1-3-3循环小数计算.题库教师版

循环小数的计算

教学目标

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．

知识点拨

1. 的“秘密” 1

7 ∙∙∙∙∙∙∙∙1236=0.142857，=0.285714，=0.428571,…, =0.857142 7777

2. 推导以下算式

=1；0.12 =12=4；0.123 =123=41；0.1234 =1234； ⑴0.[**************]9

=12-1=11；0.123 =123-12=37；0.1234 =1234-123=1111； ⑵0.[***********]00

=1234-12=611；0.1234 =1234-1=137 ⑶ 0.[***********]10

为例，推导0.1234 =1234-12=611． 以0.[1**********]0

； =A ，将等式两边都乘以100，得：100A =12.34设0.1234

， 再将原等式两边都乘以10000，得：10000A =1234.34

1234-12611两式相减得：10000A -100A =1234-12，所以A =． =99004950

3. 循环小数化分数结论

0. a b c =；；；，…… 0. a =0. ab =0.0ab =⨯=[1**********]90

例题精讲

模块一、循环小数的认识

【例 1】 在小数l.[1**********]上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年

10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)

【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空

【关键词】第六届，希望杯，1试

【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、

02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.[1**********]

【答案】l.[1**********]

【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因

此一定是0.1998，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998，而次大数为0.1998，于是得到不等式：∙∙∙∙

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

【答案】0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

a 【例 2】 真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 7

是多少?

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

1 ，3=0.428571 ，4=0.571428 ，5=0.714285 ．因此， ，6=0.857142 ，2=0.285714【解析】=0.[1**********]7

a 真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为7

. a 1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以=0.857142，即a =6． 7

【答案】a =6

a 【巩固】 真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？ 7

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

a 【解析】 我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组 7

成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的1+4+2+8+5+7和一个不完整1+4+2+8+5+7组成。9039÷(1+2+4+5+7+8)=334 21，而21=27-6，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下

6完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为，所以a =6。 7

【答案】a =6

∙∙∙∙∙∙∙

化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？ 7【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

a 2009÷6=334 5，【解析】 我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，7

因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得a =3。

【答案】a =3

【巩固】 （2009年学而思杯4年级第6题）6÷7所得的小数，小数点后的第2009位数字是．

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

6【解析】 =0.[1**********]2……6个数一循环，2009÷6=336……3，是7 7

【答案】7

【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】2003年，第1届小希望杯4年级 =6=2=2002÷【解析】 0.6+0.06+0.006+……=0.63003 93

【答案】3003

【例 4】 下面有四个算式： 【巩固】 真分数

①0.6+0.133=0.733;

5②0.625=； 8

533+581③+===； 14214+2162312④3×4=14； 755

其中正确的算式是（）.

（A ）①和② (B) ②和④ (C) ②和③ (D) ①和④

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】选择

【关键词】2009年，第十四届，华杯赛，初赛

【解析】 对题中的四个算式依次进行检验：

① 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确；

5② 0.625=是正确的； 8. . . .

③ 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过

312421722④ 3×4=×==14，所以④不正确。 57575531﹥即可判断出其不正确； 22

那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B 。

【答案】B

的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能【例 5】 在混合循环小数2.718281

大，请写出新的循环小数。

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】第一届，华杯赛，初赛

。 【解析】 小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281

【答案】2.718281

11 ，是纯循环小化成小数等于0.5，是个有限小数；将化成小数等于0.090…，简记为0.09211

1 ，是混循环小数。现在将2004个分数1，1，数；将化成小数等于0.1666……，简记为0.16623

11，…，化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？ 42005

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试

【解析】 凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化

成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个. 这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.

【答案】801

【例 6】 将

模块二、循环小数计算

-0.03 -0.003 =（结果写成分数形式） 【例 7】 计算：0.3

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试

11189【解析】 原式=--。 =330300300

89【答案】 300 =_____(结果写成分数) 。 【巩固】 计算：0．3+0．3

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，一试

3119【解析】 原式=+= 10330

19【答案】 30

+0.01 +0.001 的结果写成最简分数． 【巩固】 请将算式0.1

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算 【关键词】第三届，华杯赛，初赛 111100+10+111137【解析】 原式=++. ===[**************]

37【答案】 300

⨯2.008 （结果用最简分数表示） 【例 8】 计算: 2.004

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2004年，第9届，华杯赛，总决赛，一试

[***********]047065606【解析】 原式＝2 ⨯2=⨯===[***********][1**********]75

【答案】4 224775

⨯0.63=⎛5425⎫⨯0.63的积写成小数形式是____. 【例 9】 将5.425 ⎪⎝999⎭

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，初赛

⨯0.63=⎛5425⎫⨯0.63=(5⨯999+425)⨯0.63=34146=3.4180 5.425【解析】 ⎪9999990⎝999⎭

【答案】3.4180

+0.12 +0.23 +0.34 +0.78 +0.89 【例 10】 计算：0.01

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

+0.12 +0.23 +0.34 +0.78 +0.89 【解析】 方法一：0.01

112-123-234-378-789-8 =+++++[1**********]0

[1**********]216= =+++++=2.4 [1**********]090

+0.12 +0.23 +0.34 +0.78 +0.89 方法二：0.01

+0.02 +0.03 +0.04 +0.08 +0.09 =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.01

