基于有载频率的简支梁桥自振频率计算方法

第24卷第1期2011年2月

振　动　工　程　学　报

Journal o f Vibration Engineering

Vo l. 24N o. 1F eb. 2011

基于有载频率的简支梁桥自振频率计算方法

谭国金, 宫亚峰, 程永春, 刘寒冰, 王龙林

(吉林大学交通学院路桥系, 吉林长春130022)

X

摘要:由于车辆的存在, 在桥梁的动力试验中, 测试到的桥梁频率实际上是以桥梁振动为主要振动形式的车-桥耦合系统的振动频率(工程上称为有载频率) , 而非桥梁自身的固有频率。基于车-桥系统的耦合振动模型和模态分析技术, 提出了多个车辆作用下的桥梁有载频率计算方法。在中小跨径的公路桥梁的动态检测中, 往往采用单个车辆对桥梁进行激振。对此推导出了单个车辆作用下的桥梁有载频率的简便计算公式。基于单个车辆作用下的桥梁有载频率计算公式, 进一步得到了基于有载频率计算桥梁自振频率的解析表达式。最后以某钢筋混凝土梁为例, 采用有限元方法计算出的桥梁有载频率为基础数据, 充分验证了方法的可行性和有效性。关键词:桥梁工程; 桥梁自振频率; 桥梁有载频率; 车-桥耦合系统; 模态分析方法

中图分类号:T U 352. 12; T U 311. 3　　文献标识码:A 　　文章编号:1004-4523(2011) 01-0031-05

振频率的理论方法均把车辆简化为不同的质量形式

引　言

在以车辆作为激励源的动力试验(如跳车试验、跑车试验) 和桥梁实时监测过程中, 桥梁上均有车辆的作用。由于车辆的存在, 车辆与桥梁共同组成了车-桥耦合振动体系。在桥梁的动力试验中, 测试到的桥梁频率实际上是以桥梁振动为主要振动形式的车-桥耦合系统的振动频率, 而非桥梁自身的固有频率, 工程上常把车-桥系统的桥梁测试频率称为桥梁有载频率。

研究表明, 对于中小跨径的桥梁, 车辆作用下的桥梁有载频率与自振频率之间的差值要比桥梁自身损伤引起的自振频率变化量大[1]。

1997年Charles R Farrar 等和2003年Chul-Young Kim 等通过对实际桥梁进行了动力测试, 得出了桥梁的有载频率与自振频率之间存在较大差别的结论

[2, 3]

分布到桥梁上, 忽视了车辆作为振动体对桥梁有载频率的影响。由于没有考虑车辆的动力特性, 这些方法并不能准确地从测试到的有载频率中分析出桥梁的自振频率。

苏木标教授建立了车-桥系统的振动方程, 对铁路简支梁桥的有载频率进行了研究。任剑莹对连续梁桥竖向有载频率进行了推导, 并采用有限元方法进行了计算[9]。De Roeck G 等采用有限元方法计算出在车辆作用下的桥梁动力响应, 从动力响应中分析出桥梁在车辆作用下的有载频率[10]。上述研究考虑了车辆的动力特性, 计算了桥梁的有载频率。但并没有进一步给出基于有载频率计算桥梁自振频率的理论公式。

本文基于车-桥系统的耦合振动模型和模态分析技术, 提出了多个车辆作用下的桥梁有载频率计算方法。基于单个车辆作用下的桥梁有载频率计算公式, 得到了基于有载频率计算桥梁自振频率的解析表达式。

[8]

[7]

。如果把测试到的有载频率当作自振频率对桥梁

进行状态评估, 将会产生很大的误差。因此, 如何从测试到的有载频率中获取桥梁的自振频率至关重要。有些桥梁工作者把车辆简化为不同的质量分布形式对此问题进行了研究[4～6], 给出了桥梁有载频率的计算公式。并且形成了一个基于有载频率计算桥梁自振频率的理论公式, 目前包括中国桥梁检测规范在内的许多基于测试到的有载频率计算桥梁自

