世纪金榜知识梳理
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上篇:必修模块 第一章第一节
1. 集合的含义与表示方法(1)集合的含义:
①含义:研究对象叫做_____
元素,一些_____元素组成的总体叫做集合. ②元素的性质:_______确定性、∉_______无序性、_______.互异性(2)元素与集合的关系:
①属于,记为___
∈;②不属于,记为____.补集
U ,集合A 为
______
数学语言{x|x_______∈A {x|x_______
∈A ___________
表示
________或x ∈B}________
且x ∈B} ________
符号语言
且B _____⊆A ⇔A=B ⊆B 或B A
或B A=空 集
空集是_________
任何集合的子集, 是∅⊆A
_____________
任何非空集合的真子集 ∅ B(B≠∅)
,否命题0或22. 四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系:
若q ,则p
若⌝p ,则⌝q 若⌝q ,则⌝p
q ⇒p q
p 是q 的_________________
既不充分也不必要条件
_______ 真子集_______
真子集_____
包含¬p
___假___假___真___
真___∀___
∃
∈M,p(x)0∈M,p(x0)
¬p(x0) ¬p(x)映 射
________非空集合使对于集合A 中x ,在_________
唯一确定 名 称
称_______
f:A→B 为从集合A 到称对应_______
f:A→B 为从集合集合B 的一个函数
A 到集合B 的一个映射
2. 函数的定义域、值域、相等函数(1)定义域
在函数y=f(x),x ∈A 中,________自变量x 的取值范围(数集A) 叫做函数的定义域. (2)值域
函数值的集合____________{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (3)相等函数
如果两个函数的_______定义域相同,并且_________对应关系
完全一致,则这两个函数为相等函数.
3. 3. 函数的表示方法
函数的表示方法
表示函数的常用方法表示函数的常用方法:_______
:_______
解析法解析法、、_______列表法_______列表法和和_______.图象法_______.图象法4. 4. 分段函数分段函数
(1)(1)若函数在其定义域的不同子集上若函数在其定义域的不同子集上, 因, 因_________
对应关系_________
对应关系不同而分别不同而分别用几个不同的式子来表示用几个不同的式子来表示, , 这种函数称为分段函数这种函数称为分段函数.
.
(2)(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____
并集_____
并集,其值,其值域等于各段函数的值域的_____
并集域等于各段函数的值域的_____
并集,分段函数虽由几个部分组成,,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 但它表示的是一个函数.
第二章第二节
y=f(x)的单调区
M ∈R 满足
x ∈I,
M 使得结论
M 是f(x)的_____
最大值 M 是f(x)的_____
最小值
函 数
x _____
原点对称
的单调性 图象与原点的若奇函数f(x)在原点
关系
有意义,则f(0)=__
2. 周期性
(1)周期函数:T 为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:①T ≠0;
②____________
f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数___________
,那么这个___________最小的正数就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T 是函数y=f(x)(x∈R) 的一个周期,则nT(n∈Z, 且n ≠0) 也是f(x)的周期.
第二章第四节
. 式子
叫做
.
性质
当x1在R 上是_______
增函数在R 上是_______
减函数
第二章第五节
1. 对数的定义
(1)对数的定义
①请根据下图的提示填写与对数有关的概念:
指数对数幂
真数
底数
时,
_____y <0_______
减函数x >0,且(h,k)
<0)
<0)
上递增,
上递减,
,α是y=x-1_________
{x|x∈R _______且x ≠0}_________{y|y∈R _______
且y ≠0}___
奇
y=x-1
________________________
第二章第七节
2. 函数的图象变换(1)平移变换:
f(x)+k
f(x+h) f(x-h)
的实数x 叫做⇔函数y=f(x)
b ]上的图0,那么函使得
Δ
无交点 零点
x 1,x 2
x 1
无
y=xn (n>0)_________单调递增相对平稳
a x <x n <a x
00y 随x 的增大型,图象增长(底数b (底数a
第三章第一节
1. 角的有关概念
射线
象限角
旋转
,k ∈Z
_________.1弧度的角l 表示)
°
|α,AT 用字α,
五六
α_______cos αα_______-sin α口诀
函数名不变
函数名改变符号看象限
符号看象限
五六
α_______cos αα_______-sin α
口诀
函数名不变
函数名改变符号看象限
符号看象限
150°180°π
__
180°-10
x ,都存在T y=tan x
∈R 且x ≠ π,k ∈Z}值域
_______
[-1,1]_______
[-1,1]__
R y=tan x递增区间是_____________(k∈Z)
最值
无最大值x=_____________π+2kπ(k∈Z) 时, 和最小值 x=____________时,y y min =-1
min =-1
y=tan x奇函数___________
无对称轴周期
2π
2π
π
>0) 的图象的2π
y=
Asin(ωx+φ)
__
0__A __
0-A
)(A>0, ω>0) φ)
).
