M08B23 相似三角形子母型
第二十三节 相似三角形——子母型
【知识要点】
在相似形中,有两个重要的“子母三角形”,它们分别是“子母直角三角形”与“子母等腰三角形”.
一、子母直角三角形
如图,在直角三角形ABC 中,作斜边上的高AD ,把△ABC 分成Rt △ABD 、Rt △CAD ,这两个小三角形彼此相似,并且与原Rt △CBA 相似.由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀,又小三角形与大三角形彼此相似,宛如母子神似,故形象地称为“子母直角三角形”.
∵Rt △ABC ∽Rt △DBA ∽Rt △DAC ,
即AB =BD ·BC ,AD =BD ·DC ,AC =CD ·BC .
二、子母等腰三角形
如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠C =36°,作∠C 平分线CD ,交AB 于D ,
可得∠BCD =36°.又∵∠B =∠CDB =72°∴等腰△ABC ∽等腰△CBD .
另一个△ADC 虽和△ABC 不相似,但因∠ACD =36°,则有AD =DC ,
从而都是等腰三角形.这和原三角形有相近之处,故我们也把这样的
几个三角形称为“子母等腰三角形”.
子母等腰三角形之所以重要,是因为它与黄金分割有着千丝万缕的关系.
【典型例题】
例1 如图,已知直角三角形ABC 中,∠BAC=90º,AD 为BC 边上的高,
求证:AB ·AD=BD·AC
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例2 已知:如图,D 、E 是∆ABC 的边AC 、AB 上的点,且∠ADE =∠B 。(1)求证:∆ADE ~∆ABC ,(2)求证:AD ·AC=AE·AB 。 A
例3 已知,如图,在∆ABC 中,AD 是∆ABC 的中线,E 是AD 上一点,且CE=CD,∠DAC =∠B ,求证:∆AEC ~∆BDA
例4 如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠C =36°,作∠C 平分线CD ,交AB 于D ,BC=1. 求:(1)AB 的长度 (2)BC :AB 的值。
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例5 已知如图, ∆ABC ~∆DBA , ∠BAC =94︒, ∠C =56︒,AB=5cm,AC=3cm,BC=6cm,求∠BDA 、∠BAD 、∠DAC 、BD 、AD 、DC 。 A
C
例6 如图,在△ABC 中,∠1=∠2=∠3,AC 1=,设EBD 、△ADC 、△ABC 的周长分别为BC 2
m 1+m 25=m 1, m 2, m 3, 求证:m 34.
D
例7 如图,四边形ABEF 、EGHF 、GCDH 是正方形,问△AEG ∽△CEA 吗?为什么?
E G B
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