概率论:正态分布

第 四 章 正 态 分 布

第一节 第二节 第三节 第四节 第五节

正态分布的密度函数 正态分布的数字特征 正态分布的线性性质 二维正态分布 中心极限定理

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第一节

正态分布的密度函数

正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地 位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随 机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特 别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态 分布,这是中心极限定理探讨的问题.

一. 一般正态分布

1. 定义 若随机变量X的密度函数为

 1 2 2 f ( x)  e 2  其中    x   ( x   )2

f (x)

0



x

式中 为实数, >0 .则称X服从参数为 ,2的正态分 布,亦称高斯分布.记为N(, 2).可表为X～N(, 2). 图象见右上角

正态分布有两个特性： (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称

1 f()＝maxf(x)＝ 2 

f (x )

1 2 

(2) 的大小直接影响概率的分布 越大,曲线越平坦; 越小，曲线越陡峻. 正态分布也称为 高斯(Gauss)分布

2

f (x )

0



N ( 4,3 / 5)

N ( 4,1)

x

N ( 4,7 / 5)

0

2



4

6 x

二. 标准正态分布

参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态 分布，记作X~N(0, 1)。  (x) 其密度函数为

1  (x)  2 (   x   )

x2  e 2

4 2 0

2

4

x

分布函数为

(1) (0)=0.5

 ( x )  P { X  x}



t2  x 1 e 2 2   

(2) (+∞)＝1；

dt ,   x  

f (x)

f ( x)  1 e 2

 x2 2

(3) (x)＝1－ (－x). 一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表供读者查阅 (x)的值.(P328附表1)如,若 X~N（0,1),(0.5)=0.6915, P{1.32

0

x

正态分布的数字特征 (一) 一般正态分布N(, 2)

( x)2 2 2

1  X ~ f (x)  e 2 

,  x  

E( X ) 

t

   xf ( x)dx  

 t      ( x

x



 2

t2  2 e dt 2

x  e 2 



( x )2 2 2

dx

D( X ) 

  ) f ( x )dx  

2

(二)标准正态分布N(0, 1)

X ~ f ( x) 

E( X ) 

  

1 2

x2  e 2

,  x 

x 2

x2  e 2 dx

xf ( x ) dx 

  

 0(奇函数 )

2

D( X )  E{[ X  E ( X )] } 

 2   x

2

   [ x

 E ( X )] f ( x)dx

1 2

x2  e 2 dx

1

三. 一般正态分布概率的计算 若X～N(,2),>0,则有

f (x )

F ( x )  P { X  x} 

x    1 e 2  (t   ) 2 2 2

dt

 x }

0

F ( x)  P{X  x}  P{  P{Z  ( x ).

X 



 (x )

x



x

}  ( x   ) /   

 t2  1 e 2 dt 2

x



 一般地,有

0

例1 设随机变量 X ~ N (1, 2 ) , 求 P{1.6  X  2.4} 解 P{1.6  X  2.4}  P{1.6  1  X  1  2.4  1}  P{2.6  X  1  1.4}  P{2.6 / 2  ( X  1) / 2  1.4 / 2}  P{1.3  ( X  1) / 2  0.7}   (0.7)  (1.3)

 (0.7)  [1  (1.3)]  0.7580  [1  0.9032]  0.6612 .

P{a  X  b}  P{a    X    b  } a b a X  b  P{   }  P{ Z  }      b a  P{Z  }  P{Z  }   Z ~ N (0,1) b a ( )  ( )   2

例2. 设 XN(,2),求P{-3

解 P{  3  X    3 }  P{(  3 )    X    (  3 )  }  P{3  X    3 } P{ 3  X    3 }     P{3  ( X   ) /   3}   (3)   ( 3)

  (3)  [1   (3)]  2 (3)  1  0.9973

本题结果称为3原则.在工程应用中,通常认为 P{|X|≤3} ≈1，忽略{|X|>3}的值.如在质量控制中, 常用标准指标值±3作两条线,当生产过程的指标观察 值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.

