椭圆的焦半径公式及应用
２０１４年第９期
中学数学研究
结论２
・２５・
结论１
若动点Ｐ（聋。，％）为椭圆ｃ：§＋告＝
若Ｐ（‰，％）为圆石２＋广＝口２＋６２上
．２
２
ｌ（口＞６＞Ｏ）外一点，且到椭圆Ｃ的两条切线相互
任意一点，由动点Ｐ（茗。，％）作椭圆ｃ：％＋旨＝１（口
Ｕ
Ｕ
垂直，则点Ｐ的轨迹方程为茗２＋严＝口２＋６２．
＞６＞Ｏ）的两条切线Ｚ。与ｊ２，则ｊ１上２２．（证略）
结论３
ｆ≥善≯‰得手＋半：｛譬＋苦：－得≥＋尘∑—弓半２
得省：＋元＝口２＋６２（茗≠±口）．
【％＝６，
Ｌ％＝６，
Ｉ％＝一６，
【％＝一６，
证明：（１）若两条切线的斜率均存在，不妨设过
若动点Ｐ（粕，％）为抛物线Ｃ：石２＝
点Ｐ（粕，扎）的切线方程为ｙ＝孟（茹一粕）＋％，则由
现（ｐ＞０）外一点，且到抛物线Ｃ的两条切线相互
垂直，则点Ｐ的轨迹方程为，，＝一皋（证略）‘
例
（２０１０年广东高考数学理科第２０题第２问
１，即（口２Ｊ｝２＋６２）戈２＋（２口２％七一２口２‰矿）茹＋矿Ｊ｝２露一２Ｊ｝口２粕如＋口２露一口２６２＝ｏ，令厶＝（２ｃ１２％ｊＩ一２口２‰矗２）２—４（口２孟２＋６２）（口２酽露一２后口２‰％＋口２元一口２６２）＝ｏ，整理得（口２一石：）矿＋ｈｏ％蠡一元＋６２＝
０．又所引的两条切线相互垂直，设两条切线的斜率
改编）若过点日（０，＾）（＾＞１）的两条直线Ｚ，和乞与
．．２
椭圆等＋广＝ｌ都相切，且ｚ。上ｚ２，求＾的值．厶
解：设过点日（０，＾）的直线为ｙ＝ｋ＋＾（＾＞
２
１），联立冬＋严＝１得（１＋２詹２）茗２＋４Ｊ｝ｋ＋２＾２—２二
＝０，令△＝１６酽＾２—４（１＋２置２）（２酽一２）＝０，得
分另９为七，，也，贝。七，・五：＝一１，即！ｆ＿二＝＿乌＝一１，整理
（２）若两条切线中有一条斜率不存在，则易得
２酽一Ｊ１２＋１＝ｏ，又由后ｌ・尾２＝一ｌ，解得＾＝扛
以上两道高考题的神似提醒我们，在平时的教学中，尤其是高三的总复习中应该重视对高考题的研究，通过研究，可以使我们能领悟解题方法，领悟问题的深层次的联系，从而使我们的解题能力和思维品质向更深和更高层次发展和升华．
ｆ粕２口’或ｆ‰２一口’或ｆ‰２钆或ｆ‰２一口’经
检验知均满足露＋元＝８２＋６２．因此，动点Ｐ的轨迹方程为矿＋严＝口２＋酽．
卅争《争司争《争电务《争毛争ｄ＾ｄ夸《卜ｄ卜ｄ＾西ｈ面＾趔九诏、胡ｈ趔卜司ｈ硒ｈ喀、趔卜固卜硒ｈ雹争－ｑ争《争《争司卜硒｝司Ｋ疥西ｈ够、痧、痧、驴、驴、驴、廖、妒协彩、痧、《ｈ‘西争
椭圆的焦半径公式及应用
安徽省砀山中学（２３５３００）
近年来，已知椭圆的焦点弦所在直线的倾斜角为口，求与椭圆的焦半径、焦点弦长有关的问题，频频出现于高考试卷及各类模拟试题．对这类问题的处理，传统的思路是借助于椭圆的第二定义或极坐标方程．而现行新课标教材中又没有详细介绍椭圆的第二定义和极坐标方程，所以不少资料给出的解法是联立直线与椭圆的方程，得到关于菇（或），）的一元二次方程，借助于方程两根之间的关系来求解，显得太繁与无奈．那么还有没有别的思路与方法来推导椭圆的焦半径、焦点弦长公式呢？本文拟作一探
讨．
ＩＡＦ
胡云浩
已知椭圆ｃ：；＋舌＝ｌ（口＞６＞。）的左焦点
为Ｆ，过点Ｆ的直线Ｚ与椭圆Ｃ相交于Ａ，曰两点，设直线Ｚ的倾斜角为口，那么如何用口表示焦半径
ＩＡＦＩ，ｌ曰Ｆ
Ｉ呢？
