参数方程知识点突破

坐标系与参数方程 知识点

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

x ⎧x '=λ

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换ϕ:⎨

y ⎩y '=μ

(λ>0) (μ>0)

的作用下, 点

P(x,y)对应到点P '(x ', y ') , 称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换.

2. 极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示

这样就建立了一个极坐标系.

, 在平面内取一个定点O , 叫做极点, 自极点O 引一条射线O x ,

叫做极轴; 再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度) 及其正方向(通常取逆时针方向),

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M 是平面内一点, 极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径, 记为ρ; 以极轴O x 为始边, 射线O M 为终边的角∠xO M 叫做点M 的极角, 记为θ. 有序数对(ρ, θ) 叫做点M 的极坐标, 记作

M (ρ, θ) .

一般地, 不作特殊说明时, 我们认为ρ≥0, θ可取任意实数.

特别地, 当点M 在极点时, 它的极坐标为(0, θ)(θ∈R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定ρ, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ, θ) 表示; 同时, >0, 0≤θ

3. 极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示

:

(2) 互化公式:设M 是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是坐标是, 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: , 极(ρ, θ) (ρ≥0)

是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

M 4. 常见曲线的极坐标方程

都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一(, ) , (, 2+) , (,-+) , (,--+) , 性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程ρ=θ, 点M (

π

4,

ρθρπθρπθρπθ

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一, 即

π

4

) 可以表示为

πππππ5πππ

等多种形式, 其中, 只有(, ) 的极坐标满足方程+2) π-π2) )

44444444

ρ=θ.

二、参数方程 1. 参数方程的概念

一般地, 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标x , y 都是某个变数的函数⎧x =f (t )

①, 并且对于的每一个允许值, 由方程组①所确定的点M (x , y ) 都在这条曲线上, 那么⎨

⎩y =g (t )

方程①就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x , y 的变数叫做参变数, 简称参数, 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2. 参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数x , y 中的一个与参数的关系, 例如x =f (t ) , 把它代入普通方程, 求出另一⎧x =f (t )

个变数与参数的关系y =g (t ) , 那么⎨就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的

y =g (t ) ⎩

互化中, 必须使x , y 的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数

如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M ⎧x =r c o s θ

(θ为参数) 。 圆周运动，设M (x , y ) ，则⎨

y =r sin θ⎩

出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是O M 圆心为(a , b ) ，半径为r 的圆的普通方程是(x -a ) +(y -b ) =r ， o s θ⎧x =a +r c

(θ为参数) 。 它的参数方程为：⎨

y =b +r s i n θ⎩

2

2

2

转过的角度。

4．椭圆的参数方程

以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为

x

22

a

+

y b

2

2

=1(a >b >0) , 其参数

⎧x =a c o s ϕ方程为⎨(ϕ为参数) ，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是

⎩y =b s in ϕy

22

a

+

⎧x =b c o s ϕ

其参数方程为通常规=1(a >b >0), (ϕ为参数), 其中参数ϕ仍为离心角，⎨2

y =a s in ϕb ⎩x

2

定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。

注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0≤α≤在其他象限内类似。

5．双曲线的参数方程

以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为

x

22

π

2

时，相应地也有0≤ϕ≤

π

2

，

a

y

2

b

2

=1(a >0, b >0) , 其参

⎧x =a s e c ϕπ3π

数方程为⎨(ϕ为参数) ，其中ϕ∈[0,2π) 且ϕ, ϕ.

22⎩y =b ta n ϕ

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是

y

2

a

2

-

x

2

b

2

=1(a >0, b >0) , 其参数方程为

x =b c o t ϕ⎧

(ϕ为参数，其中ϕ∈(0, 2π) e 且ϕπ≠. ⎨

y =a c s c ϕ⎩

以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 2=2p x (p >0) 的参数方程为⎧x =2pt 2

(t 为参数). ⎨

⎩y =2pt

7．直线的参数方程

经过点M 0(x 0, y 0) ，倾斜角为α(α≠

π

2

-y =t a n α(x -x ) , 而) 的直线的普通方程是y 00

⎧x =x 0+t cos α

(t 为参数) 。 过M 0(x 0, y 0) ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎨

y =y +t sin α0⎩

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M 0(x 0, y 0) ，倾斜角为α的直线的参数方⎧x =x 0+t cos α

(t 为参数) ，程为⎨其中表示直线上以定点M 0为起点，任一点M (x , y ) 为终

y =y +t sin α0⎩

点的有向线段M 0M 的数量，当点M 在M 0上方时，＞0；当点M 在M 0下方时，＜0；当

点M 与M

重合时，=0。我们也可以把参数理解为以M

为原点，直线向上的方向为正方

向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

一、考纲要求

1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法. 会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

2. 理解极坐标的概念. 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化. 会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.

