培优专题讲义有理数及其运算

初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算

一、 有理数的基本概念：

（一）常考点，易错点：

1. 字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数

2. 相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。

3. 互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|-1|，则x =______；若|x|=|－4|，则x=____； 2

若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

2 ，那么a=____；若x 2=(－2) 2，则x =_______. 4. 互为相反数的两个数的平方相等。如果 a =16325. 注意乘方中括号的作用。（－2）的底数是_______，结果是_______；－3的底数是_______，结果

是_______；n 为正整数，则（－1）2n __, (－1) 2n +1=_ __。计算：

（1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） =

6. a 的相反数是 ；a+b的相反数是 ；a-b 的相反数是 ；-a+b-c的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣=

（二）绝对值的化简：

7. 绝对值即距离，则a ≥0

8. 绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）

（a ＞0）

|a| = （a ＝0 ）

（a ＜0 ）

9. 绝对值的非负性：

（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a ，则a ； （3）若|a|＝—a ，则a ；

（4） ， 则a a =______；=______；（5）a

小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。

例1． 已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？

例2. 若ab

a b ab ++的值． |a ||b ||ab |

例3. （1）如果x ＜－2，那么|1－|1+ x||= ； 若|m－1|=m－1, 则m___1. ； 若|m－1|=1－m, 则m ___1.

（2）已知a =3，且a +a =0，则a +a +a +1=___________．

例4. 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|

C

1. 已知a ，b ，

c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c—b|—

|a—c|+|b-a|

2. 数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||

例5. 若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2| 即时练习：1. 已知x

2. 若a

32B 0 A 2a -|3a |a b c ++ 3. 若abc ≠0，则的所有可能值为 ||3a |-a ||a ||b ||c |

例6. 若x -y +与x +y -互为相反数，求

（三）分类讨论的思想： x +2y 的值 x -y

例7. 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且x 的绝对值是5，

试求x －（a+b－cd ）+│（a+b）－4│+│3－cd│的值．

即时练习：1. 已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？ 2. 解方程：|x-5|=8

（四）两个重要的非负数：①a ≥0；②a 2≥0；③ a 2=a 2=a 2

例8. 若(2a -1)2+2a +b =0, 且c -1=2, 求c ⋅(a 3-b ) 的值。

例9．已知ab -2与b -1互为相反数，求代数式

1111+++ +的值. ab (a +1)(b +1) (a +2)(b +2) (a +1999)(b +1999)

二、 突破有理数的计算

（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优

先，分配律优先。减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。

11(-1.5) +4+2.75+(-5) 32(-6) ⨯8-(-2) -(-4) ⨯5 42例10. 计算：（1） （2）

12-52-[-4+(1-0.2⨯) ÷(-2)](-16-50+3) ÷(-2) 255（3） （4）5⨯(-6) -(-4) ÷(-8) （5）

2229999⎛2135⎫-3-(-3) ⨯(-2) --2-(-98) -98（6） --+ ⎪⨯48 （7）⎝34824⎭

（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：例11. 计算：（巧算）

（1）

[1**********]1 （2）+++++． -+-+ +-[***********]003例12. 计算：（－

例13.

453553）×－（－）×（－）－×（－1） 513513135

例14. （1）（分组求和）1-2+3-4+…+2001-2002 （2）（倒序求和）1+3+5+7+…+99

（三）利用幂的性质巧算：例15. 计算：（1）

（2）

（四）整体代入求值初步：例16. 若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c= . 例17. 已知ab 2ab 5(a +b )的值 =3，试求代数式-a +b a +b ab