解析函数在无穷远点的性质
06-04
解析函数在无穷远点的性质
摘要:无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法, 给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式, 为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备.
关键词:解析函数无穷远点奇点
1问题的提出
无穷远点是解析函数的孤立奇点时, 它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据, 而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。所以, 本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。
2解析函数的定义
2.1 解析函数的定义
定义2.1[1]如果函数 在区域 内可微, 则称 为区域 内的解析函数, 或称 在区域 内解析.
2.2 奇点的定义
定义2.2[2]若函数 在点 不解析, 但在 的任一邻域内总有 的解析点, 则称 为函数 的奇点.
奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类, 而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类:可去奇点(主要部分为0); 极点(主要部分为有限多项); 本质奇点(主要部分为无限多项).
例2.1判定函数 的奇点及其类型.
解 在 平面上只有 为孤立奇点, 在其去心邻域 内的洛朗展式为
,
因其主要部分为0, 故 为 的可去奇点.
3 解析函数在无穷远点的性质