6 多项式环

§6 多项式环

我们已经有了一般环的定义，现在要认识一种特殊的环——多项式环. 这种环在数学里非常重要.

设R 0是一个有单位元的交换环，R 是环R 0的子环，且R 包含环R 0的单位元. 设n 为非负整数，α∈R 0，a i ∈R , i =0,1,

, n ，则

a 0α0+a 1α1++a n αn ∈R 0.

定义 一个可以写成

a 0+a 1α+

+a n αn (a i ∈R , n 为非负整数)

形式的R 0的元叫做R 上的α的一个多项式. a i 叫做多项式的系数.

把所有R 上的α的多项式所作成的集合，用R [α]表示. 注意到当m

a 0+a 1α++a m αm =a 0+a 1α++a m αm +0αm +1+

+0αn ，

故当我们只考虑R [α]的有限多个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数都是一样的. 对于R [α]的两个元相加相乘有如下公式：

(a (a

+a 1α++a 1α+

+a n αn )+(b 0+b 1α++a m αm )(b 0+b 1α+

+b n αn )=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)α++b n αn )=c 0+c 1α+

i +j =k

+(a n +b n )αn ,

+c m +n αm +n ,

其中c k =a 0b k +a 1b k -1++a k b 0=

∑a b .

i j

于是，R [α]对加法和乘法来说都是闭的. 又因

-(a 0+a 1α++a n α)=-a 0-a 1α--a n αn ∈R [α]，

故R [α]是一个环. R [α]是环R 0的一个子环，且是包括R 和α的最小子环. 定义 R [α]叫做R 上的α的多项式环. 在R [α]中取一个元a 0+a 1α+

+a n α，当a 0, a 1, , a n 不全为零时，可能有

a 0+a 1α++a n αn =0.

如，当α∈R 时，取a 0=α, a 1=-1，则

a 0+a 1α=α+(-1)α=α-α=0.

定义 R 0的一个元x 叫做R 上的一未定元，如果在R 里不存在不全为零的元a 0, a 1, 得

, a n 使

a 0+a 1x +

+a n x n =0.

R 上未定元的x 的多项式（简称一元多项式式）只能用一种方法写成

a 0+a 1x +

定义 设

+a n x n (a i ∈R )的形式（不计系数是零的项）.

a 0+a 1x +

+a n x n , a n ≠0

是环R 上的一个一元多项式，那么非负整数n 叫做这个多项式的次数. 多项式0没有次数. 对于给定的R 0，R 0不一定含有R 的未定元.

例 R 整数环，R 0包含所有a +bi a , b 是整数的整环. 对于R 0的每一个元α=a +bi 来说，

()

a 2+b 2∈R , -2a ∈R ，但

(a

2

+b 2)+(-2a )α+α2=(a 2+b 2)+(-2a )(a +bi )+(a +bi )

2

2

2

2

2

2

=a +b -2a -2abi +a +2abi -b =0.

定理 设R 是一个有单位元的交换环，则存在R 上的未定元x ，从而存在R 上的一元多项式环R [x ].

证 1. 利用R 作一个环. 设

={(a 0, a 1,

)|a i ∈R , i =0,1,

, 但只有有限个a i ≠0}，

的元素(a 0, a 1,

设(a 0, a 1,

)是一个无穷序列.

), (b 0, b 1, )∈，规定当且仅当

a i =b i , i =0,1,

时，(a 0, a 1,

)=(b 0, b 1, ).

规定一个加法；

(a 0, a 1, )+(b 0, b 1, )=(a 0+b 0, a 1+b 1, )，

这是的一个代数运算，且对这个加法来说作成一个加群，其零元是(0,0, 再规定一个乘法：

).

(a 0, a 1, )(b 0, b 1, )=(c 0, c 1, )，

其中c k =a 0b k +a 1b k -1++a k b 0, k =0,1,

这个乘法适合. 易知这也是的一个代数运算，

交换律.