例 3 设随机变量 X ~ N ( 2, 2 ) , 且 P{2  X  4}  0 .3, 求 P{ X  0}. 随机变量 解 P{2  X  4}  P{0  ( X  2) /   2 /  } 标准化

 (2 /  )  (0)  0.3,  (2 /  )  0.3  (0)  0.8

P{ X  0}  P{( X  2) /   2 /  }  (2 /  )  1  (2 /  )  1  0.8  0.2 例 4 设随机变量 X ~ N ( 3, 4 ) , 且 常数 C 满足 P{ X  C }  P{ X  C }, 求 常数 C . 解 由P{ X  C}  P{ X  C}, 即 1  P{ X  C}  P{ X  C} 所以 P{ X  C}  0.5 X 3 C 3 C 3 另一方面 , P{ X  C}  P{  }  ( )  0.5 2 2 2 C 3  0 ,  C 3. 2

例 4(2004年) ( A)  

2

设 X ~ N (0 , 1), 对于给定的  (0,1), 数  ( B)

满足 P{ X   }   . 若 P{ X  x}   , 则 x 等于

1

2

(C ) 

1



2

( D)  1

 ( x)

解 P { X  x}    P {  x  X  x}   

1 P{ X  x}  2 故 x   1

2





x

x

1 2



1 2

例5

一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分

布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件 损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无 一元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,则Y~

B(3,p)

90  100 )   (0.67)  0.2514 其中 p  P{ X  90}   ( 15

P{Y  0}  (1  p ) 3  0.4195 故

2 (2006年) 设随机变量X ~ N ( 1 ,  12 ), Y ~ N (  2 ,  2 ),

且 P{ X  1  1}  P{ Y   2  1}, 则必有 ( A)  1   2 . ( B )  1   2 . (C ) 1   2 . ( B) 1   2 .

第二节 正态分布的数字特征 一. 一般正态分布N(, 2)

( x)2 2 2

1  X ~ f (x)  e 2 

,  x  

E( X ) 

t

   xf ( x)dx  

 t      ( x

x



 2

t2  2 e dt 2

x  e 2 



( x )2 2 2

dx

D( X ) 

  ) f ( x )dx  

2

二.

标准正态分布N(0, 1)

X ~ f ( x) 

E( X ) 

  

1 2

x2  e 2

,  x 

x 2

x2  e 2 dx

xf ( x ) dx 

  

 0(奇函数 )

2

D( X )  E{[ X  E ( X )] } 

 2   x

2

   [ x

 E ( X )] f ( x)dx

1 2

x2  e 2 dx

1

例1 已知随机变量X的密度函数为 1  x 2  2 x 1 f ( x)  e ,    x   求 E ( X )、D ( X ) .



解

f ( x) 

1



e

 x 2 x 1

2

1  e 2  (1/ 2)



( x 1) 2 2(1/ 2 ) 2

1 故   1,   2

2

例2 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3)

1 解 f (x)  e 2 x2 x2  2   E ( X 2 )   x 2 f ( x)dx  e dx 2 2 2

  

x2  2

x 2

x  de 2

x  2

x  2  e 

  

E( X ) 

3

 3   x

f ( x) dx 

x2 x3  2  e dx  

1 2

x2  e 2 dx  1

2

0

2009年(数一) 设随机变量X的分布函数为F ( x)  0.3 ( x)  0.7 ( 其中 ( x)为标准正态分布函数, 则EX  ( A)0. ( B )0.3. (C )0.7. ( D)1.

x 1 ), 2

分析 : EX   xf ( x )dx ,因此先求随机变量 X的概率密度函数 f ( x ).





解 f ( x )  F ( x )  [ 0 . 3  ( x )  0 . 7  (

0 .7 x 1  0 . 3 ( x )  ( ) 2 2

于是 EX  

 

x 1 ) ] 2

xf ( x ) dx  



 

x[0.3 ( x ) 

0 .7 x  1 ( )]dx 2 2

0.7   x 1  0.3 x ( x)dx  x ( )dx    2 2

1  0 .3  x  e  2



x2  2

0 .7   dx    x 2

1 x 1 2  ( ) 2 2

1 x 1 2  ( ) 1 2 2 e dx 2

 0

0 .7 1 x   2 e 2



1 x 1 2 )  ( 0 .7   1 2 2 dx dx    x 2 e 2

x 1 令  t , 则dx  2dt , x  2t  1. 代入上式得 2

0 .7 1   x 2 e 2

 1 x 1 2 )  ( 2 2

0 .7 1 dx    (2t  1) 2 e 2





t2 2

 2 dt



1 0 .7 2t  e   2 2





t2 2

 2 dt 

0 .7 1   2 e 2





t2 2

 2 dt

0. 7   1

 0   2 e 2

t2  2

 2dt  0.7  



1 e 2



t2 2

 dt  0.7.