二、知识结构

1. 直线的参数方程

(1)标准式 过点Po(x0,y 0) ，倾斜角为α的直线l(如图) 的参数方程是

⎧x =x 0+t cos a

(t为参数) ⎨

⎩y =y 0+t sin a

(2)一般式 过定点P 0(x0,y 0) 斜率k=tgα=

b a

的直线的参数方程是

⎧x =x 0+at

(t不参数) ② ⎨

⎩y =y 0+bt

22

在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a +b=1,②即为标准式，此时， ｜

22

t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a +b≠1，则动点P 到定点P 0的距离是

a +b ｜t ｜.

直线参数方程的应用 设过点P 0(x0,y 0), 倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎧x =x 0+t cos a ⎨ （t 为参数）

⎩y =y 0+t sin a

若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P1、P 2两点的坐标分别是 (x0+t1cos α,y 0+t1sin α) (x0+t2cos α,y 0+t2sin α) ； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;

(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则

22

t=

t 1+t 2

2

t 1+t 2

2

中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜(4)若

P

为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t2=0.

2. 圆锥曲线的参数方程

｜

⎧x =a +r cos ϕ

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎨(φ是参数)

⎩y =b +r sin ϕ

φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)

(2)椭圆 椭圆

x a

22

+

y b

22

=1(a＞b ＞0) 的参数方程是

⎧x =a cos ϕ⎨

⎩y =b sin ϕ (φ为参数)

+2=1(a＞b ＞0) 的参数方程是 2a b

⎧x =b cos ϕ

(φ为参数) ⎨

⎩y =a sin ϕ3. 极坐标

极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ, θ) 叫做M 点的极坐标.(见图)

极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合

③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

⎧ρ2=x 2+y 2

⎧x =ρcos θ⎪

⎨ ⎨y

(x ≠0) ⎩y =ρsin θ' ⎪tg θ=x ⎩

椭圆

y

2

y

2

三、知识点、能力点提示

(一) 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化

例1 在圆x 2+y2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.

解： 将圆的方程化为参数方程：

⎧x =2+5cos θ

（θ为参数） ⎨

y =1+5sin θ⎩

120cos θ+15sin θ+30

θθ则圆上点P 坐标为(2+5cos，1+5sin) ，它到所给直线之距离d=

224+3

故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4) ；当cos(φ-θ

)=-1,

即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).

(二) 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.

1

例2 极坐标方程ρ=所确定的图形是（ ）

2+3sin θ+cos θ

A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲 D. 抛物线

11⋅

12解： ρ= =

π31

θ+) 2[1++cos θ)]1+sin(

622

(三) 综合例题赏析

x =3+cos Φ⎧

例3 -2 椭圆⎨ （ ） (Φ是参数) 的两个焦点坐标

1+5sin Φ⎩y =-

A.(-3，5) ，(-3，-3) B.(3，3) ，(3，-5) C.(1，1) ，(-7，1) D.(7，-1) ，(-1，-1)

解：化为普通方程得

2

2

2

(x -3)

9

2

+

(y +1) 25

2

=1

∴a =25,b=9,得c ＝１６,c=4. ∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)

∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3) 和(3，-5). 应选B.

⎧x=1+2t

(t ∈R ) ，则l 的方向向

例3-2（2010年高考上海市理科16）直线l 的参数方程是⎨

y=2-t⎩

量是d 可以

【答】（C ）

(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)

例4 参数方程-角度问题 4.(2010

年高考重庆市理科

8) 直线y =

x +

与圆心为D 的圆

⎧x o s θ⎪

,(θ∈[0,2π) ) 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 ⎨

θ⎪⎩y （B ）

π （C ）

π （D ）

π

∠1∠2=30+π-β

由圆的性质可知∠ 1=∠2

∴α-30=30+π-β 故α+β=π.

