有3个元素，且 因此有两种可能：x+y=xm且x+2y=xm2 或，
2x+y=xm且x+2y=xm.对这两种情况分别求解，便可以确定m的值了. ìx+y=xmïï解：依题意有í 2ïx+2y=xmïî
由②-①得y=xm(m-1) ③
将③代入且① 整理得m2-2m+1=0解得m=1此时集B合中的元素x=xm=xm2,这与集合元素的互异性矛盾，故此种情况不成立.
2ìïx+y=xmï于是只能有í ïx+2y=xmïî
由⑤-④ 得y=xm(1-m) ⑥
将⑥代入④且x¹0 化简可得2m2-m-1=0 解得m=-m=-1
212 或 m=1（舍去） 经检验为所求.
下面两个问题，请同学们一试身手.
1． 集合M={x|x=2n+1,n N},N={x|x=4k+1,k Z}
求证：M=N
2．集合 A={x,xy,x-y}集合B={0,x,y} 若A=B 求实数x,y的值.