2009 年

设随机变量 X与 Y相互独立 , 且 X服从标准正态分布 ,

1 Y的概率分布为 P{Y  0}  P{Y  1}  .记 FZ ( z )为随机变量 2 Z  XY的分布函数 , 则函数 FZ ( z )的间断点个数为 ( A) 0 . ( B )1. (C ) 2 . ( D )3 .

解 FZ (z)  P{Z  z} P{XY  z}

 P{Y  0}P{XY  z | Y  0}  P{Y  1}P{XY  z | Y  1}

1  [ P{ XY  z | Y  0}  P{ XY  z | Y  1}] 2 1  [ P{ X  0  z | Y  0}  P{ X 1  z | Y  1}] 2 为什么? 1  [ P { X  0  z }  P { X  z }] 2

1 (1)当z  0时, FZ ( z )  [ P{ X  0  z}  P{ X  z}] 2

1 1  [ P( )  P{ X  z}]  [0  P{ X  z}] 2 2

1 1  P{ X  z}   ( z ) 2 2 1 (2)当z  0时, FZ ( z )  [ P{ X  0  z  P{ X  z}] 2

1 1  [ P()  P{ X  z}]  [1  P{ X  z}] 2 2

所以 , z  0为函数 FZ ( z )的间断点 . ( B )正确 .

1  [1   ( z )] 2

例 3 某地抽样调查结果表明 , 考生的外语成绩 (百分制) 近似服从正态分布 , 平均成绩为 72 分, 而 96以上的考 生占总数的 2.3%, 求考生的外语成绩在 60 分至 84 分 之间的概率 . 解 设 X — 考生的外语成绩, 依题设知X ~ N (  , 2 ), 其中  72, 下求方差 2 X   96   由题设 P{ X  96}  0.023  P{  }  0.023   X   96   96   1  P{  }  0.023, 即 1   ( )  0.023

 (

96  









)  0.977,

96   96  72  2,      12 2 2

查表得 ,

96  



于是 , P{60  X  84 }  P{

60  





X 





84  



}

60  72 X   84  72 X   1}  P{   }  P{1  12 12  

  (1)  (1)   (1)  [1   (1)]

 2 (1)  1  2  0.841  1  0.682

例 4 假设测量的随机误差 X ~ N ( 0,10 2 ).试求在 100 次 独立重复测量中 , 至少有三次测量的绝对 值大于 19 .6 的概率  ,并利用泊松分布求出  的近似值 . 解 先求每次测量误差的绝对值大于19.6的概率 p p  P{ X  19.6}  1  P{ X  19.6}  1  P{19.6  X  19.6}

 1  P{  19.6  

    19.6  0 X   19.6  0   }  1  P{ 10 10  X   1  P{1.96   1.96}  1  [ (1.96)   (1.96)] 

 1  [ (1.96)   (1.96)]  1   (1.96)  [1   (1.96)]

 2  2 (1.96)  2  2  0.975  2  1.95  0.05



X 



19.6  

}

设 Y — 100次测量中绝对值大于19.6, 则Y ~ B (100,0.05)

于是所求的概率为   P{Y  3}  1  P{Y  0}  P{Y  1}  P{Y  2}

0 1  1  C100 (0.05) 0 (0.95)100  C100 (0.05)1 (0.95

)99 2  C100 (0.05) 2 (0.95)98

  np  100  0 .05  5, 故由泊松分布得

  1

0

0!

e





1

1!

e





2

2!

e



52  1  e  (1    )  1  e 5 (1  5  )  0.87 2 2

2

习作题 1.设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且 X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学 期望 答:

27 E (U )  E (2 X  3Y ) E (4 Z  1)  2

2 设随机变量 X 1 ,..., X n 相互独立,且均服从 N (  ,  2 )

1 n 分布,求随机变量 X  X i 的数学期望  n i 1 1 n 答: E ( X )   E ( X i )  n i 1

作业题

1. 设随机变量XB（12,0.5),Y N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差. 2. 某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依 次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X 服从正态分布 N (  , 2 ), 现已知90分以上有359人, 60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数.

