三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结

题型归纳及思路提示

题型1 已知函数解析式确定函数性质

【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x＋φ) 或y ＝A cos(ω x＋φ) ，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x的整体性质求解。 一、函数的奇偶性

例1 f(x ) ＝sin (x +ϕ) （0≤ϕ

A.0 B ．

ππ

C ． D ．π 42

【评注】由y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：(1)若y =A sin(x +ϕ) 是奇函数，则ϕ=k π(k ∈Z );

(2)若y =A sin(x +ϕ) 是偶函数，则ϕ=k π+

π

2

(k ∈Z );

(3)若y =A cos(x +ϕ) 是奇函数，则ϕ=k π+

π

2

(k ∈Z );

(4)若y =A cos(x +ϕ) 是偶函数，则ϕ=k π(k ∈Z );

(5)若y =A tan(x +ϕ) 是奇函数，则ϕ=

k π

(k ∈Z ). 2

变式1. 已知a ∈R ，函数f (x ) =sin x -|a |为奇函数，则a 等于（ ）

A.0 B ．1 C ．-1 D ．±1

变式2. 设ϕ∈R ，则“ϕ=0”是“f (x ) =cos(x +ϕ)(x ∈R ) 为偶函数”的（ ）

A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件

变式3. 设f (x ) =sin(ωx +ϕ) ，其中ω>0，则f (x ) 是偶函数的充要条件是（ ）

' '

A. f (0)=1 B ．f (0)=0 C ．f (0)=1 D ．f (0)=0

例2. 设f (x ) =sin(2x -)(x ∈R ) ，则f (x ) 是( )

2

A. 最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为

π

π

的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数22

π

变式1. 若f (x ) =sin 2x -1(x ∈R ) ，则f (x ) 是( )

A. 最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数

1

变式2. 下列函数中，既在(0,) 递增，又是以π为周期的偶函数的是( )

2

A. y =cos 2x B ．y =|sin 2x | C ．y =|cos 2x | D ．y =|sin x |

二、函数的周期性

π

例3. 函数y =sin(2x +)cos(2x +) 的最小正周期为( )

66

A.

ππ

ππ

B ． C ．2π D ．π24

【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：

(1)函数y =A sin(ωx +ϕ) +b, y =A cos(ωx +ϕ) +b, y =A tan(ωx +ϕ) +b

2π2ππ

的周期分别为, , .

|ω||ω||ω|

(2)函数y =|A sin(ωx +ϕ) |,y =|A cos(ωx +ϕ) |,y =|A tan(ωx +ϕ) |的周期均为

π. |ω|

2π

. |ω|

(3)函数y =|A sin(ωx +ϕ) +b |(b≠0), y =|A cos(ωx +ϕ) +b |(b≠0) 的周期均为

变式1. 函数y =sin(2x +) +cos(2x +) 的最小正周期和最大值分别为( )

63

A. π,1 B

．π C ．2π,1 D

．2π

ππ

变式2. 若f (x ) =sin x (sinx -cos x ), 则f (x ) 的最小正周期是________.变式3. 若f (x ) =sin3x +|sin3x |则f (x ) 是( )

A. 最小正周期为

π

3

的周期函数 B ．最小正周期为

2π

的周期函数 3

C ．最小正周期为2π的周期函数 D ．非周期函数

三、函数的单调性

例4. 函数y =sin(-2x )(x ∈[0,π])的递增区间是( )

6

π5ππ5ππ7πA. [0,] B ．[, ] C ．[, ] D ．[, π]

36361212

【评注】求三角函数的单调区间：

π

若函数y =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0) 则

(1)函数的递增区间由2k π-

(k ∈Z ) 决定；

2

π3π

(2)函数的递减区间由2k π+≤ωx +ϕ≤2k π+(k ∈Z ) 决定；

22

(3)若函数y =A sin(ωx +ϕ) 中A >0, ω

2

(4)对于函数y =A cos(ωx +ϕ) 和y =A tan(ωx +ϕ) 单调性的讨论同上。

π

≤ωx +ϕ≤2k π+

π

则y =A sin(-ωx -ϕ) 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；

2

变式1. 函数y =sin x +f (x ) 在[-

π3π

44]内单调递增，则f (x ) 可以是( )

A. 1 B ．cos x C ．sin x D ．-cos x

变式2. 若f (x ) =sin(ωx +)(ω>0) 在(, π) 上单调递增，则ω的取值范围是（ ）

42

15131

A. [, ] B ．[, ] C ．(0,] D ．(0,2]

24242

ππ

变式3. 已知函数f (x ) =ωx +cos(ωx +) +cos(ωx -)(ω>0)

33

(1)求f (x ) 的值域；(2)若f (x ) 的最小正周期为, x ∈[0,]，f (x ) 的单调递减区间. 22

四、函数的对称性（对称轴、对称中心）

ππ

ππ

例5. 函数y =sin(2x +) 图象的对称轴方程可能是( )

3

A. x =-

π

D ．x =

66 12 12

【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：

B ．x =-

ππ

C ．x =

ππ

3

(1)函数y =sin x 的对称轴为x =k π+

π

2

(k ∈Z ), 对称中心(k π, 0)(k ∈Z );

