实验报告离散混沌电路实验
离散混沌电路实验
摘要：本实验利用基本的电子元件搭建离散Logistic 映象电路。整个电路由离散化连续信号的电路和模拟电路这两部分构成。本实验要求自搭Logistic 映象电路，观察倍周期分岔和混沌现象。通过这个实验，一方面将电路与物理问题结合起来，另一方面可以通过离散电路来观察倍周期分岔和混沌现象。 关键词：混沌；离散电路；倍周期分岔
Discrete chaotic circuit experiment
Abstract: This experiment builds discrete Logistic mapping circuit using basic electronic component. The whole circuit constitute of two parts, discretizated continuous signal circuit and analog circuit. The experiment requires to construct Logistic mapping circuit, and to observate the periodic bifurcation and chaos phenomenon. Through the experiment, on the one hand, the circuit and physical problem are combined; on the other hand, we can observe period-doubling bifurcation and chaos phenomenon by the discrete circuit. Keywords:chaos; discrete circuit; period-doubling bifurcation
物理学中有一些系统的动力学过程是不连续的，即描述系统的状态量并不随时间连续变化，如跳球模型、受冲击的摆模型等，但这类系统却存在着混沌运动。有时真正从实验上构造这样的离散系统来观察其运动特征是很难做到的，但如果通过构造简单的离散电路来模拟这类物理系统，观察其丰富的运动图像又是极为简单的事情。本文提出的设计和构造离散混沌电路应该说也是一种尝试, 通过一些基本的电子元件和基本的电路搭建成能呈现具有混沌特性的离散电路, 用来展示混沌运动的基本特点和规律。
其中μ是系统的可调参量，x n 是第n 年昆虫的数目。Logistic 映象简单，只有二次项，在时间上离散，状态上连续，是一个很好的研究混沌基本特性的，模型。理论研究表明，随着μ值由小至大变化，系统出现倍周期分叉，并通过倍周期分岔走向混沌。
1 实验原理
图1 离散Logistic 系统电路
实现Logistic 映象的电路如图1所示：虚线框Ⅰ内是使连续信号离散化的电路，它由采样保持器S/H(1)和S/H(2)组成，他们的工作状态分别受相位相反的脉冲电压控
'；虚线框Ⅱ内是模拟电路部分，有制v c 、v c
他实现方程（2）的右端函数形式，电路中的运放A 1和A 2分别构成反相器和反相加法器，乘法器M 用来实现非线性平方项。
电路的状态方程为
一般说来，非线性离散系统可以写成
X n +1=G (X n , μ) （1） N
这里X ∈R （N 维空间的矢量），μ为系统的参量集合，G 为非线性函数。构造离散系统的电路大致可以分两步进行：首先由方程（1）的G 函数形式建立对应的模拟电路，为了简便起见，假设G 函数是多项式的形式，且最高次幂是二阶的，这样只需用运放和乘法器以及电阻和电容器件就可以组成相应的模拟电路；然后再利用采样保持电路实现连续状态量的离散化。下面以一种最典型的离散映像——Logistic 映象为例说明具体的电路实现过程。
Logistic 映象也称为虫口模型，可以描述某些昆虫世代繁衍的规律，方程为
x n +1=μx n (1-x n ), μ∈[0,4],x n ∈[0,1]（2）
u n +1=
作如下标量变换
R W ⎛0.1R ⎫
u n 1-u n ⎪ （3） R ⎝R 1⎭
R 0.1R
, μ=W （4） R 1R
x n =εu n , ε=
方程（3）变为方程（2）。实验中，固定
R =10k Ω，R 1=5k Ω，标度变换因子ε=0.2，引入这个因子是为了保证实验的观测值在一个合适的范围。R W 为可调节电位器，调节它相当改变方程（2）中的参量μ。