第三节 正态分布的线性性质 一. 线性性质 例1 设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y  a X  b ~ N (b, a2 ) Y=aX+b的密度函数,且有

y b 解： Y=ax+b关于x严单,反函数为 h( y )  a

y b fY ( y)  f X ( ) h( y)  1 a 2

E (Y ) 

  

 y b    a   2 e

2

1  a

1 2 a

e



( y b ) 2 2a2

y  e 2 a

( y b ) 2 2a 2

 dy    

ax  b 2

x2  e 2 dx

b

 D (Y )  E{[Y  E (Y )]2 }     [ y  E (Y ) ]2 f ( y ) dy

( y  b)2  2 a 2  2    e dy  a 2 a 直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差

 1 2a 2 , 由 f ( y)  e 2 a 可知随机变量Y服从正态分布, ( y b) 2

( y b)2

而且 E (Y )  b , D (Y )  a 2

定理1 设随机变量X 服从正态分布N(, 2),则X的线性 函数 Y  a  b X 也服从正态分布,且有 Y  a  bX ~ N ( a  b , a 2 2 )

例2

已知XN(,2),求 Y



X 

解 Y  X   关于x严格单调,反函数为 h( y)   y    故 fY ( y)  f X [h( y)] | h( y) | f X (y   )



的概率密度



1 e 2

 y     2 

2

2



1 e 2

y2  2

你能用正态分布的线性性质求解吗?

二. 正态分布的可加性

定理2 设随机变量X1,X2 相互独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,2, 则 2 2 2 2 a1 X 1  a2 X 2 ~ N (a11  a2  2 , a1  1  a2 2 ) 定理3 设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则



n

i 1

a i X i ~ N (  a i  i ,  a i2 i2 )

i 1 i 1

n

n

例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态 分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布.

解 依题设 X ~ N ( 0,1) , Y ~ N ( 0,1) ; 故有

E ( X )  0 , D ( X )  1 , E (Y )  0 , D (Y )

 1

于是由定理 2可知 X  Y服从正态分布 , 且有

E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )  0  0  0

D ( X  Y )  D ( X )  D (Y )  1  1  2,

即 X  Y ~ N (0 , 2 )

例2. 设随机变量X与Y独立,且X~ N(1,2),Y~N(0,1). 求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)P{2

D ( Z )  D ( 2 X  Y  3)  4 D ( X )  E (Y )  8  1  9

Z  2 X  Y  3 ~ N (5,9) 2  Z   8  Z  (2) P{2  Z  8}  P{   } P{1   1}       (1)   (1)   (1)  [1   (1)] 即

 2 (1)  1  2  0.8413  1  0.6826

第四节

二维正态分布

一. 密度函数 若随机变量(X,Y)的密度函数为

f ( x, y ) 

1 212 1  

2

e

1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y  2 ) ( y  2 ) 2 [ ]    2 2 2 2 12 2( 1 ) 2 1

,

其中，1、2为实数，1>0、 2>0、|  |

( X , Y ) ~ N ( 1 ,  2 ,  ,  ,  )

2 1 2 2

二、边缘密度函数  2 设(X, Y)~f(x,y),(x,y)R ,则称 f X ( x)   f ( x, y )dy  为(X,Y)关于X的边缘密度函数；  同理,称 fY ( y )   f ( x, y )dx



为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是 N(1, 12)的密度函数,而fX(x)是N(2, 22)的密度函 数, 且  XY   . 即 二维正态分布的边缘分布也是正态分布. 可见,若（X,，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立 的充分必要条件是X与Y不相关。

例 设(X,Y)服从N(1, 0, 32, 42, -0.5)分布， Z=X/3+Y/2 1)求E(Z) , D(Z) ;2)求X与Z的相关系数 3)问X与Z是否相互独立？为什么？

解 (1) 由( X , Y ) ~ N (1, 0 , 32 , 4 2 ,  0.5), 得 E ( X )  1 , D ( X )  32 , E (Y )  0 , D (Y )  4 2 ,  XY  0.5

故 Cov ( X , Y )  D ( X ) D (Y )  XY  3  4  (0.5)  6

于是 E ( Z )  E ( X / 3  Y / 2)  E ( X ) / 3  E (Y ) / 2  1/ 3  0 / 2  1/ 3 D ( Z )  D ( X / 3  Y / 2)  D ( X ) / 9  D (Y ) / 4  C 0v( X , Y ) / 6