34

⎧x =2+3cos θ

5-1．（2010年高考安徽卷理科7）设曲线C 的参数方程为⎨（θ为参数），直线⎩y =-1+3sin θ

的方程为x -3y +2=0，则曲线C 上到直线

A 、1

B 、2

C 、3

的点的个数为

D 、4

2

例6 下列参数方程(t为参数) 与普通方程x -y=0表示同一曲线的方程是( ) ⎧x =cos t ⎧x =t

A. ⎨ B.⎨ 2

⎩y =cos t ⎩y =t

⎧x =tgt

⎪D. ⎨1-cos 2t ⎪y =

1+cos 2t ⎩

C.

⎧x =tgt

⎪

1+cos 2t ⎨⎪y =

1-cos 2t ⎩

2

解：普通方程x -y 中的x ∈R ，y ≥0，A. 中x=｜t ｜≥0，B. 中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A. 和B.

C. 中y=

2cos 2sin

22

t t

=ctg2t=

1tg t

2

=

1x

2

=，即x 2y=1，故排除C.

∴应选D.

例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4

解：将ρ=∴应选B.

例8 -1 极坐标ρ=cos(A. 双曲线

π

4

-θ) 表示的曲线是( )

x +y

2

2

，sin θ=

x

y

2

代入ρ=4sinθ，得x 2+y2=4y，即x 2+(y-2)2=4.

2

+y

B. 椭圆 C. 抛物线 1

解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ) ⇒2ρ2=ρcos θ+ρsin θ，

2∴普通方程为2(x2+y2)=x+y，表示圆. 应选D.

例8-2 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是( ) A. ρsin θ=2 B.ρcos θ=2

C. ρcos θ=-2 D.ρcos θ=-4 例9图

解：如图.

⊙C 的极坐标方程为ρ

=4sinθ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l和圆相切， l 交极轴于B(2，0) 点P(ρ, θ) 为l 上任意一点，则有

D. 圆

cos θ=

OB OP

=

2

ρ

，得ρcos θ=2，

θ

2

∴应选B.

例8-3 4ρsin 2=5 表示的曲线是( )

A. 圆 B.椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

θ

cos θ-12

解：4ρsin 2=5⇔4ρ· ⇔2ρ=2ρcos θ-5.

2

把ρ=2

2

x +y

2

22

ρcos θ=x，代入上式，得

x +y =2x-5.

254

. . 它表示抛物线.

平方整理得y 2=-5x+

∴应选D.

例8-4 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( ) A. 两条射线 B.两条相交直线 C. 圆 解：由4sin θ=3,得4·∴应选B.

2

D. 抛物线

y x

2

2

2

+y

＝3, 即y 2=3 x2，y=±3x , 它表示两相交直线.

⎧χ=t 例9、(2010年高考天津卷理科13) 已知圆C 的圆心是直线⎨（为参数）与χ轴的交

⎩γ=1+t

点，且圆C 与直线χ+γ+3=0相切。则圆C 的方程为 。

22

【答案】(x +1) +y =2

⎧χ

=t 【解析】令y=0得t=-1，所以直线⎨（为参数）与χ轴的交点为（-1，0），因为直线

γ=

1+t ⎩

与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ，故圆C 的方程为

(x +1) +y =2。

2

2

【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。 例10. ．（2010年高考陕西卷理科15）(坐标系与参数方程选做题) 已知圆C 的参数方程⎧x =cos α

(α为参数) ，以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线l 的极坐标⎨

⎩y =1+sin α方程为ρsin θ=1, 则直线l 与圆C 的交点的直角坐标

)() -1, 1, 1, 1【答案】(

2【解析】由题设知，在直角坐标系下，直线l 的方程为y =1，圆C 的方程为x . (y -)=+11

2

⎧x 2+(y -1)2=1⎧x =-1⎧x =1又解方程组⎨，得⎨或⎨.

