3.3三角函数的奇偶性与单调性(无答案)

3.3三角函数的奇偶性与单调性【知识网络】1．正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性； ２．正弦、余弦、正切函数的的单调性． 【典型例题】

［例1］(1) 已知a ∈R ，函数f (x ) =sin x -|a |,x ∈R 为奇函数，则a ＝ （ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 （2）函数f (x )=tan x +

⎛⎝

π⎫

⎪的单调增区间为( ) 4⎭

ππ⎫⎛

A ． k π-, k π+⎪, k ∈Z B．(k π, (k +1)π), k ∈Z

22⎭⎝

3ππ⎫π3π⎛⎛

C ． k π-, k π+⎪, k ∈Z D． k π-, k π+

44⎭44⎝⎝

⎫

⎪, k ∈Z ⎭

（3）定义在R 上的函数f (x ) 既是偶函数又是周期函数，若f (x ) 的最小正周期 是π，且当x ∈[0,

π

2

]时，f (x ) =sin x ，则f (

5π

) 的值为 ( ) 3

A. -

311

B. C. - D.

2222

（4）如果f (x ) =sin(x +ϕ) +2cos(x +ϕ) 是奇函数，则tan ϕ= ． （５）已知函数y =f (x ) 满足以下三个条件：

① 在[0,

π

2

]上是增函数 ②以π为最小正周期 ③是偶函数

试写出一满足以上性质的一个函数解析式 ．

［例2］判断下列函数的奇偶性

（１）f (x ) =sin 2x -tan x ； (2 ) f (x ) =

1+sin x -cos x

；

1+sin x +cos x

(3 ) f (x ) =cos(sinx ) ；

(4 ) f (x ) =

［例3］已知:函数f (x )=log 1(sin x -cos x )． (1)求它的定义域和值域； (2)判断它

2

的奇偶性； (3)求它的单调区间； （4）判断它的周期性, 若是周期函数, 求它的最小正周期.

［例4］已知函数f (x ) =sin x +2sin x cos x +3cos x ，x ∈R ．求:

2

2

(I) 函数f (x ) 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数f (x ) 的单调增区间． 【课内练习】

1．函数f (x ) =sin(2x+φ)+cos(2x +φ) 的图像关于原点对称的充要条件是 （ ）

ππ

A ．φ=2k π－ ，k ∈Z B ．φ=k π－ ，k ∈Z

66ππ

C ．φ=2k π－ ，k ∈Z D ．φ=k π－，k ∈Z

33

2．在∆ABC 中，C >

π

2

，若函数y =f (x ) 在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是

（A ）f (cosA ) >f (cosB ) （B ）f (sinA ) >f (sinB )

（C ）f (sinA ) >f (cosB ) （D ）f (sinA )

π

3

对称；

, ]上是增函数”的一个函数是( ) 63

x ππ

A y =sin(+) B y =cos(2x +)

263

C y =cos(2x -

⑶ 在[-

ππ

π

) D y =sin(2x -)

66

ππ

, ]，若f (x 1) >f (x 2) ，则下列不等式必定成立的是

22

π

4． 设函数f (x ) =x sin x , x ∈[-

（ ）

2

A ． x 1+x 2>0 B ． x 12>x 2 C ． x 1>x 2 D ． x 1

（2）f (x ) =

cos x (1-sin x )

是 ；

1-sin x

（3）f （x ）

=是

1

，则f (4cos2α) 2

７．五个函数①f (x ) =sin x ②f (x ) =cos 2x ③f (x ) =sin 2x ④f (x ) =tan(x +π)

6. 若f (x ) 是以5为周期的奇函数，f (-3) =4且cos α=

⑤f (x ) =cos 2x +sin 2x 中，同时满足f (x +

π

2

) =-f (x ) 且

f (-x ) =-f (x ) 的函数的序号为．

8．求下列函数的单调区间.

(1) y =

π⎫1⎛π2x ⎫⎛

sin -⎪ (2) y =-cos x +⎪

4⎭2⎝43⎭⎝

９．已知f (x ) 为奇函数，且当x >0时，f (x ) =sin 2x +cos x ．

（１） 当x

10．已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ) (ω>0,0≤ϕ≤π) 是R 上的偶函数，其图象关于点

M (

3ππ

,0) 对称，且在区间[0,]上是单调函数，求ω和ϕ的值． 42

作业本 A 组 １．函数y =－x cos x 的部分图象是 （ ）

A

B

C D

π

－2x ）（x ∈［0，π］）为增函数的区间是 （ ） 6ππ7ππ5π5π

A. ［0，］ B. ［，］ C.［，］ D.［，π］

12312366

３．若y =f (x )sin x 是周期为π的奇函数，则f (x ) 可以是 （ ）

2．函数y =2sin（

A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x

4. 已知f (x ) =a sin x +b cos x +5,(ab ≠0) 且f (9)=27，则f(-9)＝ ． 5．已知f (x )=sin (x +θ)+cos (x +θ)的一条对称轴为y 轴, 且θ∈(0, π). 求θ⎧sin x ,sin x ≥cos x

６．已知函数f (x ) =⎨

cos x ,cos x >sin x ⎩

（1）画出f (x ) 的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值； （2）判断f (x ) 是否为周期函数. 如果是，求出最小正周期.

7. 比较下列各组中两个值的大小：

373π3π1，sin ，-cos ；（2）sin(sin) ，sin(cos) ． 248810

8. f (x ) 是定义在[-2π, 2π]上的偶函数，当x ∈[0, π]时，y =f (x ) =cos x ；当x ∈(π, 2π]

2

时，f (x ) 的图象是斜率为，在y 轴上截距为－2的直线在相应区间上的部分.

（1）cos

ππ

（1）求f (-2π) ，f (-) 的值；

3

（2）求f (x ) 的解析式，并作出图象，写出其单调区间.

B 组

1．函数f (x ) =x ⋅|sin x +a |+b 是奇函数的充要条件是

A ．ab =0

B ．a +b =0

C ．a =b

（ ）

2

2

D ．a +b =0

2．函数y = x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数 （ ）

π3π3π5πA. （，） B. （π，2π） C. （，） D. （2π，3π）

2222

3．设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是

（A ）（B ）（C ）（D tan(α+β) 1 4．给出下列命题：

①正切函数的图象的对称中心是唯一的；

π

②y =|sinx |、y =|tanx |的周期分别为π、；

2

③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；

④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－其中正确命题的序号是____________. 5．设函数f (

x )=cos

T

）=0. 2

/

12

α+β

2

π

+ϕ(0

)

(x )+f ()x 是奇函数，则

ϕ=__________．

6．已知函数f (x ) =a

sin(2x -)

4

(a >0, 且a ≠1) ．

(1) 这个函数是否为周期函数? 为什么? (2) 求它的单调增区间和最大值.

7. 设函数f (x ) =sin(2x +ϕ),(-π

π

8

．

(1) 求ϕ; （2）求函数y =f (x ) 的单调增区间; （3）证明直线5x -2y +c =0与函数

y =f (x ) 的图象不相切.

8．已知偶函数f (x ) =cos θsin x -sin(x -θ) +(tanθ-2)sin x -sin θ的最小值是0，求

f (x ) 的最大值及此时x 的集合．