X

1　理论模型的建立

1. 1　多个车辆-桥梁系统运动方程的建立

　　假设简支梁为欧拉-柏努利梁, 并忽略桥梁和车

收稿日期:2009-11-12; 修订日期:2010-06-25

基金项目:国家高科技计划863项目(2009A A 11Z 104) ; 吉林省交通厅项目(2008-1-1, 2009-1-14) ; 吉林大学创新团队项

; (; (

32

振　动　工　程　学　报

N N

第24卷　

辆的阻尼, 多个车辆-桥梁的相互作用模型如图1

所示。

y (x , t ) =

∑q (t )

i

i

i =1

(4)

式中　

s n q n (t ) +X s n q n (t ) =-图1　车-桥相互作用模型

N

¨

N

2n

∑

n

i =1

¨

a i ) m bi y bi (t ) -(5)

¨

在此车辆-桥梁的相互作用系统中, m 为桥梁单位长度的质量, E 为桥梁的弹性模量, I 为桥梁截面的抗弯惯性矩, y (x , t ) 为桥梁的位移, m bi 为第i 个车辆的车体质量, y bi (t ) 为第i 个车辆车体质量的绝对位移, m si 为第i 个车辆的车轮质量, y si (t ) 为第i 个车辆车轮质量的绝对位移, a i 为第i 个车辆距梁端的距离。k bi 为第i 个车辆的悬架刚度, k ti 为第i 个车辆的轮胎刚度。

应用达朗伯原理, 第i 个车辆的车体质量运动方程和第i 个车辆的轮胎质量运动方程分别为m bi y bi +k bi [y bi (t ) -y si (t ) ]=0

m si y si (t ) +k ti [y si (t ) -y (x , t ) D (x -a i ) ]-　　k bi [y bi (t ) -y si (t ) ]=0

(2)

　　对车-桥系统进行受力分析可知, 每个车辆轮胎对桥梁的作用力由车辆的重力和惯性力两部分组成。因此可建立由N 个车辆作用下的桥梁竖向运动方程

m +EI =p

5t 5x

其中

N

¨

2

4

¨¨

∑

n

i =1

N

a i ) m si y si +c n 0

式中　c n 0=

l 0

2

n

∑

i =1

n

n

(x =a i ) (m bi +m si ) g , s n =

∫m

2

同样利用模态分析的方法, 对车辆运动方程(1) 和(2) 进行解耦。由式(5) 可知, 解耦后的桥梁运动方程为单自由度系统运动方程。由于每个车辆具有2个自由度, N 个车辆便有2N 个自由度。由于N 个车辆和桥梁共同运动, 与桥梁n 阶振动相对应, 车-桥系统将有2N +1阶振动形式。因此车-桥系统中的单个自由度的车辆将会拥有2N +1阶不同的振动形式。

设y bi , n (t ) 和y si , n (t ) 为第i 个车辆与桥梁n 阶振动形式相对应的第n 阶振动位移。则式(1) 为

m bi y bi , n (t ) +k bi [y bi , n (t ) -y si , n (t ) ]=0式(2) 可表示为

¨

m si y si , n (t ) +k ti y si , n (t ) -k ti q n (t )

N N

¨

(1)

(6)

(3) (7)

式中c kn 1, i =k ti

k =1, k ≠n

∑

q k (t )

p =

∑D (x -a i ) [(m bi +m si ) g -m bi y bi (t ) -i =1

¨

1. 2　多个车辆作用下桥梁频率的求解

用广义坐标表示的桥梁和车辆的运动方程, 即式(5) , (6) 和(7) 。在此用广义坐标的矩阵形式表示车辆-桥梁系统的运动方程。

Mu +Ku -c n 1-c 0=0

式中

¨

　　m si y si (t ) ]