实验结果表明：当R W 的值从小到大改变，即μ从小到大变化时，可以通过示波器
观察到这个电路出现了倍周期分岔现象以及混沌。
9.000V 10.000V 11.000V 12.000V
8.086V 9.984V 12.08V 12.91V
2 实验步骤与数据
2.1 NI ELVIS连接
打开NI ELVIS电源，熟悉各部分功能，产生1kHz 、5V （峰峰值）的方波备用。将ELVIS 的+15、-15、+5V、GND 连接到万用板中的电源位置，方便其他芯片的电源连接。再用CD4011搭建与非门，并检查与非门是否正常工作。用LF398搭建采样保持电路，将连续信号离散化得到采样保持信号。 2.2用AD633搭建乘法器电路
图3 乘法器散点图
图3是上述数据的的散点图与理论公式的对比。可见，乘法器在V +小于11V 是可以正常工作的。
2.3用双运放（TL082）搭建反相比例放大器和加法器
U I
图2 芯片AD633连接图
如图2所示，8、5脚分别接+15、-15V 电压，其输出电压为
(X 1-X 2)(Y 1-Y 2) W =+Z
10
实验时，将X2、Y2、Z 接地，X1、Y1同时接入可调电源V +，则W =0.1V +2。
调节V +的电压（0-12V ），用万用表和ELVIS 上的“Digital Multimeter”测量输入、输出电压关系，如表1所示。
表1乘法器实验数据 V + 10.47mV 1.004V 2.005V 3.000V
4.000V 5.000V 6.000V 7.000V 8.000V
W 1.37mV 101.05mV 401.57mV 898.51mV 1.597V 2.496V 3.594V 4.891V 6.389V
图4 反相比例放大器电路图
如图4，搭建反相比例放大器，由于运放的输入阻抗很大，所以有I R =If ，U -=U+=0，
U 0=-
R f R
U 1。
实验数据如表2。
表2反相比例放大器实验数据 U I
11.628mV 1.000V 2.000V 3.000V 4.000V 5.000V 6.000V 7.000V 8.000V
U O -0.01V -1.00V -2.01V -3.01V -4.02V -5.02V -6.03V -7.04V -8.04V
9.000V
10.000V
11.000V 12.000V
-9.05V -10.05V -11.06V -12.06V
2.013V
3.002V 3.999V 5.000V 6.000V 7.000V 7.999V 9.001V 10.000V 11.000V 12.001V
-3.64V -4.14V -4.65V -5.16V -5.67V -6.18V -6.68V -7.19V -7.70V -8.21V -8.72V
图5 反相比例放大器实验数据拟合曲线
图5是上述数据的的散点图与拟合直线。可见，反相比例放大器是可以正常工作的。
图6 加法器散点图
图6 加法器电路图
如图6，搭建加法器，由于I 1+I2=If ，可得
实验数据如表3。
R f ⎛R f ⎫
U 0=- U I 1+U I 2⎪。
R 2⎝R 1⎭
表2加法器实验数据 U I
11.519mV 1.019V
U O -2.62V -3.13V
图6是上述数据的的散点图与拟合直
线。可见，加法器器是可以正常工作的。 2.4观察时序图、频谱图
通过改变当 Rw 值，观察倍周期进入混沌的现象。当其值从小到大改变, 即 μ 由小到大变化时, 可以通过示波器观察到这个电路出现了倍周期分岔现象以及混沌现象。
图7-图10，分别为一周期、二周期、四周期、周期三窗口时序图和频谱图。
在Rw 值在28-30.1k Ω时，为一周期，在Rw 值在30.1-34.2k Ω时，为二周期，在Rw 值在34.2k Ω以上时，为四周期、八周期„特别地，在Rw 值在37.7k Ω时，出现周期三窗口。
图7 一周期时序图与频谱图
图8 二周期时序图与频谱图
图9 四周期时序图与频谱图
图10 周期三窗口时序图与频谱图
3 实验结论
在本实验中，我们通过搭建离散Logistic 映象电路，观察到了倍周期分岔和混沌现象。
发现即使电路参数有一点微小变化，实验结果完全不同，这正是混沌现象的重要特
征。
参考文献
[1]杨胡江、肖井华、尚玉峰等 近代物理实验讲义 北京邮电大学理学院物理实验中心
[2]黄秋楠、陈菊芳、彭建华 离散混沌电路的实现 物理实验 第 23 卷 第 7 期