⨯(1+2+3+4+8+9) =2.1+0.01

1 =2.1+⨯27=2.1+0.3=2.4 90

【答案】2.4

-0.192 +0.375 +0.526 （2）0.330 ⨯0.186 【巩固】 计算（1）0.291

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

291192-1375526-5291+375521-191666330【解析】 （1）原式=+++=+=+=1 [***********]999990

330186-1330⨯1855（2）原式=⨯== 999990999⨯99081

5【答案】（1）1（2） 81

+0.36 = 【例 11】 ⑴ 0.54

∙∙∙19⑵1.2⨯1.24+= 27

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

54-536494899【解析】 ⑴ 法一：原式=． +=+=[1**********]

法二：将算式变为竖式： 0.544444

+0.363636

0.908080 ··908-9899可判断出结果应该是0.908，化为分数即是． =990990

[1**********]920⑵ 原式=1⨯1+ =⨯+=[1**********]

【答案】⑴⑵ 9909

+0.142857 +0.125+0.1【巩固】 ⑴计算：0.16

⨯1.24 +19=________． ⑵1.227【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2007年，香港圣公会，2006年，第四届，希望杯，六年级，1试

16-[**************]5【解析】 ⑴原式=； +++=+++=100-[**************]04

[1**********]920⑵ 原式=1⨯1+． =⨯+=[1**********]

27520⑵ 5049

····11⎫ -0.98 ÷11 (结果表示成循环小数) 【巩固】 ⑴⎛；⑵2.2340.15+0.218⨯0.3⨯ ⎪111⎝⎭

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算 112345679⎛15-1218-2⎫31137111 +⨯⨯【解析】 ⑴原式= =⨯⨯===0.012345679⎪[***********]99999999⎝⎭

=2234-2=2232，0.98 =98，所以2.234 -0.98 =2232-98=1242=122， ⑵2.[***********]090

-0.98 ÷11=122÷11=1+2=0.09 +0.02 =0.113 2.234901190

⑵0.113 【答案】⑴0.012345679

0.3+0.03+0.003+ =2009÷（）【例 12】 。

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算 【关键词】2008年，中环杯，五年级，决赛

. 1【解析】 0.3+0.03+0.003+ =0.3=，所以括号中填2009⨯3=6027 3

【答案】6027

2009⎫11⎛2009-【例 13】 计算 (结果表示为循环小数) ⎪⨯[1**********]901⎝⎭【考点】循环小数计算【难度】4星【题型】计算

1 ，1=0.00001 ， 【解析】 由于=0.[**************]

11 -0.00001 =0.[1**********]991 ， 所以-=0.[**************]

而900991=7⨯13⨯9901=91⨯9901，

2009⎫11⎛2009 ⨯2009⨯11 -⨯=0.[1**********]991所以， ⎪9901⎝9990099990⎭9901

⨯11⨯2009=0.[1**********]001 ⨯2009=0.[1**********]009 =0.[1**********]091

【答案】0.[1**********]009

乘以一个数a 时， 误看成1.23，【例 14】 某学生将1.23把1.23使乘积比正确结果减少0.3. 则正确结果该是

多少?

【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算 【答案】⑴()()

【解析】 由题意得：1.23a -1.23a =0.3，即：0.003a =0.3，所以有：

所以1.23a =1.23⨯90=∙∙a =．解得a =90， 90010111⨯90=111 90

【答案】111

，结果保留三位小数． 【例 15】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

≈0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736 【解析】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16

=1+1+3+15=11+1=53=0.7361 方法二：0.1+0.125+0.3+0.[1**********]2

【答案】0.736

与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位【例 16】 将循环小数0.027

小数是多少?

【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算

×0.179672 =27⨯179672=1⨯179672=4856=0.004856 0.027【解析】 [***********]99999

循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．

【答案】9

25 , 24, 13是其中6个， ， 0.51【例 17】 有8个数，, , 0.51如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51394725

那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?

【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算

2 , 5=0.5 , 24≈0.5106, 13=0.52 【解析】=0.6472539

即24

，所以有口

． 从大到小排列第4个数是0.51

【答案】0.51

20021【例 18】 和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________. 2009287

【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算

20021【解析】 如果将和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我2009287⋅20021们发现+=1，而1=0.9，则第100位上的数字和为9. 2009287

【答案】9

【例 19】 将循环小数0.081与0.200836相乘，小数点后第2008位是。

【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算

【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛

. . . . . . [***********]4【解析】 ，0.200836=，所以乘积为⨯0.081===0.016284， [***********]9999

2008÷6=334 4，所以第2008位是2。

. . . .