D (x -a i ) =

1, 　x =a i 0, 　x ≠a i

　　利用模态分析方法, 对桥梁运动方程(3) 进行解耦, 令

s n 0

M =

0 00

m b 10 00

0m s 1 00

(8)

………w ……

00 m bN 0

00 -m bN m sN

　第1期谭国金, 等:基于有载频率的简支梁桥自振频率计算方法

33

X n s n 0

K =

-k t 1

-k tN

c 0=c n 1=u =

q n

00

c n

………

T

T T

2

0k b 1-k b 1 00

0-k b 1k t 1+k b 1

00

………w ……

000 00

000 k bN -k bN

000 -k bN k tN +k bN

c kn 1, 10c kn 1, N y bN , n

车辆对桥梁进行激振, 所以讨论单个车辆作用下桥梁有载频率的计算方法, 对于简支梁桥显得尤为重

。

要。当单个车辆作用时, 桥梁有载频率则可以表示为

d n 1=X

2B 1B 4+

8B 1B 3

+B 2

B 4

(12a)

y b 1, n y s 1, n y sN , 　　根据车辆和桥梁的振动特性, 认为车辆和桥梁都为简谐振动, 则有

u =[q n y b 1, n y s 1, n …y bN , n y sN , n ]=d 2T d 2

U sin X n t =[Q X b 1X s 1…X bN X sN ]sin X n t (9) 式中　Q n , X bi , X si 分别为广义坐标q n , y bi , n , y si , n 的振d n 为车辆作用下, 车-桥系统的振动频率。幅; X

在式(8) 中, c n 1为桥梁不同阶振型之间的耦合项, 由结构动力学可知, 高阶振型对低阶的耦合作用不大, 低阶振型对高阶的耦合作用较大, 而在桥梁动力测试中, 往往需要测试的是低阶振型, 所以可以认为解耦后的桥梁振动方程只以某阶振动形式振动, 其他阶振动形式对其没有影响, 则可令c n 1=0。

若c 0=0, 则认为桥梁以车辆重力作用下产生的静力位移为振动平衡位置, 认为车辆重力作用下产生的静力位移较小, 因此可以忽略, 即有c 0=0。

d n 最直接的方法是把式(9) 代入求解振动频率X 车-桥系统的广义自由振动方程(8) 中, 代入后的方程可写为

d 2d 2d 2

-X n MU sin X n t +KU sin X n t =0

d 2

M KU =X n U

-1

-1

T

d n 22=-B 1B 4-13+B 2+X

B 4　　

3B 1B 4-13i B 4

(12b)

13d 2

X n 3=-B 1B 4-B 4+B 2-　　

3B 1B 4-2

2

13i B 4

2

(12c)

其中　a 1=s n m b 1m s 1, a 2=X n s n m b 1m s 1+s n (m b 1+m s 1) k b 1+s n m b 1k t 1+k t 1

k t 1m b 1-k b 1m b 1) t 1-k t 1

2

, B 2=, B 3=3a 1a 2

12a 13a 1

223

+a 2, B 4=[36a 1a 2a 3+108a 1a 4+8a 2+54a 1a 2a 3a 4+12a 181a 12a 42-3a 22a 32-12(a 1a 33+a 4a 13) ]。　　由于三次方程求根公式的表达形式问题, 式(12b) 和(12c) 从表达式上看为两个对偶虚根。由于表达式的实部也存在开方运算, 实际的求解结果为虚部数值较小(接近于0) , 实部不同, 主要用实部数

d d d 据体现频率的不同。X n 1, X n 2, X n 3为对应桥梁第n 阶振动的3个频率, 其中2个接近于单个车辆自由振动频

率, 另一个则为在车辆作用下的桥梁第n 阶有载频率。

(10) (11)

由式(10) 可得

　　由式(11) 可知:

(1) 矩阵M K 的2N +1个特征值便为与桥梁n 阶频率对应的车-桥系统2N +1个振动频率;

