数学建模,汽车的刹车距离,动物的身长与体重,

汽车刹车距离 动物的身长和体重

一、问题重述 问题一：

美国的某些司机培训课程中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度。又云，实现这种规则的一种简便方法是所谓的“2秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。

试判断“2秒规则”与上述规则是一样的吗，这个规则的合理性如何，是否有更好的规则。 问题二：

四足动物的躯干的长度（不含头和尾）与它的体重有什么关系，这个问题与一定的实际意义。比如，在生猪收购站和屠宰厂工作的人们往往希望能够从生猪的身长估计出它的体重。

二、问题假设： 对于问题一：

1、刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和。 2、反应距离d1与车速v成正比，比例系数为反应时间t1。 3、由于是紧急状况，因此司机在刹车时肯定是用最大制动力F来使车

减速。

对于问题二：

1、假设四足动物的躯干（不含头尾）为长度L，断面直径为d的圆柱体，其体积为s。

2、 四足动物的躯干（不包括头尾）重量与其体重相同，记为f。 3、 四足动物可看做一根支撑在四肢上的弹性梁,其腰部的最大下垂对应弹性梁的最大弯曲b。

四、问题分析

对于问题一：

一般开车上过高速的朋友都在路边看过这样的牌子：确认车距。其实“确认车距”就是防止后车因紧急刹车距离不够而导致追尾的事故发生，同样制定这样的规则也是出于这样的考虑。

现在我们来看看这两个规则是不是同一回事，显然刹车的距离与刹车时间和车速有关。在“2秒”规则中：汽车在10英里/小时的车速下2秒钟行驶的距离： 10英里/小时*5280英尺/英里*1小时/3600秒*2秒=29.33英尺（约8.94米），远大于一个车身4.6米。因此我们看到“2秒”规则与上述规则并不一样。现在

我们来寻求更好的规则：

人在看到前方障碍物到脚踩下刹车再到车停下这一段时间一般被称为刹车时间。现在我们把刹车时间分为：反应时间+制动时间。反应时间指从司机看到障碍物到在大脑中产生刹车意识再到脚踩下刹车的时间，这个时间一般是常数。反应时间取决于司机的个人状况（视野、脚的灵活度，大脑反应时间等等）。根据《交通工程学》驾驶员反应特性分析：驾驶员在开始制动前最少需要的反应时间为0.4秒,产生制动效果需要0.25秒时间,合计起来,刹车发生效果的最少总时间也要0.65秒。那么我们暂且把刹车的反应时间定为0.7秒。而制动时间是指从司机脚踩下刹车（从此时起已产生刹车效果）到车停下时这段时间。制动时间则取决于制动器作用力、车重、车速、路面状况、天气等因素。

制动系统主要由制动器，液压传动机构等组成。车轮制动器只要有旋转部分和固定部分组成制动鼓以内圆面为工作面，固定在车轮轮毂上，随车轮一起转动。制动系统不工作时，制动鼓的内圆面与制动蹄摩擦衬片的外圆面之间保持有一定得间隙，允许车轮和制动鼓相对自由旋转。汽车需要减速时，驾驶员踩下制动踏板，通过推杆和制动主缸活塞使制动主缸内的油液在一定压力下流入轮缸，油液推动两个制动轮缸活塞，使两制动蹄绕支撑销转动，上端向两边分开而以其摩擦衬片压紧在制动鼓的内圆上。这样，不旋转的制动蹄就对旋转的制动鼓作用一个摩擦力矩其方向与车轮旋转方向相反。制动鼓将该力矩传到车轮后，由于车轮与路面间的附着作用，车轮对路面作用着一个向前的切向力，路面对车轮作用一个向后的反作用力，即制动力。制动力由车轮经车桥和悬架传给车架及车身，迫使汽车产生一定的减速度。制动力越大，则汽车减速度越大。由此看之制动器是一个能量耗散装置，它所做的功被汽车动能的改变所消耗，而最大制动力大体上与车的质量成正比，使汽车的减速度大体上是一个常数。根据动能定理：“力在一个过程中对物体所做的功等于在这个过程中动能的变化.”可知制动力所做的功=最大制动力*制动距离=车动能的变化。

而刹车距离==反应距离+制动距离，反应距离=反应时间*车速。制动距离=车的动能的变化/最大制动力。而车的最大制动力在车设计好以后就已经固定下来，是一个常数。在制动前车的动能=0.5*车速平方*车的质量。由此看之制动距离与车速有关，与制动时间无多大关系，利用这个公式我

们可以很好的回避制动距离与制动时间的关系问题（如果利用制动时间来求制动距离将会变得很复杂） 对于问题二：

动物的生理构造十分的复杂，不同的动物其身体构造不同，密度也不同。所以如果从动物的生理角度来分析的话那将是一个很大的工程。由于这个模型的作用只是为了根据四足动物的身长来估计体重，并不需要十分精确。因此可以利用类比的方式，利用物理上某些力学的的效果来建立动物的身长和体重间的比例关系。在这里我们利用了弹性梁的原理来类比四足动物的身长和体重的关系。

