韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用

韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用

【注意】应用韦达定理的前提是：二次项系数不为零，判别式大于（或等于）零． 一、弦长问题

【韦达特征】AB



例1 顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2xy4

0所得弦长为，则抛物线方程为 ．

二、弦的中点问题 【韦达特征】x1x2

1y2

0

x2

,y0

y2

x2

例2 已知直线l与椭圆

y

2

164

1交于A、B两点，且线段AB的中点为P(2,1)，则直线l的方程是 ．

三、垂直问题 【韦达特征】

（1）若OAOB，则：x1x2y1y20



（2）若PA

PB,P(m,n)，则：PA(x1m,y1n),PB(x2m,y2n)

PAPB(x1m)(x2m)(y1n)(y2n)

x2

1x2m(x1x2)my1y2n(y1y2

2)n

例3 若直线l：yax1与双曲线3x2y2

1交于A、B两点,且以AB为直径的圆过原点，求a的值.（a1）

例4 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

x

2

y

2

43

1 （Ⅱ）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为

直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．(2

7,0)

例5 设椭圆

x22a

2



yb

2

1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，

AF12F1F2，原点O到直线AF1的距离为

3

OF1．

（Ⅰ）证明a；

（Ⅱ）求t(0，b)使得下述命题成立：设圆x2y2t2上任意点M(x0，y0)处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1OQ2．

例6 设动点P到点A(1，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，APB2，且存在常数

(01)，使得dd2

12sin．

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

（2）过点

B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定的范围，使OMON0，其中点O为坐标原点．

y

四、对称问题（即垂直平分问题）

【韦达特征】实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）．

例7 如图，倾斜角为的直线经过抛物线y28x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：FPFPcos2为定值，并求此定值．8

五、线段相等

【韦达特征】若PAPB,P(m,n)，AB中点为M(x0,y0)，则：

1y2

xx1x2

y1yn

y2

02

,y02

且PMABkPMkAB1

m

xxkAB

1． 122

实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）．

例8 已知椭圆的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线xy0的距离为3，试问能否找到一条斜率为k(k0)的直线l，使l与已知椭圆交于不同两点M、N且

满足AMAN．

六、数量积问题 【韦达特征】（同问题三——垂直问题） 2

例9 设F2

1、F2分别是椭圆

x

4

y1的左、右焦点．

（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PFPF5

124

，求点P的坐标；

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中

O为坐

标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

例10 已知双曲线x2y22的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点．

（Ⅰ）若动点满足

MF1MF1AF1BF1O（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）在，使

x轴上是否存在定点CCACB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

七、面积问题

例11 直线ykxb与椭圆

x

2

4

y2

1交于A、B两点，记△AOB的面积为S．

（Ⅰ）求在k0，0b1的条件下，S的最大值；

（Ⅱ）当AB2，S1时，求直线AB的方程．

22例12 已知椭圆C：

xa

2



yb

2

1(ab0)的离心率为

63

，短轴一个端点到右焦点的距离

为3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32

，求△AOB面

积的最大值．

例13 设F是抛物线G：x24y的焦点．

（Ⅰ）过点P(0,4)作抛物线G的切线，求切线方程；

（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足

FAFB0，延长AF、BF分别交抛物线G于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值． 例14 已知抛物线x2



4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AFFB(0)．过

A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（Ⅰ）证明

Ｍ．

FMAB为定值；

（Ⅱ）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值．

八、有关比例问题 例15 已知点F(1，0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点

，且QQPQFFPFQ．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；



（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C与A、B两点，交直线l于点M，已知

MA1AF，MB2BF，求12的值；