(2) 通过振动理论可知, 求解出的2N +1个振动频率有2N 个为以车辆振动为主的振动, 即有2N 个振动频率会接近于单自由度车辆的振动频率; (3) 其中有1个振动频率为在通行车辆作用下桥梁的第n 阶有载频率。

因此只要知道车辆的振动特性, 便可很容易确定出在车辆作用下桥梁的第n 阶有载频率。

3　基于有载频率的桥梁自振频率计算

方法

　　单个车辆作用下, 桥梁有载频率的计算公式为式(12) 。车辆作用下, 测试到的桥梁频率为有载频

d n 1, X d n 2, X d n 3中的其中一个。基于有载频率计率, 即为X

算桥梁自振频率, 即认为测试到的有载频率为已知

d n 1, d n 2, d 量。那么把X X X n 3分别代入式(12a ) , (12b ) 和(12c) 中, 则可求解出桥梁的第n 阶自振频率X n

2　单个车辆作用下有载频率的求解

34

振　动　工　程　学　报第24卷　

d 6

m b 1m s 1s n X n

-s n [m b 1m s 1X n -(m s 1k b 1+m b 1k b 1+m b 1k t 1) X n +k b 1k t 1]

2d 4(m b 1k b 1s n +m s 1k b 1s n +m b 1k t 1s n +m b 1m s 1k t 1

+s n [m b 1m s 1X n -(m s 1k b 1+m b 1k b 1+m b 1k t 1) X n +k b 1k t 1]

2d 2

b 1t 1b 1s 1n 1b 1t 1n n

(13) 42

s n [m b 1m s 1X n -(m s 1k b 1+m b 1k b 1+m b 1k t 1) X +k b 1k t 1]

d n 1代入式(12a) , X d n 2代入式(12b) , X d n 3代入式分别把X

(12c ) 中, 求解桥梁的自振频率X n , 得到的计算公式相同, 即式(13) 。因此, 无论采集到的桥梁有载频率

d d d 为X n 1, X n 2还是X n 3, 都可以采用式(13) 求解桥梁的第n 阶自振频率。

由式(13) 可知, 在单个车辆作用下, 如果桥梁的

d n , 则桥梁第n 测试第n 阶频率(第n 阶有载频率) 为X 阶自振频率X n 可由式(13) 计算。

图3　汽车位置与一阶桥梁频率变化值的关系

4　数值算例

以某钢筋混凝土简支梁桥为例, 验证本文所建立的桥梁有载频率和自振频率计算公式的正确性。

桥梁横截面如图2所示, 桥梁密度为3101kg/m , 桥梁长度l =20m , 弹性模量E =2. 85×10k b =1×10N/m , k t =1×10N /m

。

5

5

3

10

图4　轮胎质量与一阶桥梁有载频率变化值的关系

表1　基于有载频率分析出的桥梁自振频率自振频率/Hz (理论值)

位置有载频自振频率/Hz 相对误/m

05101705

率/Hz (本文计算值) 差/%33. 86333. 8630. 0032. 39831. 18833. 226134. 435138. 270

33. 85233. 87033. 859134. 435134. 436134. 472134. 369

0. 030. 020. 010. 000. 000. 030. 05

Pa 。车辆参数取为m s =2000kg , m b =10000kg,

1阶33. 863

2阶134. 435

12135. 82617136. 910

4. 1　桥梁有载频率计算结果

当单个车辆作用时, 令车辆的位置分别为a 1=0, 1, …, 20m , 得出车辆作用下桥梁频率的变化值

图2　钢筋混凝土梁横截面图(单位:mm )

(如图3) 。令两个车辆同时作用在桥梁跨中与1/4跨径处, 车辆的轮胎质量分别为m s =500, 1000, 1500, …, 3000kg , 得出两个车辆作用下桥梁有载频率随轮胎质量的变化规律(如图4) 。