下面证明，这个乘法还适合结合律，即证明

⎡⎣(a 0, a 1, )(b 0, b 1, )⎤⎦(c 0, c 1, )=(a 0, a 1, )⎡⎣(b 0, b 1, )(c 0, c 1, )⎤⎦.

按照乘法定义，

(a 0, a 1, )(b 0, b 1, )=(d 0, d 1, )，

这里d m =

i +j =m

∑a b , m =0,1,

i j

. 故

⎡⎣(a 0, a 1,

这里

)(b 0, b 1, )⎤⎦(c 0, c 1, )=(d 0, d 1, )(c 0, c 1, )=(e 0, e 1, )，

⎛⎫⎛⎫

a b c =a b c ∑i j ⎪k ∑ ∑i j k ⎪=∑a i b j c k , n =0,1, ∑m +k =n ⎝i +j =m m +k =n ⎝i +j =m ⎭⎭i +j +k =n

.

e n =

m +k =n

∑

d m c k =

对(a 0, a 1,

)⎡⎣(b 0, b 1, )(c 0, c 1, )⎤⎦进行计算，结果也是一样的.

这两个运算还适合分配律：

(a 0, a 1, )⎡⎣(b 0, b 1, )+(c 0, c 1, )⎤⎦=(a 0, a 1, )(b 0, b 1, )+(a 0, a 1, )(c 0, c 1, ).

这是因为

(a 0, a 1, )⎡⎣(b 0, b 1, )+(c 0, c 1, )⎤⎦=(a 0, a 1, )(b 0+c 0, b 1+c 1, )=(d 0, d 1, )，

这里

d k =

而

i +j =k

∑a (b

i

j

+c j )=

i +j =k

∑(a b

i j

+a i c j )=

i +j =k

∑a b +∑a c , k =0,1,

i j

i j

i +j =k

.

(a 0, a 1, )(b 0, b 1, )=(e 0, e 1, )，(a 0, a 1, )(c 0, c 1, )=(f 0, f 1, ),

这里e k =从而

i +j =k

∑a b , k =0, f

i j

k

=

i +j =k

∑a c , k =0,1,

i j

.

(a 0, a 1, )(b 0, b 1, )+(a 0, a 1, )(c 0, c 1, )=(e 0, e 1, )+(f 0, f 1, )

=(e 0+f 0, e 1+f 1, ).

易知，

e k +f k =

故

i +j =k

∑a b +∑a c

i j

i +j =k

i j

=d k , k =0,1,

，

(a 0, a 1, )⎡⎣(b 0, b 1, )+(c 0, c 1, )⎤⎦=(a 0, a 1, )(b 0, b 1, )+(a 0, a 1, )(c 0, c 1, ).

因此，作成一个交换环.

在有如下等式： （1） (a 0, 0, 0, )(b 0b , 1特别地，有

), =(

a 0b 0a , 0b 1),

.

(1,0,0, )(b 0, b 1, )=(b 0, b 1, ).

故有单位元(1,0,0,

).

2. 利用作出一个包含R 的环P . 由（1）式可得 （2） (a ,0,0, 由假法定义 （3） (a ,0,0,

)(b ,0,0, )=(ab ,0,0, ). )+(b ,0,0, )=(a +b ,0,0, ). )|a ∈R }

由（2）和（3）得

={(a ,0,0,

是环的一个子环，且

ϕ:→R

(a ,0,0, )

a

是环与环R 间的的一个同构映射.

因R 与没有共同元，故R 与在里的补足集合\也没有共同元，故由挖补定理，我们可以用R 来代替，而得到一个与环同构且包含R 的环P

.

因是一个有单位元的交换环，故P 也是一个有单位元的交换. 且环与环P 间的同构映射下，的单位元(1,0,0,

)的象1（这是环R 的单位元）就是环的单位元.

3. 最后证明，P 包含R 的未定元. 令

x =(0,1,0,0, )，

则x ∈P .

