例析与球有关的组合体问题的求解策略

例析与球有关的组合体问题

的求解策略

福建石狮石光华侨联合中学 林建森

与球有关的组合体问题具有一定的灵活性和隐蔽性, 加之其组合体的立体几何图形有一定的复杂性, 故能很好考查学生的空间思维能力. 许多学生在处理与球有关的组合体问题时, 由于受到球本身的限制, 不善于从组合体问题中挖掘关键点, 而显得不够简捷. 下面笔者结合2006年高考题、部分省市质量检测题, 举例介绍几种解决与球有关的组合体问题的基本策略. 1由球面定义定球心

球心是球的灵魂, 抓住了球心就抓住了球的位置. 球面上任意一点到球心的距离都相等, 这是确定球心位置的基本策略. 例1 (2006年安徽高考题)

表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上, 则此球的体积为( )

1A

、 B 、π

332

C 、π D

、

33

分析

如图所示: 正八面体的各个顶 点P , A , B , C , D , Q 都 在同一个球面上, 球 心O 到P , A , B , C , D , Q 六点的距离相等,

因为正八面体的各个面都是正三角形, 结合球的内接正八面体的对称性可知:正八面体的顶点A , B , C , D 在球O 的同一个大圆上, 且四边形ABCD 为正方形. 所以R =/2, 即AB =.

又因为正八面体的表面积为, 且正

八面体的各个面都是正三角形,

所以8×AB 2=即AB =1,

4

=1, 即R =.

2

所以此球的体积为

44V =πR 3=π3=.

3323因此答案应选A. 评注解此题的关键是确定球心O 恰好是正方形ABCD 的中心, 再结合正八面体的各个面都是正三角形以及正八面体的表面积为即可求出球O 的体积. 2 利用割补思想定球心

在直接将球心定位较困难时, 利用分割或补形的思想方法去探寻球心的位置, 是解决与球有关的组合体问题一种常用策略.

例2 (2003年全国高考题) 一个四面体的, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 ( )

(A)3π (B)4π (C) (D)6π 分析 法1(分割): 如图3所示, 连结球心 O 与正四面体C 1A 1BD 的四个顶点, 则四面体 被分割成四个相同的 小正三棱锥, 由V C 1−A 1BD

=4V O −A 1BD 得各小棱锥的高为原正四面体高

1, 进而可求得外接球的半径R =, 球的

24

表面积为3π. 故答案应选(A).

法2 (补形):如图3所示, 构造棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1, 则C 1A 1BD 为棱长的

为的正四面体, 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球也为正四面体C 1A 1BD 的外接球, 此时球的直径2R ==, 球的表面积为3π, 故答案应选(A).

3利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合

·29·

利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合这一性质, 寻求内切球半径与外接球半径的方程, 算出半径的值, 即可解决问题.

例3 (2006年山东高考题) 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )

(A) (B)1:3

(C)1: (D)1:9

分析:如图, 由图形的对称性知, 正方体的中心O 既是内切球的球心又是外接球的球心. 设正方体的棱长为a ,

内切球半径为r , 外接球半径为R ,

则

r =CC 1

/2=a /2,

R =AC 1/2=/2.

V r 所以内=() 3

V 外R

O 1O 5=O 2O 5=O 3O 5=O 4O 5=3R . 点O 5在平面O 1O 2O 3O 4的射影O 恰好为正方形O 1O 2O 3O 4的中心, 连结OO 5, OO 2.

在Rt △OO 2O 5中, OO 2=, O 2O 5=3R

∴OO 5=

=R .

因此, 小球的球心O 5到水平桌面α的距离为OO 5+2R =R +2R =3R .

5利用球的轴截面(大圆) 解题

画出球的大圆及其所在的截面图形是解决与球有关的相切或相接组合体问题的基本策略. 因此, 我们可以把与球有关的相切或相接组合体问题转化为与圆有关的平面几何问题, 使空间问题平面化.

例5 (2006年漳州质量检测题) 甲球内切于某正方体的各个面, 乙球内切于该正方体的各条棱, 丙球外接于该正方体, 则甲、乙、丙球表面面积之比是( )

(A)1:2:3 (B) (C) (D)分析 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长

4构造球心骨架图

在许多与球有关的组合体问题中, 要画出实际空间图形比较困难, 但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体(俗称“骨架图”), 把与球有关的组合体问题转化为多面体问题来加以解决.