或
相反向量
长度相等且方向_____
相反的向量3. 向量的加法与减法(1)向量的加法:
①三角形法则:已知非零向量=a ,BC =b ,
AC
a,b , 在平面内任取一点A ,作
=AB +BC =AC,
则向量 叫做a 与b 的和,记作____,a +b 即____ a +b 这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则;
(2)向量的减法:
①定义:定义a-b=a+ _____,(-b ) 即减去一个向量相当于加上这个向量的_________
相反向量AB =a ,AD ;=b ,
DB
AB -AD .
②几何意义:如图, 则 =_________
a 的方______.
b =λa
2. 平面向量的坐标表示(1)向量的夹角:
①定义:如图,已知两个OB
_________非零向量a 和b ,作 =a , =b ,则向量a 与b 的夹角是θ或∠AOB. ②范围:向量a 与b 的夹角的范围是________________
0°≤θ≤180°. ③当θ=0°时, a 与b _____同向;当θ=180°时, a 与b _____.反向当θ=90°时, a 与b _____.
垂直AB OA
(1)向量的夹角:
非零向量a 和b ,①定义:如图,已知两个_________
作 =a , =b ,则向量a 与b 的夹角是θ或∠AOB. ②范围:向量a 与b 的夹角的范围是0°≤θ≤180°. ________________
同向;③当θ=0°时, a 与b _____反向当θ=180°时, a 与b _____.垂直当θ=90°时, a 与b _____. (2)平面向量的正交分解:
垂直把一个向量分解为两个互相_____
解.
(3)平面向量的坐标表示:
在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 向量i,j 量a 可表示成a =xi +yj ,由于a 与数对(x,y)(x,y)序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a = ______上的坐标是x ,a 在y 轴上的坐标是y .
. (x1b =
y 2) y) 2- x1a ∥b
向量垂直的
a ⊥b ⇔a ²b =0⇔
充要条件
第四章第四节
0) 2,y 2)
θb |cos θθ的乘积. 2), 其中a , b 为夹角问题数量积的定义
cos θ= (θ为向量a , b 的夹角)
A=_____.a n =
+mb+mbn n }}为为______等等2m 2m 为为_____ _____ 等差等差n n
. .
_____
前面一项q 为非零的等比
n 项和公式
数立方和
a
______
a-b0)或特别提醒
⇔⇒⇔
可乘性
注意c
ac
的符号
特别提醒
⇒
⇒
a ,b 同为正数
Δ
的可行解_______
最大值或_______最小值问题
. (2)z=(x-a)2+(y-b)2.
a,b 的________ ___. 几何平均
a ,b 为
a ,b 为_____
a =b 时成立. 简记:积定和最小.
棱台
其上下底面是_____
平行且_____相似
的多边形球
球可以由半圆或圆绕_____
直径旋转得到3. 三视图
(1)名称:几何体的三视图有:_______正视图、_______侧视图、_______.俯视图(2)画法:
①画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线;②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_____正前方、_____正左方、_____正上方观察几何体得到的正投影图. (3)规则:
①画法规则:长对正、高平齐、宽相等;
②摆放规则:侧视图在正视图的右侧,俯视图在正视图的下方.
4. 空间几何体的直观图的画法
空间几何体的直观图常用_______
斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x ′轴、y ′轴的夹角为______________45°(或135°) ,z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面_____.
垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中
仍平行于坐标___
轴,平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中长度_____不变于y 轴的线段长度在直观图中长度为___________.
原来的一半第七章第二节
圆 锥
_____
扇形
(3)旋转体的侧面积和表面积
①若圆柱的底面半径为r ,母线长为l ,则S 侧=______,S
2πr l 表=____________=__________.2πr 2+2πr l 2πr(r+ l ) ②若圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,则S 侧=_____
πr l ,S 表=_________=________πr 2+πr l πr(r+l ) . ③若圆台的上下底面半径分别为r ′,r ,母线长为l ,则S 侧=__________
π(r′+r)l ,S 表=__________________π(r′2+r2+r′l +rl ) . ④若球的半径为R ,则它的表面积S=_____.
4πR 2
) ) 球V= (R为球半径)
1. 平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的_____
两点在此平面内.
公理2:过_______________
不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3只有_____
一条过该点的公共直线.
α_______ ∥β0个数
__
个__
0个__
0个
平面与平面
α∩β=l 个数
_____
无数个
面
_____平行O 作直线) 叫做异面直
符号语言
____l ∥a , ⊂αα理
(线线平行⇒∴l ∥α
线面平行)
符号语言
∵_____l ∥α, _____l ⊂β, _________,α∩β=b∴l ∥b
符号语言______,a ∥βb ∥βa ∩b=Pa ⊂αb ⊂αα∥β
符号语言
∵_______,α∥β_________,α∩γ=a_________,β∩γ=b∴a ∥b
. ____l ⊥a b ,⊂α
⊂α∩b=Ol ⊥αa ⊥α______,定平面的两条直______b ⊥α,线_____平行∴a ∥b
(2)线面角θ的范围:θ∈______. 3. 平面与平面垂直(1)二面角
角. 这条直线叫做二面角的棱. 两个半平面叫做如图的二面角,可记作:二面角_______
α-l -β或二面角P-AB-Q ②二面角的平面角
如图,过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ,AO ⊥l , 则______∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角. ③二面角的范围
设二面角的平面角为θ,则θ∈_________.
[0, π]
, , βα=a定
,线与另一个平面理____l ⊥a ,垂直
∴l ⊥α
,
x 轴、x 轴y 轴z 轴_______纵坐标,则线段AB 的中点坐标为____________________.
表示0
a =b a 的相反
向量为-a 线互相___________
平行或重合的向量a ∥b 共面向量
平行于同一个_____
平面的向量
4. 空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a , b (b ≠0), a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得______.
a =λb (2)共面向量定理:如果两个向量a , b _______
不共线,那么向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在_____惟一的有序实数对(x,y),使________.
p =xa +yb (3)空间向量基本定理:如果三个向量a , b , c _______
不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x,y,z},使得___________.p =xa +yb +zc 其中,{a , b , c }叫做空间的一个基底.
5.空间向量的数量积及运算律
∠AOB
〈a , b 〉
0≤〈a , b 〉≤π
|a ||b |cos〈a , b 〉
λ(a •b )
a •(λb )
b •a
a •b +a •c
6.空间向量的坐标运算
a =(a1,a 2,a 3), b =(b1,b 2,b 3)(a , b 均为非零向量) ,
a 1b 1+a2b 2+a3b 3=0
a 1b 1+a2b 2+a3b 3
第七章第七节
1. 直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量
①定义:向量a 所在直线与l ___________平行或重合,则a 叫做l 的方向向量;②确定:通常在直线l 上任取两点构成的向量. (2)平面的法向量
⎧n a =①定义:与平面⎨0,
⎩n b =0
_____垂直的向量,称做平面的法向量;②确定:设n 是平面的法向量,在平面内找两个不共线向量a , b ,由方程组 来确定.
n 2
2=0=0m m =0
〉|
求法
=___________
θl
n 1,n 2第八章第一节
1. 表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角①定义:
x 轴
相交
平行
重合
0°
tan θx
2,则有_____.平行
l 1⊥l 2⇔适用范围
x=x1
x
适用范围
1(x1=x2) 和直
y=y1(y1=y2)
第八章第二节
1. 两条直线的交点
无解
)
0 2. 点与圆的位置关系
(1)确定方法:比较___点与_____圆心的距离与半径的大小关系. (2)三种关系:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y 0). ①_________________
(x0-a) 2+(y0-b) 2=r2⇔点在圆上;②__________________
(x0-a) 2+(y0-b) 2>r 2⇔点在圆外;③__________________
(x0-a) 2+(y0-b) 2<r 2⇔点在圆内.