’爿，
如图ｌ，设另一焦点为Ｆ’，
在厶Ａ即’中，ｌ
＝ＩＡＦＩ・ＩＦＦ７Ｉ
ＡＦ’ｌ＝２口一
ＡＦ’Ｉ
２
Ｉ，由余弦定理得ｌ
２＋Ｉ胛，Ｉ
２—２ＩＡＦＩ
～ＦＢ＼
１Ｋ＜、
Ｏ
乡ｘ
ｃｏｓ口，即（２口一ＩＡＦＩ）２
＝ＩＡＦｌ２＋４ｃ２—２ＩＡＦＩ．
一、公式推导
２ｃｃｏｓ口，解得ｌ
ＡＦｌ＝彳刍孟缶＝却类似
口一ＣＣＯＳＦ
口一ＣＣＯＳｄ
图ｌ
万方数据
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中学教学研究
２０１４年第９期
ｉ南＝ｉ三知，
口一ｃｃｏｓ‘仃一伊Ｊ
可得‘召Ｆ‘２了＝磊者石『二酉・又‘・．１丑ＦＩ＝
．。．如果设由戈轴正方向绕点Ｆ逆时针旋转到
ｎ痞汀为定值，并求此定值・
解：记椭圆的右顶点为Ａ，并设［Ａ即；＝％（ｚ
口一ｃｃｏｓ（仃一口）一口一ｃｃｏｓ（仃＋口）ｑｙ’
ＦＡ，肋时所成的角为９（０≤９＜２仃），则①、②可
＝１，２，３），不失一般性，假设ｏ≤晓。≤孥，且％＝口。＋孕，ａ，＝ａ。＋孥，．‘Ｆ为右焦点，．．．由③得
统一为■—乇＝＝＝＝．此时若ｏ≤９＜仃，则９＝口；若订’
’
。。
’’
口一ＣＣＯＳ∞
≤妒＜２仃，则妒＝口＋仃．
为了便于记忆，我们不妨将——Ｌ变形为
堡
ｒ—兰＝（其中ｅ为椭圆的离心率）．
’’
１一ｅＣｏＳ∞
若Ｆ为椭圆Ｃ的右焦点，同理可得其焦半径为
笙
堡
ｌ＋ｅｃｏ印。
综上可得：当Ｆ为椭圆Ｃ的左焦点时，其焦半径
公式为ｒ—兰书；当，为椭圆ｃ的右焦点时，其焦堡
ｌ—ｅＣｏＳ∞
。’’
半径为ｒｌ兰＝＠其中ｅ为椭圆的离心率，妒（ｏ≤
ｌ＋ｅＣｏＳ∞
。’‘
９＜２仃）为茹轴正方向绕焦点Ｆ逆时针旋转到焦半径时所成的角，即当０≤９＜仃时，９＝口；当仃≤９
＜２仃时，妒＝ｐ＋仃．
由③、④可得焦点弦长Ｉ脑Ｉ
２南＋
铲
６２
＾６２
ｎ丽历２
ｉ
Ｆ了科
二ｉ
。
由公式③、④、⑤可看到若已知椭圆的方程，其焦半径和焦点弦长只与直线的倾斜角口有关，真可谓简单、实用、方便．
二、公式应用
‘
例１
（２００７年高考重庆
，
２
理）如图２，已知椭圆方程为蠡≯＜
２
＋隽＝１，在椭圆上任取三个
＼刀×掣ｊ
不同点Ｐ１。Ｐ２，Ｐ３，使￡Ｐ１即２
图２
＝二Ｐｚ即ｓ＝￡Ｐ３即・，证明南＋南＋
万方数据
堡
Ｉ一
６２
—９＼”２哪靴‘八‘＿１’
２
ｏ，故推广
若贰依次夹角绝，则得
！
一旦
注：对于焦点弦分成两段，只是它的一种情况．
伪２（２０１０年商考辽宁理）设椭圆ｃ：事＋吾
（１）求椭圆Ｃ的离心率；（２）如果ｌ
ＡＢ
Ｉ＝竽，求椭圆ｃ的方程．
解：（１）・．・Ｆ为左焦点，压：２菇，ｐ：６０。，
壁
Ｂ，ｌ＝
堡
堡
堡
堡
．・．ｎ哥＝Ｌ半＝吾（１＋号ｃ。靴；）（￡＝１，
２∽，．．・南＋南＋南＝扣
一Ｉ即ｉ
・以－＝ｒ乏去，。．‘ｅ＝詈＝÷，譬＝詈＝詈，
丢［ｃ岫＋ｃ《嘶＋孥）＋ｃｏｓ（口。＋挈）】），・．．ｃｏｓａ。＋ｃ《ａ。＋孚）…ｓ（ａ。＋字）＝ｃ。ｓａ。一
寻ｅ。瞅。一雩ｓｉ№，一寻ｃ。衄，＋雩。ｉｎ理。：ｏ，故ｉｅｏ瞅１一萱ｓｌ№１一ｉｃｏ衄１＋蓄吼ｎ理１
南＋南＋南＝詈黼．ｎ亭丁＋ｎ面丁＋ｎ面丁２了为定值・
Ｙ
厶Ｉ吧Ｉ一６ｒ
＝ｌ（口＞６＞Ｏ）的左焦点为Ｆ，过点Ｆ的直线与椭
圆ｃ相交于Ａ，曰两点，直线ｚ的倾斜角为６０。，奋：
２商．