由图3, 4可知, (1) 本文建立的桥梁有载频率的计算公式是精度较高; (2) 在车辆作用下, 桥梁的有载频率与自振频率之间存在较大差别。4. 2　自振频率计算结果

单个车辆作用时, 基于ANSYS 计算出的有载频率分析出的桥梁自振频率列于表1中。

由表1可知, 本文建立的基于有载频率计算桥在选定桥梁和车辆参数的情况下, 利用数值模拟的方法, 计算了以下3方面的内容。(1) 计算了单个车辆作用于简支梁不同位置时, 简支梁的有载频率, 计算结果见图3。图中把桥梁的有载频率与自振频率之间的差值, 简称为桥梁频率变化值。(2) 当两个车辆分别位于l /4, l /2位置时, 计算了采用不同车

轮质量时的简支梁的有载频率, 计算结果见图4。(3) 认为ANSYS 分析出的有载频率为测试到的桥梁有载频率, 基于单个车辆不同作用位置下的测试有载频率, 计算了桥梁的自振频率, 计算结果

1

　第1期谭国金, 等:基于有载频率的简支梁桥自振频率计算方法

35

on the alamosa canyo n br idge [A ]. Pr o ceedings o f the

5　结　论

本文基于车-桥系统的耦合振动模型和模态分析技术, 提出了多个车辆作用下的桥梁有载频率计算方法。基于单个车辆作用下的桥梁有载频率计算公式, 得到了基于有载频率计算桥梁自振频率的解析表达式。在简支梁桥的动力测试中, 为桥梁自振频率的精确获取提供了理论支撑。数值算例结果表明:

(1) 建立的桥梁有载频率计算公式是可靠、有效的。(2) 在车辆作用下, 桥梁的有载频率与自振频率之间存在较大差别。

(3) 基于单个车辆作用下的桥梁有载频率计算公式, 得到了基于有载频率计算桥梁自振频率的解析表达式。此计算公式可行、有效, 并且计算过程简单, 便于工程人员掌握。参考文献:

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Calculation for natural frequency of simply supported beam bridges

based on loaded frequency

T AN Guo -j in , GON G Ya -f eng , CH E N G Yong -chun , L I U H an -bing , W A N G L ong -lin

(Colleg e of T ra nspor tation, Jilin U niv ersit y, Chang chun 130022, China)

Abstract :Because o f t he ex istence o f v ehicles , the t est ed br idge fr equency (w hich is called loaded frequency ) is actually t he vi-br ation fr equency of the v ehicle-br idge coupled v ibra tio n system with main vibration m ode o f bridg e v ibra tio n in br idge dy nam-ical tests, but not the bridg e natur al frequency. Based on the coupled v ibr atio n model o f v ehicle-br idge sy stems and mo dal

analy sis technolog y , calculatio n method o f the br idge loa ded fr equency under sever al vehicles is pr oposed . I n the dynamical det ect ion o f highw ay br idges w ith small o r medium spans, single unit v ehicle is usually used to excite br idges. A nd then sim-ple calculation for mula of bridg e loaded fr equency under single unit vehicle is derived. Based o n t he calculatio n fo rmula of bridg e loaded fr equency under sing le unit vehicle , fur thermo re , the analytical expr essio n of the natura l fr equency calculated based o n loaded fr equency. F inally , one reinfo rced co ncr ete beam is taken as ex ample, a nd br idge loaded fr equency calculated by finite element met ho d is used as basic data, the feasibility and effectiv eness o f the method in this paper ar e fully v erified. Key words :br idge eng ineering ; br idg e natural fr equency ; br idge loaded fr equency ; v ehicle -bridg e co upled sy st em ; mo dal

a nalysis t echnolo gy 作者简介:谭国金(1981—) , 男, 讲师, 博士。电话:[1**********]; E-mail:tg j@jlu. edu. cn

通信作者:程永春(1961—) , 男, 教授, 博士生导师。电话:[1**********]; E -mail :ttg gjj @163. com