 3 2 / 9  4 2 / 4  ( 6 ) / 6  4

2) Cov( X , Z )  Cov( X , X / 3  Y / 2)

 Cov( X , X / 3)  Cov( X , Y / 2) 1 1  Cov ( X , X )  Cov ( X , Y ) 2 3

1 1  D ( X )  Cov ( X , Y ) 3 2

1 1 2   3   (6)  0 3 2 故 X 与 Z 不相关 . X Y  (3) 因 X 与 Y不独立 ,而 Z  3 2 故 X 与 Z 不独立 .

(2007年) 设随机变量( X , Y )服从二维正态分布, 且X与Y不相关, f X ( x), fY ( y )分别表示X , Y的概率密度, 则在Y  y的条件下, X的 条件

密度函数f X |Y ( x | y )为 ( A) f X ( x) (C ) f X ( x) fY ( y ) ( B) fY ( y ) f X ( x) ( D) fY ( y )

( 2003年) 设随机变量 X和Y都服从正态分布 , 且它们不相关 , 则 ( A) X与Y一定独立. (C ) X与Y未必独立. ( B ) ( X , Y )服从二维正态分布 . ( B ) X  Y服从一维正态分布 .

第五节 中心极限定理

一. 依分布收敛

设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的 连续点，有 lim Fn ( x )  F ( x ),

n

则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为 X n  w  X .

现令Yn   X k , 若Yn的标准化r.v.Yn* k 1 则称{ X n }满足中心极限定理.

n

  ~ N (0, 1), 

w

二.几个常用的中心极限定理

1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若 EXk=

P{  X i  x}  P{

i 1 n i 1

 X i  n n

n

x  n x  n  }  ( ) n n

或者

P{ i 1

 X i  n n

n

 x}   ( x)

例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？ 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布.

1 6 2 49 35 7 E ( X 1 )  , D( X 1 )   k   6 i 1 4 12 2

由中心极限定理

 7  500  100   100 2 P{  X i  500 }  1      35 i 1   10 12    1   (8.78)  0

例2 设X 1 , X 2 ,, X n , 为独立同分布的随机变量序列, 且均 服从参数为 (  1)的指数分布, 记 ( x)为标准正态分布, 则

( A) lim P{i 1

n

 X i  n

n

 n

n

 x}  ( x). (B) lim P{i 1

n n

 X i  n n n  Xi  

n

 x}  ( x)  x}  ( x)

(C) lim P{

n

 Xi  n

i 1

n 解 E ( X i )  1 /  , D ( X i )  1 / 2

n

 x}  ( x).

(D) lim P{i1

n

i 1

 X i  E ( X i )

i 1

n

D ( X i )

i 1

n



i 1

 X i   E( X i )

i 1 i 1

n

n

 D( X i )

n



i 1

 Xi  n /  n / 2

n



 Xi  n

i 1

n

n

于是 lim P{

n 

 Xi  n

i 1

n

n

 x}   ( x) (2005年)

2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)

设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0

n  np

npq

  ~ N (0, 1). 

w

证明:设 则

1 第i次试验事件A发生 Xi   0 第i次试验事件A不发生

n i 1

E ( X i )  p, D( X i )  p (1  p ),n   X i

由中心极限定理,结论得证

例3 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险,每 人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为 0.6%,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问: (1)保险公司亏

本的概率有多大? (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于 60000元,赔偿金至多可设为多少? 解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p), 其中n= 10000,p=0.6%,设Y表示保险公司一年的利 润, Y=1000012-1000X 于是由中心极限定理 (1)P{Y

例4.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从 N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最 多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.

解: 设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则

n

X

i 1

i

~ N (50n,2.5 n) 令 P{ X i  2000}  0.05

2

n

2000  50 n 故 P{  X i  2000 }  1   ( )  0.05 2 .5 n i 1 查 2000  50n 2000  50 n 即 ( )  0.95 表  1.645 2.5 n 2 .5 n 得  n  39

n

i 1