例4 (2006年陕西高考题) 水平桌面α上放有4个半径为2R 的球, 且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形). 在这4个球的上面放1个半径为R 的小球, 它和下面的4个球恰好都相切, 则小球的球心到水平桌面α的距离是 .

分析 如右图所示: 水平桌面α上放有4个 半径为2R 的球的球心 O 1, O 2, O 3, O 4与半径为 R 的小球的球心O 5五

=3=

. 故答案应选(C).

点构成正四棱锥O 5−O 1O 2O 3O 4.

依题设可知:

O 1O 2=O 2O 3=O 3O 4=O 4O 1=4R ,

·30·

为a , 甲、乙、丙球的半径分别为r 1、r 2、r 3.

如右图:正方体的 内切球甲与正方体的 六个面有六个公共点, 点的位置分别在六个 正方形的中心, 经过四 个切点的轴截面(大圆)

是正方体的截面EFGH 的内切圆.

a

∵2r 1=a , ∴r 1=,

2

∴S 1=4πr 12=πa 2. 如右图, 乙球 与正方体各棱的切点 在每条棱的中点, 经过 四个切点的球的轴截

面(大圆) 是正方形EFGH 的外接圆.

∵2r 2=EG =

==,

∴r 2=, ∴S 2

=4πr 2

2=2πa 2.

如右图, 的对角面 (A 1ACC 1) ∵2r 3=AC 1===,

∴r 3=/2, ∴S 3=4πr 32=3πa 2.

由上可知:S 1:S 2:S 3=1:2:3, 故答案应选(A)

评注 解决几何体的相切或相接组合题问题, 常常利用截面来暴露这两个几何体之间的相互关系, 从而使空间问题转化为平面问题来解决.

象上过某点切线斜率之间关系, 在得出正确的导函数解析式前提下, 通过对后者求极值, 确定参数a 的取值范围, 作为12道选择题中的最后一道, 无疑兼备“简单中的复杂”的恰当功能:一方面似乎思路简单, 只要转化为求y ' =−3x 2+2ax 在限定y '

服从分值与时间成比例的应试规律, 该题的简单求解大多为如下:

常规解答 直觉的几何抽象告诉我们:连续且光滑曲线上两点连线的斜率与曲线上某点斜率是有对应关系的, 故把本题转换为考察: y ' =−3x 2+2ax (1)

要求开口向下的抛物线y ' =−3x 2+2ax 的最大函数值

−4a 2a 2

y max ==

−123

就要解关于a 的不等式(2),故得出原答案:a ∈(.

问题所在 对于参数a 取定的一个值a 0 ∈R , 关于曲线C :y a 0=−x 3+a 0x 2, 可以有两

一道选择题的辨析

福建龙岩新罗区曹溪中学 郭海安

种斜率数值集合:

(1)曲线C 上两点连线斜率数值集K 2= {k 存在y a 0上的两点P 1(x 1, y 1) 和P 2(x 1, y 1) , 使

y 1−y 2

=k }. x 1−x 2

(2)过曲线C 上每点P (x , y ) 的切线斜率的

题目 已知函数y =−x 3+ax 2+b (x ∈R ) , 图象上任意两点的连线的斜率都小于1, 则实数a 的取值范围是:

(A)(−3,3)

(B)(

(C)( (D)(

得直线PP 12的斜率

数值集K 1={k 存在C 上的某一点P (x 0, y 0) , 使得过P 点的C 的切线的斜率

2−3x 0+2a 0x 0=k }.

现在问:对于定值a 0, 决定的曲线C 相应的数集K 1与K 2有何关系？

(1)由于曲线y =y (x ) 是任意阶光滑的(即有任意阶导函数), 故K 2⊆K 1. 事实上拉格

·31·

原答案 C.

这是2006年福建省普通中学高中毕业班质量检查数学(理科) 试题第Ⅰ卷(选择题) 中的第12道题.

显然, 该题从考查直线斜率基本概念出发, 要求能领会函数图象两点连线斜率与图