y =1⎩y =1⎩y =1⎩

)(). -1, 1, 1, 1故所求交点的直角坐标为(

1-1．（2010年高考北京卷理科5）极坐标方程（p-1）（θ-π）=（p ≥0）表示的图形是

（A ）两个圆 （B ）两条直线

（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线

⎧x =e +e ⎪1-2．参数方程⎨(t 为参数) 的普通方程为__________________。

t -t

⎪⎩y =2(e -e )

t

-t

1⎧x =2-t ⎪⎪222

(t 为参数) 被圆x +y =4截得的弦长为______________。 1-3、．直线⎨

⎪y =-1+1t ⎪⎩2

1-4．直线x 的极坐标方程为____________________。 c o s α+y s i n α=0

2. （2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

⎧x =3-, ⎪⎪在直角坐标系xoy 中，直线

的参数方程为⎨（t 为参数）。在极坐标系（与直角

⎪

y =-⎪⎩坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C

的方程为

ρ=θ。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线交于点A 、B ，若点P

的坐标为(3, 求|PA|+|PB|。

3. (2010年全国高考宁夏卷23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ⎧x =1+t cos α⎧x =c o s θ 已知直线C 1⎨（t 为参数），C 2⎨（θ为参数），

⎩y =t sin α⎩y =s i n θ

，

（Ⅰ）当α=

时，求C 1与C 2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数

方程，并指出它是什么曲线。 4．（2010年高考辽宁卷理科23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知P 为半圆C ： （ θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为（1,0），

π

O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为。

3

（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。

5．已知点P (x , y ) 是圆x 2+y 2=2y 上的动点， （1）求2x +y 的取值范围；

（2）若x +y +a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围。

6．在椭圆

7．点P 在椭圆

1t ⎧-t

x =(e +e ) c o s θ⎪⎪2

8．分别在下列两种情况下，把参数方程⎨化为普通方程：（要求掌握）

1⎪y =(e t -e -t ) s i n θ⎪⎩2

（1）θ为参数，为常数；（2）为参数，θ为常数；

x

2

16

+

y

2

12

=1上找一点，使这一点到直线x -2y -12=0的距离的最小值。

x

2

16

+

y 9

2

=1上，求点P 到直线3x -4y =24的最大距离和最小距离。

9

．过点P (

22

0) 作倾斜角为α的直线与曲线x +12y =1交于点M , N ，

求PM ⋅PN 的值及相应的α的值。

10、求圆心为C ⎛ 3，

⎝

π⎫

⎪6⎭

，半径为3的圆的极坐标方程。

11、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角α=

π

6

，

（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆x 2+y 2=4相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。

22x y

P 与定点（1，0）之间距离的最小值+=1上一点12、求椭圆。

94

x -2) +(y +1) =91-1. 【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：(，圆心(2, -1) 到直线

2

2

答案：

，直线和圆相交，过圆心和平行的直

0的距离d

线和圆的2

求，所以选B.

>3的另外一侧没有圆上的点符合要

【方法总结】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C

上到直线距离

为

，然后再判断

知

>3.

11-1【答案】C

解析：原方程等价于ρ=1或θ=π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。

y ⎧t t -t

⎧x =2e x =e +e ⎪y y x y ⎪⎪2

1-2． ⇒⇒(x ) (x ) =4-=1,(x ≥2) ⎨y ⎨t -t

y 22416e -t =e -⎪x =2e ⎩2⎪⎩2

2

2

直1-3

线为x +y -1=0，圆心到直线的距

离d =

=

，弦长的一半

=

，得弦长

1-4．θ=

π

2

+α

，取θ-αρc o s θc o s α+ρs i n θs i n α=0, c o s θ(-α=) 0

=

π

2

2. 【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

2222

【解析】

（Ⅰ）由ρ=

θ得x +y -=

0, 即x +(y =5.