第八章第四节
无解
无解
第八章第五节
1. 曲线与方程
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是_____________.
这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是___________.
曲线上的点那么,这个方程叫做___________曲线的方程,这条曲线叫做_________
方程的曲
___.
线
2. 求动点的轨迹方程的基本步骤
, F 2|
(a>b >0) (a>b >≤x ≤__b ≤y 0)
离心率e= ∈_______a,b,c 的关系
a 2=_____
b 2+c2第八章第七节
1. 双曲线的定义
||MF1|-|MF2||
方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
或y ≥a _______
坐标轴_____ 原点2 _______(0,a) (1,+∞)
2. 抛物线的标准方程与几何性质
y 2=2px
y 2=-2px
x 2=2py
x 2=-2py
B 两点,
______________________
x=0(y轴)
O(0,0)
y=0(x轴)
y ≤0,y ∈R
第八章第九节
1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法
相交、_____相切、_____.相离直线与圆锥曲线的位置关系可分为:_____这三种位置关系的判定条件可归纳为:
设直线l :Ax+By+C=0(A2+B2≠0) ,圆锥曲线C 1:f(x,y)=0,由 Ax+By+C=0(A2+B2≠0), f(x,y)=0,
无公共点
一个交点
不等 两个交点 一个交点 无交点
若Δx=
第二节
1. 函数的单调性与导数正负的关系
增函数常量函数减函数
2. 函数的极值与导数(1)极值的概念:
f(x)
极大值点
f(x)>f(x0)
极
且在x 0_______左正右_______左负右比, 得出函数
. 推出特点
_____
个别到_____一般的推理由_____
特殊到_____特殊的推理
3. 演绎推理
(1)定义:从_______
一般性的原理出发, 推出_________某个特殊情况下的结论, 我们把这种推理称为演绎推理.
(2)特点:演绎推理是由_____
一般到_____特殊的推理. (3)模式:演绎推理的一般模式是三段论:①大前提:已知的_________;一般原理②小前提:所研究的特殊情况;
.
出发, 逐步_________,
充分条件思维
特点
由因导果
执果索因
2. 间接证明
(1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下, 结论不成立), 经过正确的推理, 最后得出矛盾, 因此说明_________,
假设错误从而证明了___________原命题成立的证明方法. (2)利用反证法证题的步骤:
①假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立; ②由假设出发进行正确的推理, 直到推出矛盾为止; ③由矛盾断言假设不成立, 从而肯定原命题的结论成立. 简言之, 否定→归谬→断言.
2-2 第六节
数学归纳法
证明一个与正整数n 有关的命题, 可按下列步骤进行:
(1)证明当n 取__________________第一个值n 0(n0∈N *)
时命题成立, 这一步是归纳奠基.
(2)假设n=k(k≥n 0,k ∈N *) 时命题成立, 证明当______n=k+1时命题也成立, 这一步是归纳递推.
完成这两个步骤, 就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都
__,
a 分类
a+bi为纯虚数⇔
R). ∈R). R). ,复数z=a+bi 复平面内的点_______ Z(a,b)平面向量___.
, -1
, 然后_____
两个步有m 种做第2步N=_____依据
能否_____
独立完成整个事件能否_____逐步完成整个事件
, 是递增的
, 是递减的
,2n-1 A 是否出, 称事件f n (A)随f n (A)来估A(或A ⊆B)
A=BA ∪B (或A+B)符号表示A ∩B (或AB) A ∩B=∅A ∩B=∅, 件
P(A∪B)=1