(2)函数y =cos x 的对称轴为x =k π(k ∈Z ), 对称中心(k π+(3)函数y =tan x 无对称轴，对称中心(

k π

, 0)(k ∈Z ); 2

π

2

, 0)(k ∈Z );

(4)函数y =A sin(ωx +ϕ) +b 的对称轴的求法：令ωx +ϕ=k π+对称中心的求法:令ωx +ϕ=k π(k ∈Z ) 得x =

k π-ϕ

π

2

k π+

(k ∈Z ), 得x =

k π-ϕ

π

-ϕ

(k ∈Z );

ω

ω

k π-ϕ

(5)函数y =A cos(ωx +ϕ) +b 的对称轴的求法：令ωx +ϕ=k π(k ∈Z ), 得x =(k ∈Z );

ω

ππk π+-ϕk π+-ϕπ对称中心的求法:令ωx +ϕ=k π+(k ∈Z ) 得x =(k ∈Z ), 对称中心为(, b )(k ∈Z )

2ωω

ω

(k ∈Z ), 对称中心为(, b )(k ∈Z ) ；

变式1. 已知函数y =sin(ωx +)(ω>0) 的最小正周期为π，则f (x ) 的图象( )3

A. 关于点(

π

π

3

,0) 对称 B ．关于直线x =4

,0) 对称 D ．关于直线x =

π

4

对称 对称

C ．关于点(

ππ

3

变式2. 函数y =sin(x -) 的图象的一个对称中心是( )4

3ππ3π

A. (-π,0) B ．(-,0) C ．(,0) D ．(,0)

424

2x 2x

变式3. 函数f (x ) =sin +cos 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是

__________.

55

π

变式4. 若函数y =sin x x 的图象向右平移a 个单位（a >0）后的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )

A.

7ππππ

B ． C ． D ．

263 6

五、三角函数性质的综合

【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；

（）对称性1⇒奇偶性：若函数f (x ) 的图象关于y 轴对称，则f (x ) 是偶函数；若函数f (x ) 的图象关于原点对称，则f (x ) 是奇函数；

T T

(2)对称性⇒周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；

22

T

相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；

4

(3)对称性⇒单调性：在相邻的对称轴之间，函数f (x ) 单调；

特殊的，若f (x ) =A sin(ωx ), A >0，ω>0函数f (x ) 在[θ1, θ2]上单调，且0∈[θ1, θ2]设θ=max {|θ1|,θ2}，则

T

≥θ。4

4

例6. 设f (x ) =a sin 2x +b cos 2x , ab ≠0, 若f (x ) ≤f () 对任x ∈R 成立, 则

611π7ππ(1)f () =0;(2)f ()

12105

π2π

(4)f (x ) 的单调递增区间是[k π+, k π+](k ∈Z ) ；

63

(5)存在经过点(a , b ) 的直线与函数f (x ) 的图象不相交. 以上结论中正确的是__________________.

π

例7. 已知函数f (x ) =4cos(ωx -)sin ωx -cos(2ωx +π)(ω>0)

6

3ππ

(1)求f (x ) 的值域；(2)若f (x ) 在区间[-, ]为增函数，求ω的最大值.

22

π

变式1. 已知函数f (x ) =2sin ωx (ω>0), 若f (x ) 在[-

5

π2π

4, 3

]上递增，求ω的取值范围.

例8. 若f (x ) =sin(ωx +)(ω>0), f () =f () 且在(, ) 上有最小值无最大值，则ω=______.

36363

题型2 根据条件确定解析式

方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。 【思路提示】

由图象求得y ＝A sin(ω x＋φ) (A >0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才

πππππ

能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为ωx +ϕ=0，第二点（即图象最高点）为ωx +ϕ=

π

2

，第三点（即图象下降时

与横轴的交点）为ωx +ϕ=π，第四点（即图象最低点）为ωx +ϕ=象上升时与横轴的交点）为ωx +ϕ=2π. 。

3π

，第五点（即图2

例9. 函数f (x ) =A sin(2x +ϕ)(A , ϕ∈R ) 部分图象如下图所示，则f (0)=（ ）

A. -

1

B ．-1 C

． D

2变式1. 函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0) 部分图象如下图所示，则f (0)=________.

6

π2

变式2. f (x ) =A cos(ωx +ϕ) 部分图象如下图所示，f () =-, 则f (0)=________.

23

例10. 已知函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0,|ϕ|

变式1. 已知f (x ) =cos (ωx +ϕ) （ω，ϕ为常数），如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数

2

f (x ) 的图象如图所示（图象经过点（1,0）），求ω的值.