・・・由③得Ｉ删＝南，Ｉ
Ｆ丽蕊＝南即南＝２南，得ｅ＝南＝争
１一ｅｃｏｓ（仃＋ｐ）一１＋ｅｃ０３矿５”ｌ—ｅｃ；历一
２０１４年第９期
．矿
中学数学研究
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（２）由⑤得Ｉ仙ｌ－禹＝竽，。．’ｅ＝
手，ｐ＝６０。，．．．譬＝詈，又ｅ２＝砉＝・一箬＝手，
２
２
・・・口＝３，６２＝５’．．．椭圆ｃ的方程为等＋｝＝１．
例３（２０１２年高考江苏
２
ｙ
２冱≤≮；，Ｉ曰兄Ｉ
万｛磊一万｛磊＝譬，解得ｅ。ｓ秽＝譬，．．．直线在一ｃ０８口在＋ｃｏｓ口２“”“…。峨的斜率为㈦蚰口＝芋
题改编）如图３，已知椭圆冬
二
＋广＝ｌ的左、右焦点分别为
曩、疋，Ａ、县是椭圆上位于茗轴上方的两点，且直线ＡＥ与
直线召Ｒ平行．
在勒．
＜刀乡｝
图３
一＝一．豫惜ｎｎ剑’＝一
（２）．。御。∥巩．・．哥＝
Ｉ）．．・．Ｉ
ＰＦｌＩ＋Ｉ
一ＩＡＦｌ
２志２五亡鬲，于是
’
日缉
３”‘５“
而丌赫，即ＩＰＦ・卜而菁赫‘（２矗割可川ＰＦｌｔ＝矗告矗．（２
舯删）．月理ＩＰＦ２ｌ＝矗鲁哥．（２压
（１）若ｌＡＥ
ｆ—ｌ丑疋ｌ－枣，求直线觚的斜率；
Ｉ＋
（２）设Ａ兄与朋。交于点Ｐ．求证：Ｉ即ｌ
Ｐ见Ｉ是定值．
等揣将④代入上式得Ｉ驯＋
Ｐ咒Ｉ＝２√三一
解：（１）设直线ＡＦｌ的倾斜角为口，’．’‘为左焦
点，疋为右焦点＇．．．由③、④得Ｉ
ＡＦ・Ｉ＝南
堡
ｆ踢ｆ－２石一Ｊ牛巡毕＝２在一
２．
！
．
！
√三一ｃｏｓ口中√三＋ｃｏｓ移
譬＝学．因此Ｉ
ＰＦ。Ｉ＋Ｉ
ＰＦ２
Ｉ是定值竽
电≯《争驴《争《争《争《争《争ｑ争司争《≯《争，驴《争《争卅Ｐ电伊驴《争《争电争驴《争《斗白卜司外面ｈ趔＾趔卜ｄ卜ｄ斗《冉硒ｈ积卜硒入西卜嘏入移、疹、矿、＿驴协疥ｄｈ驴、驴
类比是一个伟大的引路人‘
福建省厦门第一中学（３６１００３）
１．提出问题
类比是合情推理的一种模式，它是根据两个不同对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其它方面也可能存在相似之处，它是从特殊到特殊的推理方法．类比推理可以启迪思维、促进联想、开阔视野、拓展认识．正如波利亚感叹：“类比是一个伟大的引路人．”
我们知道在平面解析几何中，若直线簖＋砖＋ｃ＝０与圆（石一名。）２＋（，，一％）２＝，２有公共点，则
王淼生
号成立．事实上，由类比推理，我们完全可以把上述关系推广到空间解析几何中（尽管高中阶段还没有学习空间解析几何！），若平面似＋６ｙ＋馏＋厂＝０与
全为ｏ，以下同）有公共点，则Ｌ竺｝笔坚兰掣
球（戈一‰）２＋（ｙ一％）２＋（ｚ一句）２＝ｒ２（口、６、ｃ不
√口‘＋６‘＋ｃ‘
≤ｒ（｝），当且仅当平面与球相切时等号成立．虽说平面与球属于几何范畴，然而利用上述性质可以轻松地解决一些代数问题，本文略举数例，再一次展示数形结合、转化化归思想的无穷魅力，凸显类比推理的引领作用．
Ｌ竺殳圭掣≤，，当且仅当直线与圆相切时等
万方数据
・本文系福建省“十二五”规划２０１３年度课题（立项批准号：ＦＪＪＫｘＢｌ３—旬８３）“优化学生思维品质的魅力数学课堂模式研究”及厦门市２０１３年第三批课改课题（立项批准号：ｚ３０４２）“数学构造思想方法优化学生思维品质的实践研究”的阶段性成果．