下面用数学归纳法证明，对任意正整数k ，有

k 个

k

（4） x =(0,

,0,1,0, ).

k -1个

当k =1时，结论是正确的. 假设对于k -1（k ≥2）结论是正确的，那么

x k =xx k -1=(0,1,0, ⎛

= ∑a i b j , ∑a i b j ,

i +j =1⎝i +j =0

其中，

)(0,

⎫

⎪, ⎭

,0,1,0, )

⎧1, i =1, a i =⎨

⎩0, i =0,2,3,4,

故

，b j =⎨

⎧1, j =k -1,

⎩0, j =0,1, , k -2, k , k +1,

.

⎧1, s =k , a i b j =⎨∑i +j =s ⎩0, s =0,1,

于是，

k 个

, k -1, k +1, k +2, .

x k =(0,,0,1,0, ). 设在环P 里，

a 0+a 1x +

则在环里

+a n x n =0, (a i ∈R )，

(a 0,0, )+(a 1,0, )x +

于是，由（4）和（1）得

+(a n ,0, )x n =(0,0, ).

(a 0, a 1,

, a n ,0,

)=(0,0, ).

+a n =0.

从而a 0=a 1=

这就证明了x 是R 上的未定元.

习题解答（P109）

1. 证明, 假定R 是一个整环, 那么R 上的一个多项式环R [x ]也是一个整环. 证 R ! 是交换环⇒R [x ]交换环, R 有单位元1⇒1是R [x ]的单位元, R 没有零因子⇒R [x ]没有零因子

事实上，f (x ) =a 0+a 1x + a n x n , a ≠0 g (x ) =b 0+b 1x + b m x m , b m ≠0

则f (x ) g (x ) =a 0b 0+ +a n b m x n +m 因为R 没有零因子, 所以a n b m ≠0 因而f (x ) g (x ) ≠0 这样R [x ]是整环

2． 假定R 是模7的剩余类环, 在R [x ]里把乘积 ([3]x 3+[5]x -[4])([4]x 2-x +[3]) 计算出来

解 原式=[5]x 5-[3]x 4+x 3+[5]x -[5]=[5]x 5+[4]x 4+x 3+[5]x +[2] 3. 证明:

(ⅰ) R [α1, α2]=R [α2, α1]

(ⅱ) 若x 1, x 2, , x n 是R 上的无关未定元, 那么每一个x i 都是R 上的未定元. 证 （ⅰ）R [α1, α2]={一切 R [α2, α1]={一切

由于

∑a

i 1i 2

i 1i 2α2α1}

∑a

i 1i 2

i 1i 2

α2α1

n

∑a αα}

=∑a αα

j 2j 1

j 2j 121

j 2j 1

21j 2j 1

因而R [α1, α2]=R [α2, α1]

（ⅱ）设

n

∑a x

k

k i

=0

即

∑a x x

0k 1k =0

k 0=0h 0i -1i i +1

0 x x x n

因为x 1, x 2, x n 是R 上的无关未定元, 所以

即x i 是R 上的未定元

4. 证明:

(ⅰ) 若是x 1, x 2, x n 和y 1, y 2, y n 上的两组无关未定元, 那么

R [x 1, x 2, x n ]≅R [y 1, y 2, y n ]

(ⅱ) R ! 上的一元多项式环R [x ]能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ) φ:f (x 1, x 2, x n ) →f (y 1, y 2, y n )

根据本节定理3 R [x 1, x 2, x n ]~R [y 1, y 2, y n ]

容易验证f 1(x 1, x 2, x n ) ≠f 2(x 1, x 2, x n ) ⇒f 1(y 1, y 2, y n ) ≠f 2(y 1, y 2, y n ) 这样R [x 1, x 2, x n ]≅R [y 1, y 2, y n ]

（ⅱ）令R [x ]={一切a 0+a 1x + +a n x }

显然R [x ]⊂R [x ]

2

22n

但x ∉R [x 2]不然的话

x =b 0+b 1x 2+ b m x 2m ⇒b 0-x +b 1x 2+ b m x 2m

这与x 是R 上未定元矛盾. 所以R [x 2]是R [x ]上未定元显然 故有（ⅰ）R [x ]≅R [x 2}

这就是说, R [x 2]是R [x ]的真子环, 且此真子环与R [x ]同构.