（Ⅱ）将的参数方程代入圆C

的直角坐标方程，得(3) +2

) =5，

2

2即t 2-，故可设是上述方程的两实根，

+4=

0, 由于∆=-4⨯4=2>0

所以⎨1

⎧t +t =⎪2

又直线l 过点P (, 故由上式及t 的几何意义得：

tt =4⎪⎩12

|PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=t 1+t

2=

3. 解：

α=

π

3时，C

（Ⅰ）当的普通方程为y =x -1) ，C

2

的普通方程为x +y =1。联立方

22

程组⎨

⎧⎪y =⎪⎩x +y

2

x -1)

2

，解得C

=1

与C

2

的交点为（1,0

）

⎛1

，- 2⎝。 （Ⅱ）C

的普通方程为x 。 s i n α-y c o s α-s i n α=0

2

A 点坐标为(s i n α-c o s αs i n α)，

故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：

1⎧2

x =sin α⎪⎪2

(α为参数) ⎨

⎪y =-1sin αcos α⎪⎩2

1⎫1⎛

2

x -+y = ⎪

416。 ⎝⎭P 点轨迹的普通方程为

2

故P 点轨迹是圆心为

⎫

，0⎪，半径为的圆。

⎝4⎭⎛1

4.

⎧x =c o s θ

5．解：（1）设圆的参数方程为⎨，

⎩y =1+s in θ

2x +y =2c

o s +s i n

i n (+) +1 +≤12x +y 1

（2）x

+

y +a =c o s +s i n1++a ≥0

∴≥a -(c o s θ+s i n θ) -1=s i

n θ(-) 1

4

∴≥a 1

θθθϕ

θ

π

⎧⎪x =4

c o s θ

6．解：设椭圆的参数方程为⎨，d

⎪⎩y =in θ

θ

o s

s i n θ2c o s θ() 3

3

当cos(θ+

π

3

) =1时，d

m i n

=

(2, -3) 。

12c o s θ-12s i n θ-27．解：设P ，则d (4c o s θ, 3s i n θ)

5

即d 当cos(θ+当cos(θ+

(2； 512=(2。 5

12

π

4

) =-

1时，d m ax =) =

1时，d m in

π

4

8．解：（1）当时，y =0, x =c o s θ，即x ≤1, 且y =0； 当t ≠0时，c o s θy

,s i n θ1t 1-t t -t (e +e ) (e -e ) 22

x

而x +y =1，即

22

x 14

t

2

+

-t 2

y 14

t

2

=1

-t 2

(e +e ) (e -e )

（2）当θ=k π, k ∈Z 时，，x =±

当θ=k π+

12

t -t

(e +e ) ，即x ≥1, 且y =0；

π

2

, k ∈Z 时，x =0，y =±

12

(e -e ) ，即x =0；

t -t

2x 2x 2y ⎧t ⎧t -t

e +e =2e =+⎪⎪k π⎪⎪c o s θc o s θs i n θ

当θ≠，即⎨ , k ∈Z 时，得⎨

2⎪e t -e -t =2y ⎪2e -t =2x -2y

⎪⎪s i n θc o s θs i n θ⎩⎩

得2e ⋅2e 即

x

22

t -t

2y 2x 2y

)

c o s s i n c o s s i n 2x

cos θ

-

y

22

sin θ

=1。

⎧+t cos α⎪x =

(t 为参数) ，代入曲线并整理得

9

．解：设直线为⎨⎪y =t sin α⎩

322

(1+s i n α) t o s α) t =0

23

2

1+s in α

ππ2

所以当sin α=1时，即α=，PM ⋅PN 的最小值为，此时α=。

22M ⋅P N =t 1t 2=则P

10. 1、如下图，设圆上任一点为P （ρ

，θ

），则( O P =ρ，∠P O A =，O A =2⨯36=(((

6

π

R tO ∆A P 中，O P =O A ⋅c o s ∠P O A ((((

∴ρ=6cos ⎛ θ-

⎝

P

π⎫

6⎭

⎪而点O (0, π) A (0,

23

π

6

)

符合

⎧3

x =1+t , ⎪⎪2(t 是参数）

11. 解：（1）直线的参数方程是⎨

⎪y =1+1t ; ⎪2⎩

（2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2, 则点A,B 的坐

标分别为

A (1+

32t 1, 1+

12

t 1), B (1+

1

t 2, 1+t 2) 223

以直线L 的参数方程代入圆的方程x 2+y 2=4整理得到

① t +

3+1) t -2=0

2

因为

t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。

所以|PA|·|PB|= |t1t 2|＝|－2|＝2。

12. （先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

设P 3c o s2θ，s i n θ，则P 到定点（1，0）的距离为()

d θ

()

3当c o s θ时，d (θ) 取最5