7

方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求函数解析式。

例11. 已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ)(ω>0,0≤ϕ

2

3π

,0) 是其一对称中心，4

π

变式1. 已知函数f (x ) =4sin(ωx +ϕ)(ω>0,0

8

π

) 图象的相邻两条对称轴的距离为，23

π

题型3：函数的值域（最值）

【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：

(1)y =a sin x +b =at +b ,sin x =t ∈[-1,1];

b

(2)y =a sin x +b cos x +c =x +ϕ) +c , tan ϕ=;

a

(3)y =a sin 2x +b sin x +c =at 2+bt +c ,sin x =t ∈[-1,1];y =a cos 2x +b sin x +c =-at 2+bt +(a +c ),sin x =t ∈[-1,1];y =a cos 2x +b sin x +c =-2at 2+bt +(a +

c ),sin x =t ∈[-1,1];

t 2-1

(4)y =a cos x sin x +b (sinx +cos x ) +c =a +bt +(a +c ),sin x +cos x =t ∈[21-t 2

y =a cos x sin x +b (sinx -cos x ) +c =a +bt +(a +c ),sin x -cos x =t ∈[2

a sin x +b a sin x +b (5)y =与y =根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可

csin x +d ccos x +d

用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意sin x 、cos x 的范围。

例12. 函数f (x ) =sin x cos x 的最小值是( )

11

A . -1B . -C . D .1

22

变式1. 函数f (x ) =sin x -cos(x +) 的值域为（ ）

3

A .[-2, 2]B .[C .[-1,1]D .[π

9

变式2. 函数f (x ) =sin 2x x cos x 在区间[-A .1

B C . 32

D .1ππ

]上的最大值为（ ）

42

例13. 函数f (x ) =4sin(x +) +3sin(-x ) 的最大值为（ ）

36

3 A .7B C .5D .42

ππ

变式1. 求函数f (x ) =cos(x +

2πx

) +2cos 2的值域. 32

变式2. 求函数f (x ) =cos(2x -) +2sin(x +)sin(x -)(x ∈[-, ])的值域. 344122

πππππ

例14. 求函数f (x ) =2cos 2x +sin 2x -4cos x 的最值.

10

变式1. 求函数f (x ) =cos 2x +sin x (|x |≤

π

4

) 的最小值.

53π

变式2. 求函数f (x ) =sin 2x +a cos x +a -(0≤x ≤) 的最大值.

822

变式3. 若sin 2x +cos x +a =0有实数解，试确定a 的取值范围.

变式4. 若关于x 的方程cos 2x -sin x +a =0在(0,5

A .(-∞, -]

4

B .(-1,1]C .[-1,1]

]上有解，则a 的取值范围是（ ）25D .(-1, ]

4

π

变式5. 若关于x 的不等式cos 2x -sin x +a ≥0在(0,]上恒成立，求a 的取值范围.

2

π

例15. 对于函数f (x ) =

sin x +1

(0

A . 有最大值无最小值B . 有最小值无最大值C . 有最大值和最小值

D . 无最值

变式1. 求函数y =

.

变式2. 若

π

4

π

2

，求函数y =tan 2x tan 3x 的最大值.

题型4：三角函数图象变换 【思路提示】

由函数y =sin x 的图象变换为函数y =A sin(ωx +ϕ) +b (A , ω>0) 的图象.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

y 变为原来的A 倍ω

y =sin x −−−−−−→y =sin(x +ϕ) −−−−−→y =sin(ωx +ϕ) −−−−−→向上平移b 个单位y =A sin(ωx +ϕ) −−−−−−→y =A sin(ωx +ϕ) +b ；

向左平移ϕ个单位

x 变为原来的

1

途径二：先周期变换(伸缩变换) 再平移变换。

y 变为原来的A 倍y =sin x −−−−−→sin ωx −−−−−−→y =sin(ωx +ϕ) −−−−−→

x 变为原来的

1

ω

向左平移个单位

ϕ

ω

向上平移b 个单位

y =A sin(ωx +ϕ) −−−−−−→y =A sin(ωx +ϕ) +b .

平移口诀：左加右减，上加下减（不要管ω、ϕ、b 的正负, 注意先弄清楚由谁平移到谁）。

例16. 把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）

变式1. 为得到函数y =cos(2x +5π

个单位125π

C . 向左平移个单位

6A . 向左平移

π3

) 的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象（ ）

B . 向右平移

5π

个单位125π

D . 向右平移个单位

6

变式2. 已知f (x ) =sin(x +), g (x ) =cos(x -), 则f (x ) 的图象（ ）

22

A . 与g (x ) 的图象相同B . 与g (x ) 的图象关于y 轴对称C . 是由g (x ) 的图象向左平移D . 是由g (x ) 的图象向右平移

ππ

π2

个单位得到的个单位得到的

π2

11ππ1

例17. 函数f (x ) =sin 2x sin ϕ+cos 2x cos ϕ-sin(+ϕ)(0

22262

(1)求ϕ的值;

1

(2)将f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y =g (x ) 的图象，

2求函数g (x ) 在[0,]上的最大值和最小值.

4

π

变式1. 已知向量m =(

sin x ,1), n =cos x ,

A ⎫

函数f (x )=m n 的最大值cos 2x ⎪(A >0)，

2⎭

为6，（1）求A （2）将函数y =f (x )的图像向左平移横坐标缩短为原来的的值域.

π

个单位，再将所得图像上各点的12

1⎡5π⎤倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图像，求g (x )在⎢0, 上⎥224⎣⎦