因为材料受到弯曲变形时，从理论公式看出，和材料的弹性模量无关，只和横截面积相关，弹性模量在弯曲计算中根本涉及不上，这是在实验中验证的理论公式。只有在拉压时用上弹性模量。验证弯曲理论公式时通过拉压计算公式得到的。应力=弹性模量x应变。

现在我们把四足动物的躯干看做圆柱体(如图1)，由于受生理因素的影响动物的躯干多多少少会有点下垂，不会成一个标准的圆柱体，所以将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。根据弹性梁原理动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度为b，即梁的最大弯曲。

图1四足动物躯干示意图

五.模型的建立与算法的求解

对于问题一：

由于反应距离与车速成正比，所以d1=t1*v „„„„(1)

根据动能定理：制动力所做的功=最大制动力*制动距离=车动能的变化。 在刹车过程中，车速从v编程0。车的动能变化：

W=F*d2=0.5*m*v^2 „„„„„„„„(2) 根据牛顿第二定律可知，刹车时的减速度a为一个常数。则 由（1），（2）式及F ∝m可知： d2=k*v^2（这里

k

为一个比例系数，将在下面求

出） „„„„„„„„„„„(3) 由（1）（2）（3）知：

刹车距离为d=t1*v+k*v^2 „„„„„„„„„(4)

为了求解出模型，需要知道其中的参数t1和k。由上述问题分析可知t1为一常数0.65。现在我们来利用一组数据（表格一）拟合出k 数据的出处为交通部门统计的一份表格：

表格一

利用matlab对数据进行拟合：程序代码为： Clear[x,v,d];

x={{8.9,12.8},{13.4,22.4},{17.9,35.0},{22.4,57.2},{26.8,75.6},{31.3,1104.9},{35.8,141.4}}; d=Fit[x,{v,v^2},v]; Print["d=",d]; Plot[d,{v,0,1}] 结果： In[387]:=

Clear[v,d];

D=0.65*v+0.0817*v^2; 对结果进行了验证，相差无几。 则 d=0.65*v+0.0817*v^2。

为了更直观的表述刹车距离与车速的关系我们利用上述表格的数据画出了车速v与 刹车距离d的折线图，如图二

图二：车速v与 刹车距离d的关系图

于是我们得到了更好的规则，将“2秒”规则修正为“t秒”规则。后车从前车司机经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志，如表三：

表三：修正后的规则 对于问题二：

我们运用类比的方法将弹性梁的原理来与四足动物的身长和体重建立关系，把四足动物的躯干看做圆柱体，长度L,直径d，断面面积s，如图三所示。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研

图三：四足动物躯干示意图

设动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度为b，计量的最大弯曲，根据上述弹性梁的描述。

fLsd

3

最大下垂度：b ∝2„„„„„„„„„„(1)

又因为

f ∝sL „„„„„„„„„(2)

„„„„„„(3)

所以由（1）、（2）式可得 ∝

现在我们令k1=b/L，即四足动物躯干的下垂度比上身体长度，在这里k1是一个系数，成为动物的相对下垂度。它与动物的种类有很大关系，根据生物学的

相关知识，如果动物的相对下垂度太小，则四肢的的组织大小就会超过支撑躯干的需要，便会造成浪费。同样如果动物的相对下垂度太大四肢将无法满足对躯干的支持。根据达尔文进化论，进过长期的进化，每一种四足动物的相对下垂度k1已经进化到了最佳的数值。则动物的相对下垂度k1应为一个常数，与我们所讨论的四足动物的身长与体重之间的关系无关。则由此可得

L3 ∝d2 „„„„„„„„„„„„(4)

根据数学几何知识，圆柱体的体积=圆柱高*圆底面半径平方*圆周率 即： s即： s

L*(d/2)2 „„„„„„„„„„（5）

∝d „„„„„„„„„„ (6)

2

则根据（2）、（6）、（4）式可以推算得 f

∝L4 „„„„„„„„„„„(7)

设其比例系数为k2。

至此四足动物的身长与体重之间的关系就已经求解完毕。我们可以利用此式在看到四足动物的同时来粗略的估算出它的体重。

为了模型能够更好地用于实际，我们利用一组数据来拟合出比例系数k2的值。数据如表二。该数据是从百度百科处查得，是经过多方认证的一组数据，可信度很高。

表二：各种四足动物的身长与体重

由表中数据可知比例系数k2的值大体上为217.69。为了便于在看到动物的同时能够很快根据其身长来估算出体重。我们将比例系数进行四舍五入取整为218.

则模型求得的最终结果为

f218*l4

六、对于两个问题的综合性分析：

问题一与问题二所要求的关键归结起来主要在于拟合的比例系数k。都是先通过一定的分析建立一些式子，然后根据所建立的式子一步一步的排除无关变量和一些复杂的不太容易求得的常数，最后建立起只有题目中所提供的变量的式子。再根据数据拟合出变量关系的比例系数。

对于问题二，利用了比较常见的类比法，题目看似没有解，但如果换一种方法来看就会变得简单很多。在使用类比法时所选的类比对象十分重要，类比对象选得越好建立的模型就会越准确。

七、参考文献：

1、《汽车为什么会“跑”汽车构造与原理》„„„„„„„陈新亚著 2、科教版高中物理必修一

3、《弹性力学中的能量原理及其应用》„„„„„„„„付宝连著